实验四用matlab计算积分

1、实验四用matlab计算积分4.1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数f(x)在区间【a，b】上的积分定义为bI=f(x)dx=limf(i)."：Xiamax(x.)/0其中a=x0<x1<<xn=b,Axj=xi-x，匕W(xJ，x)i=1,2，n.从几何意义上说，对于a，b上非负函数f(x),记分值I是曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴所围的曲边梯形的面积。有界连续(或几何处处连续)函数的积分总是存在的。微积分基本定理(Newton-Leibniz公式)：f(x)在a，b上连续，且F'(x)=f(x),xWa,b,则有baf(x)dx

2、=F(b)-F(a)这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求f(x)的定积分，需要找到一个函数F(x),使F(x)的导数正好是f(x),我们称F(x)是f(x)的原函数或不定积分。不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和(即积分)。一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。多元函数的积分称为多重积分。二重积分的定义为Ilf(x,y)dxd

3、y二,'f(i,j)双；：yj一max(,Vi-yi)_0i.当口丸丫)非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。4.2积分的数值方法xif(x)dxxi1梯形法：将a,b划分为若干小区间a=X。<X1<_<Xn=b,.则I=f(x)dx=ai=1在每一小区间xi-Xi上f(x)近似为一直线，用弦代替，有xiXi-Xi,f(X)dx(f(x7)f(Xi)xii2从而xi-Xi1=(f(Xi1)f(xi)b-ah=,xi=a二ih称为梯形公式。通常将区间a，bn等分，n-

4、f(b)f(a)=h(2可以证明，当nT如时由上述公式给出的梯形法是收敛的。重积分：重积分的数值计算可通过若干次单积分的组合实现，如对于二重积分I=f(x,y)dxdyG先化为二次计分bd(x)I=dxf(x,y)dya、c(x)bahx=,xi=a-ihx,i=0,1，m.利用梯形法，先将a,b】区间m等分，m利用梯形积分公式可得/m11d(xi),(x,)9必.再将c(xi),d(xi)区间n等分,d(xi)-c(xi)hy(i)：,yu=ajhy(i),j=0,1,n.利用I：-hx(-(G(a)G(b)G(xJ),G(xO1GN：hy(i)(2(f(x,c(xi)梯形积分公式可得f(x

5、d(xi)八f(xyij).jm4.3积分的MATLAB命令trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积分。MATLAB中主要用int进行符号积分，用R=int(s,v)%对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R只是表达式函数s的一个原函数，后面没有带任意常数C.R=int(s)%对符号表达式s中确定的符号变量计算计算不定积分.R=int(s,a,b)%符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限R=int(s,x,a,b)%符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限trapz(x,y)梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的

6、向量，表示被积函数，z返回积分值。fblquad('fun',a,b短成区域二重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限.可以用helpint,helptrapz,helpquad等查阅有关这些命令的详细信息2.例1用符号积分命令int计算积分xsinxdx.MATLAB代码为：>>clear;symsx;>>int(xA2*sin(x)结果为ans=-xA2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)如果用微分命令diff验证积分正确性，MATLAB代码为:>>clear;syms

7、x;>>diff(-xA2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)结果为ans=xA2*sin(x)24xdx例2计算数值积分乙.2先用梯形积分法命令trapz计算积分L4xdx,MATLAB代码为:积分步长为0.1>>clear;x=-2:0,1:2;y=x-4;%>>trapz(x,y)结果为ans=12.8533264x4dx-=12.8实际上，积分乙的精确值为5。如果取积分步长为0.01,MATLAB代码为：>>clear;x=-2:0.01:2;y=x.A4;%积分步长为0.01>>trapz(x,y)结果为a

8、ns=12.8005可用不同的步长进行计算，考虑步长和精度之间的关系。一般说来,trapz是最基本的数值积分方法，精度低，适用于数值函数和光滑性不好的函数如果用符号积分法命令24一xdxint计算积分L输入MATLAB代码为:>>clear;symsx;>>int(xA4,x,-2,2)结果为ans=64/5Il(1xy)dxdy22.，可将此二重积分转化为累次积分例3计算数值积分x为父!(1xy)dxdy22x:;y输入MATLAB代码为:>>clear;symsxy;>>iy=int(1+x+y,y,-sqrt(1-xA2),sqrt(1-x

9、A2);>>int(iy,x,-1,1)结果为ans=pi211,x:2(1xy)dyy1u-l=oI=exp(sinx一例4(广义积分)计算广义积分劣输入MATLAB代码为:>>symsx;>>y=int(exp(sin(x)-xA2/50),-inf,inf);2x)dx50o>>vpa(y,10)结果为15.86778263o习题16-41.（不定积分）用int计算下列不定积分，并用diff验证dxdxxsinx2dx!xarcsin，cosx，e'2.(定积分)用trapz,int计算下列定积分1 sinx12-12xx_x0dxxdxesin(2x)dxed