实验二-时域采样和频域采样

1、一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论.要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化,以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丧失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念,以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用.二、实验原理及方法1、时域采样定理的要点：a)对模拟信号Xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样,形成的采样信号的频谱)?(j)是原模拟信号频谱Xa(j)以采样角频率s(s2/T)为周期进行周期延拓.公式为：1双(j)FT?a(t)Xa(jjns)Inb)采样频率s必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上,才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠.利用计算机计

2、算上式并不方便,下面我们导出另外一个公式,以使用计算机上进行实验.理想采样信号Xa(t)和模拟信号Xa(t)之间的关系为：Xa(t)Xa(t)(tnT)n对上式进行傅立叶变换,得到：沟(j)Xa(t)(tnT)ejtdtn=xa(t)(tnT)ejtdtn在上式的积分号内只有当tnT时,才有非零值,因此：寅a(j)Xa(nT)ejnTn上式中,在数值上Xa(nT)=X(n),再将T代入,得到：父a(j)X(n)e上式的右边就是序列的傅立叶变换X(ej),即父a(j)X(ej)T上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到,只要将自变量用T代替即可.2、频域采样定理的要点：

3、a)对信号x(n)的频谱函数X(ej)在0,2耳上等间隔采样N点,得到XN(k)X(ej)2k,k0,1,2,L,N1/N那么N点IDFTXN(k)得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列,公式为：XN(n)IDFTXN(k)Nx(niN)RN(n)b)由上式可知,频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即NW),才能使时域不产生混叠,那么N点IDFTXN(k)得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n).如果N>MXn比原序列尾部多N-M个零点；如果N<Mz那么XN(n)=|DFTXN(k)发生了时域混叠失真,而且xN(n)的长度

4、n也比x(n)的长度M短,因此.xN(n)与x(n)不相同.在数字信号处理的应用中,只要涉及时域或者频域采样,都必须服从这两个采样理论的要点.比照上面表达的时域采样原理和频域采样原理,得到一个有用的结论,这两个采样理论具有对偶性：时域采样频谱周期延拓,频域采样时域信号周期延拓.因此放在一起进行实验.三、实验内容及步骤1、时域采样理论的验证给定模拟信号,xa(t)Aetsin(0t)u式中A=444.128,=50/2兀,.二50/2冗rad/s,它的幅频特性曲线如图2.1IOQ200JOU4IID川川J/H1图2.14的幅频特性曲线现用DFT(FFT冰该模拟信号的幅频特性,以验证时域采样理论.

5、根据Xa的幅频特性曲线,选取三种采样频率,即Fs=1kHz,300Hz,200Hz观测时间选Tp50mS.为使用DFT首先用下面公式产生时域离散信号,对三种采样频率,采样序列按顺序用xi(n),x2(n),x3(n)表示.x(n)xa(nT)AenTsin(0nT)u(nT)由于采样频率不同,得到的x1(n),x2(n),x3(n)的长度不同,长度(点数)用公式NTpFs计算.选FFT的变换点数为M=64序列长度不够64的尾部加0X(k)=FFTx(n),k=0,1,2,3,M-12.,k-k式中k代表的频率为M.要求：编写实验程序,计算x1(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性,并绘图显示

6、析频谱混叠失真.Matlab源代码：A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;%T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;%n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);%x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);%x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);%f1=fft(x1,length(n1);%f2=fft(x2,leng

7、th(n2);%f3=fft(x3,length(n3);%k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp;%x1(n)k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp;%x2(n)k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp;%x3(n)subplot(3,2,1)观察时间Tp=50ms不同的采样频率%产生不同的长度区间n1,n2,n3产生采样序列x1(n)产生采样序列x2(n)产生采样序列x3(n)采样序列x1(n)的FF侬换采样序列x2(n)的FF侬换采样序列x3(n)的FF侬换的频谱的横坐标的取值的频谱的横坐标的取值的频谱的横坐标的取值stem(n1,x1,&#

8、39;.')title('(a)Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'.')title('(b)Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(c)Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('x3(n)

9、9;);subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1)title('(a)FTxa(nT),Fs=1000Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2)title('(b)FTxa(nT),Fs=300Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3)title('(c)FTxa(nT),Fs=200Hz');xla

10、bel('f(Hz)');ylabel('幅度')实验图像:200(a)Fs=1000Hzn(b)Fs=300Hz(a)FTxa(nT),Fs=1000Hz1000-1I500-1-0=05001000400200100200300幅f(Hz)(b)FTxa(nT),Fs=300Hz15度幅-200L0510nn20010050100150200f(Hz)(c)FTxa(nT),Fs=200Hzf(Hz)结果分析:由图2.2可见,采样序列的频谱确实是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓.当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时,在折叠

11、频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时,在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重.由实验图像可以看出,时域非周期对应着频域连续.对连续时间函数对采样使其离散化处理时,必须满足时域采样定理的要求,否那么,必将引起频域的混叠.要满足要求信号的最高频率Fc不能采样频率的一半(Fs/2),不满足时域采样定理,频率将会在=兀附近,或者f=Fs/2混叠而且混叠得最严重.2、频域采样理论的验证给定信号如下：n10n13x(n)27n14n260其它编写程序分别对频谱函数X(ej)FTx(n)在区间0,2上等间隔采样32和16点,得到X32(k)和X16(k):X32*)X(ej)2,k0

12、,1,2,L31kX16(k)X(ej)2,k0,1,2,L15k16再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT,得到x32和x16：X32(n)IFFTX32(k)32,n0,1,2,L,31-6(n)IFFTX16(k)16,n0,1,2,L,15分别画出X(ej厂X32(k)和X16(k)的幅度谱,并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n)的波形,进行比照和分析,验证总结频域采样理论.提示：频域采样用以下方法容易变程序实现.直接调用MATLAB0数fft计算X32(k)FFTx(n)32就得到X(ej)在0,2的32点频率域采样 抽取X32(k)的偶数点即可得到X(

13、ej)在0,2的16点频率域采样X16(k),即X16(k)X32(2k),k0,1,2,L,15. 当然也可以根据频域采样理论,先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓,取其主值区(16点),再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是X(ej)在0,2的16点频率域采样Xl6(k).Matlab源代码：M=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024);%1024点FFTx(n),用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32);%32点FFTx(n)x

14、32n=ifft(X32k);%32点IFFTX32(k)得至Ux32(n)X16k=X32k(1:2:N);%隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2);%16点IFFTX16(k)得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');boxontitle('(b)三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis(0,32,0,20)k=0:1023;wk=2*k/1024;%subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);ti

15、tle('(a)FTx(n)');xlabel('omega/pi');ylabel('|X(eAjAomega)|');axis(0,1,0,200)k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');boxontitle('(c)16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis(0,8,0,200)n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.

16、9;);boxontitle('(d)16点IDFTX_1_6(k)');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis(0,32,0,20)k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');boxontitle('(e)32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis(0,16,0,200)n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'

17、.');boxontitle('(f)32点IDFTX_3_2(k)');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis(0,32,0,20)实验图像(a)FTx(n)200100000.51/(c)16点频域采样200.1000*102468kn(f)32点IDFTX32(k)2032点频域采样200100-T0一051015k0102030n结果分析：该图验证了频域采样理论和频域采样定理.对信号x(n)的频谱函数X(ejco)在0,2冗上等间隔采样N=16时,N点IDFTXN(k)得到的序列正是原序列x(n)以

18、16为周期进行周期延拓后的主值区序列：xN(n)IDFTXN(k)Nx(niN)RN(n)由于N<M所以发生了时域混叠失真,因此,xN(n)与x(n)不相同,如图图3.3(c)和(d)所示.当N=32时,如图图3.3(c)和(d)所示,由于N>M频域采样定理,所以不存在时域混叠失真,因此,xN(n)与x(n)相同.由实验内容2的结果可知,对一个信号的频谱进行采样处理时,必须严格遵守频域采样定理,否那么,用采样的离散频谱恢复原序列信号时,所得的时域离散序列是混叠失真,得不到原序列四、实验思考及解答如果序列x(n)的长度为M希望得到其频谱X(ej)在0,2上的N点等间隔采样,当N<M寸,如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？答：由实验内容2的结果可得：对于求频域采样点数N小于原时域序列长度M的N点离散频谱时,可先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列xn(n)x(niN)Rn(n)再计算N点DFT那么得到N点频域采样:XN(k)DFTXn(a)n=X(ej)2,k0,1,2,L,N1wk但是,所求的N点离散频谱对应的时域离散序列是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列,而不是原序列x(n)五、实验小结通过此次实验,对时域采样和频域采样的理论、定理