对称性在积分计算中的应用%2B-%2B复制-复制(2)

1、大庆师范学院本科生毕业论文对称性在积分计算中的应用摘要:本文主要讨论了对称性在积分计算中的应用，对每一类积分，先给出对称性用于该类积分的相关结论，在用例子展示了结论的有效性，合理的利用对称性可简化繁琐的积分计算。关键词：对称性；积分区域；奇偶性；定积分；二重积分；三重积分；曲线积分；曲面积分目录1=1错误！未定义书签正文错误！未定义书签（一）定积分的计算错误！未定义书签。（二）二重积分的计算.错误!未定义书签。（三）三重积分的计算7（四）曲线积分的计算8（五）曲面积分的计算10三、结束语错误！未定义书签。致谢辞.1.1参考文献12文章的过渡与引入重新整理，有很多地方不通顺，不自然引言（整个文章

2、按标准格式写，格式初步按范文格式改）积分区域的对称性和奇偶性不仅可以体现数学美，而且可以为积分计算提供某种信息，帮助人们寻找最优的解题策略，使复杂的问题得以简化.如在计算定积分时，很多高等数学教材都给出了如下结论：当积分区间关于原点对称且被积函数为奇函数时，该定积分的值为0;当积分区间关于原点对称且被积函数为偶函数时，该定积分可转化为原被积函数在单侧区间上积分值的2倍.此外对奇函数f（x）只要在La,a上可积,aa则必有f（x）dx=0.这里f（x）的原函数不必求出来，但定积分ff（x）dx可以直接计,_a,_a算。计算不必依于牛顿-莱布尼兹公式，而主要依于定积分的某种对称性，依于定积分的换元

3、法进行.0这里称它为积分的非常规计算方法。本文对这种非常规方法和上面提到的积分区域的对称性和奇偶性在积分计算进行说明。（此段我简单的改了一下，还有些不通顺的，你好好改改）正文1积分区域的对称性积分区域随着积分的类型不同而不同，它可以是区间，也可以是平面区域或者空间区域，还可以是弧段或曲面片.若将它们统一为空间区域，则可建立积分区域对称性的一般定义.定义1设R3是任一空间区域，1）若点（x,y,z）WC,有（x,y,-z）WC,则称关。于xoy面对称；2）若点（x,y,z）正建，有（x,y,z）WQ,则称建关于yOZ面对称；3）若点（x,y,z）WQ,有（x,-y,z）WC,则称。关于xoz面对

4、称；4）若点（x,y,z）WG,有（一x,-y,z）WC,则称0关于z轴对称；5）若点（x,y,z）W夏，有（-x,y,-z）wQ,则称Q关于y轴对称；6）若点（x,y,z）WC,有（-x,-y,-z）WQ,则称Q关于x轴对称；7）若点（x,y,z）WC,有（_x,-y,-z）WQ,则称。关于坐标原点对称.2函数的奇偶性奇偶性是定义在对称区间上的函数的一个重要性质，通过研究函数的奇偶性可以了解函数的图像是否具有对称性，进而简化某些问题的求解.2.1一元函数的奇偶性一元函数的奇偶性清晰地表达了奇(偶)函数图形关于原点(y轴)的对称性特征，即有：定义2设函数f(x)的定义域D关于原点对称.若对任一

5、xwD,都有f(x)=f(x)(f(x)=f(x),则称f(x)是奇(偶)函数.类似一元函数的奇偶性，我们可以讨论多元函数的奇偶性和其图形的对称性.2.2多元函数的奇偶性多元函数的奇偶性可以表现为其关于任意多个变元的奇偶性，如一元奇偶、二元奇偶和三元奇偶等.定义3若函数f(x,y)的定义域D关于x轴对称，且满足f(x,y)=f(x,y)(或f(x,y)=f(x,y),则称f(x,y)是D上关于y的一兀偏奇(偶)函数.定义4若函数f(x,y,z)的定义域Q关于xoy面对称，且满足f(x,y,-z)=一f(x,y,z)(或f(x,y,-z)=f(x,y,z),则称f(x,y,z)是C上关于z的一元

6、偏奇(偶)函数.类似地，可以给出关于y轴对称区域上的二元函数关于x的一元偏奇偶性；关于yoz面对称区域上的三元函数关于x的一元偏奇偶性；关于zox面对称区域上的三元函数关于y的一元偏奇偶性等.定义5若函数f(x,y)的定义域D关于原点对称，且满足f(-x,-y)=-f(x,y)(或f(-x,-y)=f(x,y),则称f(x,y)是上关于(x,y)的二元全奇(偶)函数.定义6若函数f(x,y,z)的定义域C关于z轴对称，且满足f(-x,-y,z)=-f(x,y,z)(或f(-x,-y,z)=f(x,y,z),则称f(x,y,z)是C上关于x,y的二元偏奇(偶)函数.定义7若函数f(x,y,z)的

7、定义域。关于原点对称，且满足f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)或f(_x,_y,_z)=f(x,y,z),则称f(x,y,z)是Q上关于(x,y,z)的三元全奇(偶)函数类似地，可以建立定义域G关于x轴对称的三元函数关于y,z的二元偏奇偶性;以及定义域关于y轴对称的三元函数关于x,z的二元偏奇偶性.以下对定积分，重积分，第一、二型曲线积分，第一、二型曲面积分中的应用.(一)定积分的计算在一个定积分中，如果积分区间关于原点对称，并且被积函数关于积分变量具有奇偶性，则可利用定理1来简化计算.定理1设f(x)在La,a上可积，则f(x)dx=若f(x)为奇函数f(x)dx,若f(x)为偶函数

8、aa0证明：因为上f(x)dx=1°f(x)dx+13f(x)dx对积分J：f(x)dx作代换x=t,dx=dt,则得00aaf(x)dx=-f(-t)dt=°f(-t)dt=°f(-x)dx于是aaaaf(x)dx=°f(-x)dx，If(x)=°f(x)f(-x)dxaa若f(-x)=_f(x)(即f(x)为偶函数时)，则ff(x)dx=21f(x)dxa若f(x)=f(x)(即f(x)为奇函数时)，则iff(x)dx=0.a3例1计算f(xsinx+tanx+x+2)dx-,3解：区间_3,3关于原点对称，被积函数可分解为一个奇函数x3s

9、inx2+tanx和一个偶函数x223322一(xsinxtanxx2)dx-333,3.2、，2_、，=(xsinxtanx)dx，(x2)dxJ3J332=0+2(x2)dx013=2(x2x)33=300当f(x)在a,b上对称时除了利用上述的定理外我们还可以利用以下简单而有用的公式:af(x”x=1f(alib_x)dx=二2埼bIf(x)7f(a+b_x)dx公式一主要用于f(x)的原函数找不出来，而ff(x)+f(a+bx)=g(x)却非常简单,使积分成为可能。Qin仪y例2计算f2竺2dx(a>0)0cos-xsin-xsin''xcos-x-sin-xf(

10、x)f(二2-x)sin二2一xcosax+sin0txcosa(/-x"sin/2-x_asinxcos-xsinot+cosx=1-xcos-xsin-x从而，原式=21*dx=2044例3计算f-2ln(9-x)'iin(9-x)，ln(x，3)dx解f(x)=.ln(9-x)ln(9-x)ln(x-3)f(x)f(6-x)=ln(9-x)-ln(x3)+=1ln(9-x)ln(x3)ln(9-x)ln(x3)dx*142由例2,例3可得一个二1股结果f(3(ab)2-x)a,/3(ab)(af(2-x)f(x'b-adx2这里要求f(x)在«3a+b

11、y2,(a+3b)；2上为非负连续函数.定积分计算中，当一个函数在对称区间上积分时，先设法将它分解为一个奇函数和一个偶函数，这样可使计算大大简化。也可以利用公式一得非常规方法来化简复杂的积分计算。同样在二重积分、三重积分、第一类型曲线或曲面积分计算时，也可以利用对称性、奇偶性简化计算。(二)二重积分的计算当积分区域关于坐标轴对称，被积函数具有一元偏奇偶性时，可利用下述的定理2、定理3和推论1来简化二重积分的计算.定理2设区域D关于x轴对称，D1=(x,y)(x,y)WD,y之0)，若f(x,y)在区域D上可积，21f(x,y)d6,f(x,y)为y的偶函数，iif(x,y)d=DiDp,f(x

12、,y)为y的奇函数。证明则Di,D2分别表示积分区域D在x轴的上方和下方区域，根据积分的区域可加性有仃f(x,y)dd=仃f(x,y)dd+仃f(x,y)d6。DD1D2v方(u,v)00-1-1可得口f(x,y)dxdy=口f(u,-v)Jd6=JJf(u,-v)dudv,D2d2D2，其中D2=(u,v)u=x,v=y,(x,y)wD2)=<(x,y)(x,y)w口21=口1,于是iif(x,y)d、.=f(u,-v)dudv=f(x,-y)dxdyDD'D1从而JJf(x,y)d6=JJf(x,y)d6+口f(x,y)dd=f(x,y)+f(x,y)dxdy,DDD2D1因

13、为2f(x,y),f(x,y)为y的偶函数，f(x,y)+f(x,-y)=J,”*,丫)为丫的奇函数.所以2口f(x,y)d$,f(x,y)为y的偶函数，口f(x,y)d6=D1D&,f(x,y)为y的奇函数类似的可以得出定理3,推论1以及定理4.(此处能否都用定理符号，感觉有点乱)定理3设区域D关于y轴对称，D1=(x,y)(x,y)WD,x之0)，若f(x,y)在区域D上可积，则2JJf(x,y)d6,f(x,y)为x的偶函数，Uf(x,y)d6=JD；D0,f(x,y)x的奇函数。推论1设f(x,y)在区域D上可积，且D关于x轴和y轴都对称，则当f(x,y)同时满足关于x和y的偶

14、函数特性时，有jjf(x,y)d6=4jf(x,y)d6DDi其中D1=(x,y)(x,y)wD,x之0,y>0)；当f(x,y)满足关于x或y的奇函数特性时，有fjf(x,y)d3=00D当积分区域关于坐标原点对称，被积函数具有二元全奇偶性时，可利用定理4来简化二重积分的计算.定理4设区域D关于原点对称，Di=(x,y)(x,y)wD,x之。,若f(x,y)在区域D上可积，则2.f(x,y)d、"iif(x,y)d、：=D；D0,f(x,y)为x,y的二元全偶函数(f(-x,-y)=f(x,y)，f(x,y)x,y的二兀全奇函数(f(-x,-y)=-f(x,y)。22.一例4

15、计算I=Q(x+y)dd,其中D是由抛物线y=x,y=4x及直线y=1围成D解：丁I=口xd6+口yd6,又区域D关于y轴对称，如图1所示，DDf(x,y)=x-f(-x,y)f(x,y)=y=f(-x,y)二Hxd6=0,口ydS=2fydS1y2=2ydyydx=-025DDD；=(xy)d、.=211yd、.DDi例5计算口（xDydxdy,D=般,y)x+yM2)。分析：积分区域既对称于X轴，又对称于y轴（如图1）,被积函数是推论1有.(xD或者或者.（XDx或y的一元偏偶函数.+y)dxdy=2ff(xD1D2+y)dxdy=2ff(xD1D4y)dxdy=4j(x+yDi此外，积分

16、区域D=DiUD2UD3UD4,其中Di,D3与D2,D4分别关于原点对称，被积函数是x,y的二元全偶函数.应用定理4得口（x|十Dy)dxdy=2(x+y)dxdyDi-2.(D2+y)dxdy又有定理2,3知ff(x+y)dxdyDi=口(x+y)dxdy,D4U(x+Iy)dxdyDi+y)dxdy于是，只要计算在Di上的积分即可.(三)三重积分的计算三重积分的计算同样可用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化.常用的结论如下,其中C是Q关于对称平面、对称轴或对称点一侧的区域.定理五：(1)当积分区域C关于yoz平面对称，则0若f关x于为奇函数,JJJf(x,y,z)dv=2f(x,y

17、,z)dv若f关x于为偶函数.此处有打印错11.其中。1=&x,y,z/cx>0)(2)当积分区域C关于xoz平面对称，则0若f关y于为奇函数，川f(x,y,z)dv=2相f(x,y,z)dv若f关y于为偶函数.(此处有打印错误),其中Qi=4x,y,z户C|y>0)(3)当积分区域C关于xoy平面对称，则0f(x,y,z)dv=«,f(x,y,z)dv11若f关z于为奇函数若f关z于为偶函数.此处有打印错其中Q=(x,y,z)Cz之0证明：(1)依三重积分的性质得:川1f(x,y,z)dv=用f(x,y,z)dv+mf(x,y,z)dv其中''J

18、。Q=(x,y,z)WCx。,复2=(x,y,z)WCxM0-1贝JJ=D(x,y,z)-0D(t,y,z)00010=-1J101|x=-t作变量替换,y=y(t,y,z)wQ,z=z当f(x,y,z)关于变量x为偶函数时川f(x,y,z)dv=0jf(-t,y,z)Jdtdydz=mf(t,y,z)dtdydzU。1当f(x,y,z)关于变量x为奇函数时川f(x,y,z)dv=mf(_t,y,z)Jdtdydz=_mf(t,y,z)dtdydz又积分与积分变量无关。0若f关x于为奇函数，所以川f(x,y,z)dv=也巾f(x,y,z)dv若f关x于为偶函数.11.''J余下

19、定理同理可证。例6计算I=m(xy+yz+xz)dv,其中夏为抛物体2az至x2+y2(a>0)与球体x2+y2+z293a2的公共部分，如图解：因为C关于y=0面对称，而xy,yz关于y是奇函数所以巾(xy+yz)dv=0,又Q关于x=0面也对称，而xz关于x是奇函数所以xzdv=01=0(四)曲线积分计算类似重积分的计算，曲线积分的计算也可以利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化.常用的结论如下.定理六当积分曲线L为平面曲线，且L关于y轴(或x轴)对称，被积函数f(x,y)关于x(或y)具有一兀偏奇偶性，则0若f(x,y)关于变量x(或V)为奇函数f(x,y)dS12(f(x,

20、y)ds若f(x,y)关于变量x(或y)为偶函数'其中Li=4x,y/Lx之0(或y之0)上证明：设关于y轴对称的平面光滑曲线L的函数为y=y(x),xwLa,a，则:lf(x,y)dsf(x,y(x)Jl+(y'(x)fdx'(x)fdx=0f(x,y(x)/+(y'(x)fdx+(f(x,y(x)l+(y又令x=-t,则：-f(x,y(x)V1+(y'(x)2dx=ff(T,y(t)事十(y'(t)fd(t)=-ff(-t,y(-t)h/i+"(t)fdt=f(t,y(-t)<1+(y-t)2dt_a0由于L关于轴对称及y(-

21、t)=y(t),y'(t)=y'(t)当f(x,y)关于x是偶函数时：上式=20f(x,y(x)，i+(yx)fdx二ff(x,y)ds=_jf(x,y(x)Ji+(y'(x)jdx=2ff(x,y)dslLi当f(x,y)关于x是奇函数时，同理可证。例7设L是圆周求x2+y2=R2,求J(x2+y3)ds解：<I=qx2ds+<jy3ds,L关于x轴和y轴对称，f(x,y)=x2关于x是偶函数，f(x,y)=y3关于y是奇函数，则：2d22221.刀22一_3.二2_3I=2：(xds+0(L1=tx,yx十y二R且x20)尸217TRcosRd9=4Rc

22、osd日=nR12定理七当积分曲线L为空间曲线，且L关于坐标面xoy(或yoz或zox)对称，被积函数关于z(或x或y)具有一元偏奇偶性时，则0若f(x,y,z)关于变量z(或x或y)为奇函数f(x,y)ds2rf(x,y,z)ds若f(x,y,z)关于变量z(或x或y)为偶函数1证明同上：(五)曲面积分计算在曲面积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性。定理八(第一类曲面积分)设分片光滑曲面工关于xoy面对称，乙为曲面在xoy面的上半部分，&：z

23、=z(x,y注0,那么0若f(x,y,z)关于z为奇函数口f(x,丫加二上卜(x,y,z)ds若f(x,y,z)关于z为偶函数证：设工=£i+工，22为与Zi关于xoy面对称的曲面，乙：z=-z(x,y)Zi和乙在xoy面上的投影为Dxy,z=z(x,y)和z=-z(x,y)是Dxy上的单值函数。故f(x,y,z)ds=f(x,y,z)ds-hf(x,y,z)ds=f(x,y,z(x,y),1-zx2.zy2dxdy+f(x,y,_z(x,y)1-(_zx2).(_zy2)dxdyDxyDxy=ii|f(x，y,z(x，y)-f(x，y,-z(x，y)l.i-zx2-zy2dxdyD

24、xy当f(x,y,z)是z的奇函数时，f(x,y,z)=_f(x,y,z)有f(x,y,z)ds=0t当f(x,y,z)是z的偶函数时，f(x,y,z)=f(x,y,_z)有!f(x,y,z)ds=2iif(x,y,z)ds、*若z关于另外两个坐标面有对称性，则有类似的方法。第二类曲面积分的奇偶对称性也有类似的性质，参照上述证明过程同样可以得到下述定理。定理九(第二类曲面积分定理)设分片光滑的空间曲面工关于yoz面对称，Zi为曲面在yoz面的前半部分，X1：x=x(y,z)>0,那么0f(x,y,z)ds=2iif(x,y,z)dsIIfIf若f(x,y,z)关于x为奇函数若f(x,y,z)关于x为偶函数图2圆柱外侧面图若工关于另外两个坐标面有对