导数问题的六大应用

1、导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题.因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值1217分.下面例析导数的六大热点问题，供参考.一、运算问题是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题.例1已知a>0,n为正整数.设y=(x-a)n,证明y'=n(x-a)n.n证明：因为(x-a)n=£C；(a)n'xk,k.0

2、nnnJkk1_ck,kjn加以y=Ek(-a)x=工nCn_i(a)x=n(xa)k_0k_0例2已知y=(x+I)；用定义法求y'.，、-232,求y=2x3x+4+=的导数.xx已知函数f(x)=Vax1，、12-T/一f(x)=-(ax-1)2?2ax,即f(1)=a(a-1)2=2,解得a=2.二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题.特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中:-1,且f'(1)=2,求a的值.分析：对于运用导数的定义，即y'=即,即可解决；对于可应用(u±v)'=

3、v+u以及(x")'=axa，解之；对于是逆向型的复合函数导数运算问题，用y'x=y；,u1及方程思想即可解决.解析：y'=limy=lim/0/-x-x-：0(x八八x1)2-(x1)2=1m(2x+2+Ax)=2x+2.34由法则，即得y'=4x-3+-.xx曲线y=f(x)在点P(xcf(X0)处的斜率k,倾斜角为0,则tan日=k=f'(x0).其切线1的方程为：y=y0+f*(x0)(x-xo).若曲线y=f(x)在点P(xo,f(Xo)的切线平彳r于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x=xo.1.ax例3已知a>

4、0,函数f(x)=2:二x1:二一a记曲线y=f(x)在点M(xf(x1)处的切线为1.求l的方程;设l与x轴交点为(x2,0)证明:解：求f(x)的导数：f'(x)的方程:1-ax1y_()=-xii(x-xi).x证明：依题意，切线方程中令y=0,2x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),其中0<x1<一.a=x1(2ax1)，有x2>0,及x2-a(x1小,2由0cxic,x2a二0%21，一，<，当且仅当axi1时,ai(一时，ax1<1,a因此,x2=x1(2-ax1)xi5且由,x2所以xi>0,f(x)=ax2+bx+c,曲

5、线y=f(x)在P(x0,f(x0)处切线的倾斜角的取值范围是0,则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围是41(A) 0,a1(B) 0,2ab(C) 0,|2ab-1(D) 0,|2a解：f'(x)=2ax+b,故点P(x0,f(x0)处切线斜率k=2ax)+b=tanHC0,1,于点P到对称轴x=-b-的距离d=|x0(-b-)|=2a2a2ax0b2a1，e0,故选(B).2a三、单调性问题一般地，设函数y=f(x)在某个区间内可导.如果f'(x)>0,则f(x)为增函数；如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.单调性是导数应用的重点内容，主要有四

6、类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参数；先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题.x例5设a>0,f(x)=J+是R上的偶函数.aex(I)求a的值；(II)证明f(x)在(0,+8)上是增函数。(I)解：依题意，对一切xR有f(xf(-x1即xea1x1x1一+=-+aex,所以(a)(ex-)=0对一切xWR成立aexaexaex1.O由此信到a=0,即a=1a又因为a>0,所以a=1(n)证明：由f(x)=ex+e-x得f*(x)=ex-e=e(e2x-1)当x0,+81寸，有e">0,e2x-1>0此时f'(x)>0

7、,所以f(x)在(0,+8*增函数.评注：对于第(n)问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f(x1)f(x2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”.四、极值问题即运用导数解决极值问题.一般地，当函数f(x)在左处连续，判别f(%)为极大(小)值的方法是：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x()是极大值.如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.例6函数y=1+3x*3有()(A)极小值1,极大

8、值1(B)极小值2,极大值3(C)极小值2,极大值2(D)极小值1,极大值3分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值.2解：由y'=33x=0,得x=1或x=1.当xC(8,1)U(1,十0°)时，y'<0.当xC(1,1)时，y'>0.因此函数y=1+3x-x3在(8,1)上单调递减，在(1,1)上单调递增，在(1,十°°)上单调递减，即x=1是极小值点，x=1是极大值点.所以极小值为1,极大值为3,故选(D).五、最值问题运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：若f(x)在a,b上连续，

9、在(a,b)内可导，则求f(x),令f'(x)=0,求出在(a,b)内使导数为0的点及导数不存在的点.比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在a,b上的最大值，最小者便是f(x)在a,b上的是小值.一一42例7求函数f(x)=x2x+5在2,2上的最大值与最小值.,.3解：f(x)=4x4x,令f(x)=0,解得Xi=-1,x2=0,x3=1,均在(一2,2)内.计算f(-1)=4,f(0)=5,f(1)=4,f(-2)=13,f(2)=13.通过比较，可见f(x)在2,2上的最大值为13,最小值为4.六、应用问题如果所制做容器的底面的一边例8用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架,比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.解：设容器底面短边长为xrn,则另一边长为(x+0.5)m,高为14.84x-4x0.53=3.2-2x.4由3.22x>0和x>0,得0cx<1.6,设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.22x)(0<x<1.6)