小学数学奥数测试题完全平方数_人教版

1、2019年小学奥数数论专题一一完全平方数1.1234567654321x(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)是的平方.2 .1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6,这个算式的得数能否是某个数的平方？3 .写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.4 .一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？5 .从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？6 .1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是.7 .已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。8 .已知自然数n满足：12!除

2、以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。9 .考虑下列32个数：1!,2!,3!,，32!,请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是.10 .一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？11 .能否找到这么一个数，它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数？12 .三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80,第二大的数减去最小的数的差为60,求这三个数.13 .有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为.14 .求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3

3、后是完全立方数，乘以5后是5次方数.15 .两个完全平方数的差为77,则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？16 .有两个两位数，它们的差是14,将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是.(请写出所有可能的答案)17 .A是一个两位数,它的6倍是一个三位数B,如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为.18 .已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是.19 .

4、一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数.已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7.如果把组成它的数字都加上3,便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数.20 .有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.21 .能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.22 .证明：形如11,111,1111,11111,的数中没有完全平方数。23 .三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”.问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？24

5、.记S=(1M2M3x|Mn)+(4k+3),这里n>3.当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k,使得S是一个正整数的平方.25 .称能表示成1+2+3+H|+k的形式的自然数为三角数.有一个四位数N,它既是三角数，又是完全平方数.则N=.26 .自然数的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49,，问：第612个位置的数字是几？27 .A是由2019个“4”组成的多位数，即444UU,A是不是某个自然数B的平方？如2002个4果是，写出B;如果不是，请说明理由.参考答案1. .7777777的平方【解析】1234567654321=11111112,1+2+3+4+5+6

6、+7+6+5+4+3+2+1=72,22原式=(1111111M7)=7777777.2. 不可能【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少.平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9,而2,3,7,8不可能是平方数的个位数.这个算式的前二项之和为3,中间二项之和的个位数为0,后面二项中每项都有因子2和5,个位数一定是0,因此，这个0算式得数的个位数是3,不可能是某个数的平方.3. 361,400,441,484,529,576,625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)力口1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23X52

7、X7,所以它的约数有(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360630之间有多少个完全平方数？18X18=324,19X19=361,25X25=625,26X26=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252即360至IJ630的自然数中有奇数

8、个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.4. 14,20解析设该数为p1a1xp2a2p；n,那么它的平方就是pi2alMp22a2刈1|黑Pn2%,因此(2a1+1产(2a2+1*ll&2an+1)=39.由于39=1父39=3X13,所以，2al+1=3,2a2+1=13,可得a1=1,a2=6；故该数的约数个数为(1+1炉(6+1)=14个；或者，2&+1=39,可得a1=19,那么该数的约数个数为19+1=20个.所以这个数的约数个数为14个或者20个.5. 31【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现.而72=23父32=2乂6父6,所

9、以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2M31M31=1922<2008c2M32M32=2043所以2父12、2M22、2M312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个.6. 2543【解析】先将1016分解质因数：1016=2M27,由于1016Ma是一个完全平方数，所以至少为24父1272,故a最小为2父127=254.7. 2【解析】3528=23父32父72,要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2.8. 231【解析】先将12!分解

10、质因数：12!=210M35父52M7M11，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210父34父52,所以n最小为12口210m34父52)=3x7x11=231.本题也可以这样想，既然12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3,7,11的哥次是奇数，所以n的最小值是3M7x11=231.9. 15【解析】设这32个数的乘积为A.所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数.另外，由于16!=16父15!,而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意.10. 424【解析】设这个数减去63为A2,减去100为

11、B2,则A2-B2=(A+BRA-B)=100-63=37=37父1,可知A+B=37,且AB=1,所以A=19,B=18,这样这个数为182+100=424.11. .不可能【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2,那么这两个完全平方数的差为54=(A+B'(AB),由于(A+B)和(AB)的奇偶性质相同，所以(A+B'(AB)不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数.所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的.12. 12、8、2【解析】设这三个数从大到小分别为A2、B2、C2,那么有(A+B'(A-B)=80,

12、(A+C'(AC)=140,因为140=2父2父5父7,A+C、AC同奇同偶，所以有A+C=14,AC=10或A+C=70,AC=2,分别解得A=12,C=2和A=36,C=34,对于后者没有满足条件的B,所以A只能等于12,C=2,继而求得B=8,所以这三个数分别为12、8、2.13. 1123【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的.设中间数是x,则它们的和为5x,中间三数的和为3x.5x是平方数，设5x=52Ma2,则x=5a2,3乂=1522=3乂5黑22是立方数，所以a2至

13、少含有3和5的质因数各2个，即a2至少是225，中间的数至少是1125,那么这五个数中最小数的最小值为1123.14. 215M320父524【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子.设这个数分解质因数之后为2aM3bM5c，由于它乘以2以后是完全平方数，即2a*父3隈5c是完全平方数，则(a+1)、b、c都是2的倍数;同理可知a、(b+1)、c是3的倍数，a、b、(c+1)是5的倍数.所以，a是3和5的倍数，且除以2余1;b是2和5的倍数，且除以3余2;c是2和3的倍数，且除以5余4.可以求得a、b、c的最小值分别为15、20、24,所以这样的自然数最小为215X320

14、X524.15. 85【解析】设这两个完全平方数分别是A2和B2,且A2B2=77,则两个完全平方数的和可以表示为77+2B2,所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而(A+B'jAB)=77,77=7x11=1x77,当A+B=77,AB=1时，B取得最大值38,此时两个完全平方数的和最大，为2965;当A+B=11,A_B=7时，B取得最小值2,此时两个完全平方数的和最小，为85.16. 18、32,43、57,68、82【解析】设这两个两位数中较小的那个为n,则另外一个为n+14,由题知，(n+14)2n2=100k(k为正整数)，即7(n+7)=25k,由于(7,25)=

15、1,所以25(n+7),由于n与n+14均为两位数，所以17<n+7E92,故n+7可能为25、50或者75,n可能为18、43或者68.经检验，n=18、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32,或者43、57,或者68、82.17. 145【解析】如果把B放在A的左边，得到的五位数为100B+A=601A;如果把B放在A的右边，得到的五位数为1000A+B=1006A;这两个数的差为1006A_601A=405A,是一个完全平方数，而405=92父5,所以A是5与一个完全平方数的乘积.A又是一个两位数，所以可以为5M22、5父32、5M42,A的所有可能取值之和为5M22+

16、5父32+5父42=145.18. 3163和8368【解析】本题综合利用数论知识，因为而是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36,所以可以确定B为1或3,C=6.由于CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在6169中只有63和68符合条件，那么A为3或8.那么AB可能为31,33,81,83,其中是质数的有31和83,所以满足条件的四位数有3163和8368.19. 1156【解析】设这个四位数为abcd=m2，由于其各位数字都小于7,所以每位数字都加3,没有发生进位，故由一得：3333=n2-m3=(n-m)(n+m)将3333分解质因数

17、，有3333=3X11X101,其有(1+1)x(1+1)x(1+1)=8个约数，但是有n+mnm,所以只有4种可能，即3333=1父3333=3父1111=11父303=33父101.由于m2=abcd之1000,故m>30,所以(n+m)(n-m)=2m>60;又n2=(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)<10000,所以n<100,故(n+m)+(nm)=2n<200；检验，只有33x101满足101_33>60且101+33<200,所以n+m=101,n_m=33,得m=34,原来的四位数为342=1156.20. 1444【解析】平方数

18、的末尾只能是0,1,4,5,6,9,因为111,444,555,666,999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数.考察1111,1444可以知道1444=38x38,所以满足条件的最小正整数是1444.21. .见解析【解析】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1,因此任一正整数的平方n2被4除余0或1.假设存在四个正整数%、降、”、Q,使得nn+2002=m2(i,j=1,2,3,4,i¥j).又2002被4除余2,故nm被4除余2或3.若小、不、露中有两个偶数，如小n2是偶数，那么是4的倍数，nnj+2002被4除余2,所以不可能是完全平方数；因此小我、虱、山中至

19、多只有一个偶数，至少有三个奇数.设丘、山、色为奇数，1为偶数，那么n、%、%被4除余1或3,所以nP5、中至少有两个数余数相同.如n“被4除余数相同，同为1或3,那么1明被4除余1,所以n,1+2002被4除余3,不是完全平方数；综上，n口+2002不可能全是完全平方数.22. 略【解析】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1,偶数的平方能被4整除.现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.23. 60【解析】60=3父4父5是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60.任何三个连续正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3.若

20、中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4.另外，由于完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9,若其个位是0和5,则中间的数能被5整除；若其个位是1和6,则第一个数能被5整除；若其个位是4和9,则第三个数能被5整除.所以，任何美妙数必有因子5.由于3,4,5的最小公倍数是60,所以任何美妙数必有因子60,故所有美妙数的最大公约数至少是60.综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60,又至少是60,所以，只能是60.24. 8【解析】一个平方数除以4的余数是0或1.当n之4时，S除以4余3,所以S不是平方数；当n=3时，S=4k+9,当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：52,22222227,9,11,13,15,17,19,其中每1个平方数对应1个k,所以答案为8.25. 1225【解析】依题有1+2+3+HI+k=a2,即kk号戋=a2.因为k与k+1是两个连续自然数，其中必有