导数中的求参数取值范围问题

1、令g(x)x(a2)xa,1(a2)a0,1(a2)a0(2)假设函数f(x)在R上单调递减,那么即x2(a2)xxxx2,e0,x(a令g(x)x(a2)xa,v图象开口向上不可能对xR都成立假设函数f(x)在R上单调递减,那么f(x)0对xR都成立,即x2(a2)xae-x0对xR都成立,xc2,八,一、Ie0,x(a2)xa0对xR都成立.22,(a2)24aa240故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知,函数f(x)不可能是R上的单调函数例2：函数fxalnxax3aR假设函数yf(x)的图像在点(2,f(2)处的切帮你归纳总结(五)：导数中的求参数取值范围问题一、常见基此题型：

2、(1)函数单调性,求参数的取值范围,如函数f(x)增区间,那么在此区间上导函数f(x)0,如函数f(x)减区间,那么在此区间上导函数f(x)0.(2)不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题.2x例1.aR,函数f(x)(xax)e.(xR,e为自然对数的底数)(1)假设函数f(x)在(1,1)内单调递减,求a的取值范围；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数,假设是,求出a的取值范围；假设不是,请说明理由.解：(1)ff(x)(x2ax)e-xf(x)(2xa)e-x(x2ax)(e-x)=x2(a2)xae-x.要使f(x)在-1,1上单调递减,那么f(x)0对x(1,

3、1)都成立,2x(a2)xa0对x(1,1)都成立.g(1)0,那么g(1)0.3a一.2f(x)0对xR都成立ae-x0对xR都成立.2)xa0对xR都成立2线的倾余角为45；,对于任意t1,2,函数gx32/,、m_、X3x2f/(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围；解：由f/(2)a1,a22f(x)2lnx2x3g(x)x3(m2)x22x,g/(x)3x2(m4)x22人/2令g(x)0得,(m4)240故g(x)0两个根一正一负,即有且只有一个正根7函数gxx3x2f/(x)m在区间(t,3)上总不是单调函数2g/(x)0在(t,3)上有且只有实数根g/(0)20

4、,g/(t)0,g/(3)037兀2m一,(m4)t23t故m4-3t,3t一2而y33t在t1,2单调减,例3.函数f(x)lnx1x1.44x(I)求函数f(x)的单调区间；(n)设g(x)x22bx4,假设对任意m9,综合得一m93Xi(0,2),x21,2,不等式f(xi)g(xz)恒成立,求实数b的取值范围.1斛：(I)f(x)lnx-x4f(x)1的定义域是(0,4x34xx23224x4x由x0及f(x)0得1x3；由x0及f(x)0得0故函数f(x)的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是(0,1),(3,)(II)假设对任意x1(0,2),x21,2,不等式f(x1)g(x

5、2"l1成立,问题等价于f(x)ming(x)max,由(I)可知,在(0,2)上,x1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点,所以f(x)min2g(x)x2bx4,x1.2当b1时,g(x)maxg(1)2b5；当1b2时,g(x)maxg(b)b24；当b2时,g(x)maxg(2)4b8;b1问题等价于1122bb21 2b24b8解得b,142rr14.一即b,所以实数b的取值范围是22一一.2例4.设函数f(x)xmlnx,h(x)xxa,(1)当a=0时,f(x)Rh(x)在(1,+°°)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m2时

6、,假设函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.解：(1)由a=0,f(x)>h(x),可得一mnx>x,xC(1,十0°)即m<-x-.lnx、x一记6(x)=j,那么f(x)>h(x)在(1,+°°)上恒成立等价于()(x)min.lnx,lnx1求得()(x)=ln2x当xC(1,e),6'(x)v0；当xC(e,+8)时,6'(x)>0.故6(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,即6(x)min=6(e)=e,故m<e.(2)函数k(x)=f(x)h(x)在1,3上

7、恰有两个不同的零点等价于方程x-21nx=a,在1,3上恰有两个相异实根.令g(x)=x2ln,贝Ug'(x)v12.x当xC1,2)时,g'(x)<0;当xC(2,3时,g'(x)>0.g(x)在(1,2)上是单调递减函数,在(2,3上是单调递增函数.故g(x)min=g(2)=22ln2.又g(1)=1,g(3)=32ln3,-g(1)>g(3),只需g(2)vawg(3).故a的取值范围是(2ln2,32ln3.二、针对性练习1.函数f(x)x2alnx.假设函数g(x)f(x)2x在1,4上是减函数,求实数a的取值范围._,22_a2解：由g(

8、x)xalnx一,得g(x)2x.xxx一一,92又函数g(x)xalnx一为1,4上的单倜减函数.x那么g(x)0在1,4上恒成立,所以不等式2xa20在1,4上恒成立.xxrr22.即a2x在1,4上恒成立.x2_2设(x)2x,显然(x)在1,4上为减函数,x所以(x)的最小值为(4)63.2a的取值范围是a63.22.函数f(x)ex1x4.(1)右存在x1,ln-,使ae1x0成立,求a的取值范围;3(2)当X0时,f(x)tx2恒成立,求t的取值范围.解：(1)aex2,不符合题意.综上可得x,即af(x).f'(x)ex10,x0.x0时,f(x)0,x0时,f(x)0.

9、f(x)在(,0)上减,在(0,)上增.x0又41,1n3时,f(x)的最大值在区间端点处取到4一31n14一3,4-3Inf,1一e111eD/kf4-3In1-31一e4-3In14-31一e4-3InfD/kf441f(1)fln,f(x)1,ln13在3上最大值为e1故a的取值范围是e,(3)由得x0时,exx1tx20恒成立,x2'x设g(x)ex1tx.g(x)e12tx.x由(2)知e1x,当且仅当x0时等号成立,'故g(x)x2tx(12t)x,从而当12t0,t1即2时,g(x)0(x0),g(x)为增函数,又g(0)0,2t1于是当x0时,g(x)0,即f(x)tx,2时符合题意1xxt由e1x(x0)可得e1x(x0),从而当2时,g(x)ex12t(ex1)ex(ex1)(ex2t),故当x(0,ln2t)时,g(x)0,g(x)为减函数,又g(0)0,1t的取值范围为,213.函数f(x)1n(1%),设h(x)xf(x)xxax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围.解：由h(x)xf(x)xax3可得,hN11-M3"'*3"+1)n(x)-1-3gx9假设a20,对任总工2)出(工)<0,b(x)在(0,2