2020年中考数学模拟试题汇编专题9：一元二次方程及其应用

1、一元二次方程及其应用一、选择题1. （浙江杭州萧山区模拟）下列关于方程X2+X-1=0的说法中正确的是（）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数C.该方程有一根为,2D.该方程有一根恰为黄金比例【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法.【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及一元二次方程根的意义逐一进行判断即可.【解答】解：A、=12+4X10,程X2+X-1=0有两个不相等的实数根，此选项错误；日方程两根的和为-1,它们不互为相反数，此选项错误；C把X=5代入X2+X-1得X2+XW0,故此选项错误；DK把X=-I代入X2+X-1得X2

2、+X=0,故此选项正确.故选：D.【点评】此题考查了一元二次方程的解，根的情况与判别式的关系：（1）4。？方程有两个不相等的实数根；（2）A=0?方程有两个相等的实数根；（3）0,即22-4X(m-2)X10,然后解不等式组即可得到m的取值范围.【解答】解：.关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，.m2金0且40,即224X(m2)X10,解得m2B,a2C,al.【考点】根的判别式；一元一次方程的解.【分析】需要分类讨论：当该方程是一元一次方程时，二次项系数m-5=0;当该方程是一元二次方程时，二次项系数m-5W0,A0;综合即可求得m满足的条件.【解答】解：当关于x的方

3、程（m-5）x2+4x-1=0是一元一次方程时，m-5=0,解得，m=5当（m-5）x2+4x-1=0是一元二次方程时，=16-4X（m-5）X（-1）0,且m-50,解得，ml且m5;综合知，m满足的条件是1.故答案是：m1.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解答本题要注意分类讨论，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.5 .（天津五区县一模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b-1=0有两个相等的实数根，则b的值是2.【考点】根的判别式.【专题】计算题.0,即可求出b的值.【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于【解答】解：根据题意得：=b

4、2-4（b-1）=（b-2）2=0,则b的值为2.故答案为：2【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.6 .（重庆铜梁巴川一模）从-3,-2,-1,0,1,2,3这七个数中随机抽取一个数记为a,则a的值是不等式组的解，但不是方程x2- 3x+2=0的实数解的概率【分析】首先解不等式组，即可求得a的取值范围，解一元二次方程x2-3x+2=0,可求得a的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.、肝5募【解答】解：士，|-2,由得：x-J|,a的值是不等式组2的解，且,的解，但

5、不是方程 x2- 3x+2=0的实数解的概率为：.a的值是不等式组J3+二1322故答案为：专7. (山西大同一模)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.答案：20%8. (云南省一模)一元二次方程6x2-12x=0的解是x产0,x2=2.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【专题】计算题.【分析】利用因式分解法解方程.【解答】解：6x(x-2)=0,6x=0或x-2=0,所以x1=0,x2=2.故答案为xi=0,X2=2.【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

6、个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.9. （云南省二模）一元二次方程X24x+4=0的解是xi=X2=2.【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案.【解答】解：x2-4x+4=0,（x-2）2=0,x-2=0,x=2,即xi=x2=2,故答案为：xi=x2=2.【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键.10. （上海闵行区二模）方程缶+3=2的解是.【考点】无理方程.【专题】推理填空题.【分析】根据解无理方程的方

7、法可以解答本题.【解答】解：倔花=2,两边平方，得2x+3=4,检验：当x=时，故原无理方程的解是x弓.二注意最后要进行检验.【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是明确解无理方程的解11. （上海浦东模拟）方程5x3的解是答案：x412. （吉林东北师范大学附属中学一模）一元二次方程2x2x10的根的判别式的值是.答案：94+2 .2【考点】解7L13. （江苏常熟一模）如图，在？ABC邛,AUBC于E,AE=EB=EC=a且a是一元二次二次方程-因式分解法；平行四边形的性质.计算题.【分析】先解方程求得a,再根据勾股定理求得AB,从而方t算出？ABCM周长即可.【解答】解：是一元二次方程x

8、2+2x-3=0的根，(x1)(x+3)=0,即x=1或-3,.AE=EB=EC=aa=1,在RtABE中，AB=/a2+a=/2a=/2,?ABCDW周长=4a+2/la=4+的.故答案为：4+2.【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握.214. （广东河源一模）已知关于x的一兀二次万程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是。答案：k-1且kw015. （广东深圳联考）关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是.16. （江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试）一元二次方程x

9、2-2x=0的解是.答案：xi=0,X2=217. （江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试）网购悄然盛行，我国2012年网购交易额为1.26万亿人民币，2014年我国网购交易额达到了2.8万亿人民币.如果设2013年、2014年网购交易额的平均增长率为X,则依题意可得关于x的一元二次方程为.答案：1.26（1+x）2=2.818. （上海市闸北区中考数学质量检测4月卷）某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元.若设这个相同的增长率为x,那么可列出的方程是.答案：100（1+x）2=125；19. （吉林

10、长春朝阳区一模）一元二次方程x2-2x+2=0根的判别式的值是-4.【考点】根的判别式.【分析】直接利用根的判别式=b2-4ac求出答案.【解答】解：一元二次方程x2-2x+2=0根的判别式的值是：=（-2）2-4X2=-4.故答案为：-4.【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键.20. （湖南湘潭一模）方程,q2的根是（x3）x3答案：x1=3x2=421. （黑龙江齐齐哈尔一模）某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1000个.市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个.已知进价为每个20元，当鼠标垫售价为元/个时

11、，这星期禾I润为9600元.答案：28或3222. （广东一模）关于x的方程a（xm）2b0的解是x1=-2,x2=1（a,mjb均为常数，aw0）,则方程a（xm2）2b0的解是。答案：x1= -4x2= -1三、解答题1、（枣庄41中一模）（1）解方程：x2-4x+2=0解：（1）方程整理得：x2-4x=-2,配方得：x2-4x+4=2,即（x2）2=2,开方得：x-2=,解得：x1=2+,x2=2-;2、（枣庄41中一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.（1）不妨设

12、该种品牌玩具的销售单价为x元（x40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）1000-10x销售玩具获得利润w（元）-10x2+1300x-30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元.（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用.【专题】优选方案问题.【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=60

13、0-（x-40）X10=1000-10x,J润=（1000-10x）（x-30）=-10x2+1300x-30000;（2）令10x2+1300x-30000=10000,求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=-10x2+1300x-30000转化成y=-10（x-65）2+12250,结合x的取值范围，求出最大利润.【解答】解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000-10x销售玩具获得利润w（元）-10x2+1300x-30000(2)-10x2+1300x-30000=10000解之得：Xi=50,X2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利

14、润，(3)根据题意得解之得：44WXW46,w=-10X2+1300X-30000=-10(x-65)2+12250,.a=-10v0,对称轴是直线x=65,.当44x46时，w随X增大而增大.当x=46时，W最大值=8640(元).答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.3. (天津市南开区一模)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)根据图象求y与x的函数关系式；(2)商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？【考点】一次函数的应用；一元二

15、次方程的应用.【分析】(1)根据图象可设y=kx+b,将(40,160),(120,0)代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可；(2)根据每千克的利润X销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论.【解答】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(40,160),(120,0)代入，得，解得所以y与x的函数关系式为y=-2x+240(40x1200,，x取得最小值1200时，1800-x取得最大值600,答：最多用600元购买B种跳绳;(2)根据题意得：25(1+4a%X72(1-2.5a%)=1350,令a

16、%=m则整理得：40m?-6m-1=0,解得：m=或a=(舍去)，410a=25所以a的值是25.225.(四川峨眉二模)先化简，再求值：-一44-X-4,其中x的值是方程x2x0xx2x的根.答案：解：原式=242x(x44x)xx2x24x4(x2)(x2)xx(x2)2，x4x4(x2)xx=x2x的值是方程x2x0的根，且x0x1当x1时，原式=12=16.(郑州二模)(9分)已知：关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解.【解答】解：(1)关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根，224

17、ko.解得k1.(2).k1,符合条件的最大整数k0,此时方程为x22x0.x(x2)0.x10,x22.7. (江苏常熟一模)解方程：(1) x2+3=3(x+1);(2)2x2-4x+1=0.【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.【专题】方程思想.【分析】(1)可先对方程进行去括号、移项、化简，然后提取公因式，再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.(2)观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定a,b,c,再判断方程的解是否存在，若存一在代入公式即可求解.【解答】解：(1).x2+3=3(x+1),21 -x+3=3x+3,2 .x2-3x=0,x(

18、x-3)=0,x1=0,x2=3;(2) a=2,b=-4,c=1,b-4ac=16-8=80,x=X1=,x2.22【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.8. (江苏丹阳市丹北片一模)(1)解方程：x23x20102,21xx-62-x2x3x1,(2)解不等式组：1x22(x1).答案：(1)x11,x22x=-5(检验)x59. (河南洛阳一模)(9分)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-l)=0(1) 求证：方程一定有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1,请求出方程

19、的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.(1)证明：=(m+2)24(2m-1)=(m-2)2+4,，在实数范围内，m无论取何值，(m-2)2+440,即40.关于x的方程x2(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根.(2)二.此方程的一个根是1,12-1x(2)+(2m-1)=0,解得，m=Z则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3.该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为屈，该直角三角形的周长为1+3+屈=4+屈.当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2-J2-,则该直角三角形的周长为1+3+2j2=4+2

20、J2.10. (湖南省岳阳市十二校联考一模)学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率.【考点】一元二次方程的应用.【专题】增长率问题.【分析】设这两年的年平均增长率为x,根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.【解答】解：设这两年的年平均增长率为x,根据题意得：5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,开方得：1+x=1.2或x+1=-1.2,解得：x=0.2=20%,或x=-2.2(舍去).答：这两年的年平均增长率为20%【点评】考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间

21、的有关数量，b为终止时间的有关数量.11. (湖北襄阳r一模)某省为解决农村困难户住危房的问题，决定实行精准扶贫。省财政部门共投资10亿元对各市的“危房改造”予以一定比例的补助.2013年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“危房改造”，计划以后每年以相同的增长率投资，2015年该市计划投资“危房改造”864万元.(1)求A市投资“危房改造”费用的年平均增长率；(2)从2013年到2015年，A市三年共投资“危房改造”多少万元？答案：解：(1)设求A市投资“危房改造”费用的年平均增长率为X,得，600(1x)2864解之得，X10.2,X22.2(不合题意，舍去)X10.220%答：A

22、市投资“危房改造”费用的年平均增长率为20%.(2)由题意得，600+600(1+X)+864=600+600X120%+864=2184(万元)答：从2013年到2054年，A市三年共投资“危房改造”2184万元.12. (广东深圳一模)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？【考点】一元二次方程的应用.【专

23、题】增长率问题.【分析】(1)设年平均增长率为X.根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1+X)万人次，2011年公民出境旅游总人数5000(1+X)2万人次.根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次.【解答】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.根据题意得：5000（1+x）2=7200,解得xi=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200X（1+20%=8640（万人次）.答：预测2012