小波变换课件第3章紧支撑小波基的构造

1、第3章紧支撑小波基的构造3.1 紧支撑正交小波的构造3.1.1 构造紧支撑正交小波的条件用多分辨分析构造小波的根本思想是：由尺度函数邛T正交尺度函数4T滤波器hT滤波器gT小波中.通常做法：从滤波器h出发T正交尺度函数正交小波函数中.考虑有限冲激响应滤波器fir序列卜=忆,hi,.,hN,它在满足什么条件才能使_N两尺度方程*(t)=亚£h6(2t-k)存在解ML2(R),并且它是L2(R)中的正交尺度函k=0数.由于跖):33竺(3-2)jd、21.式(3-2)由频域形式两尺度万程中仰)=/h侬/2)中侬/2)递推而得,?)./2)?/2)=Lh?：./2)用/4)?(/4)21c

2、CC=一欣,/2)!?('/4)?(/4)2=1=欣./2)!?(/4).!?(/2j)7./2j)2/+h/2)h/4).h/2j)=n的片)j-.2jt.2因此,问题可进一步阐述为,离散滤波器系数ho、h1、,hN在满足什么条件下,无穷积.2,L(R)中的某个正交尺度函数4(t)的傅里叶变换回®).从正交多分辨分析可知,假设小为正交尺度函数,h是对应小的两尺度函数的滤波器,那么h满足以下条件：1)%.,.2n=、°nk2)"hk='.2k?二h(/2j)3) ?()二j122(33)(34)(35)可以证实,式(33)和式(34)仅是是构造正交

3、小波的必要条件,并非充分条件.一些结论性的条件：1 .充分条件11) 'hkhk：；2n二-0,nk2) “hk=、,2k,.nn_,c.、.-3)在,上,n(co)#0222.充分条件2(Mallat,1989)1)''hkhk：u2n=、,0,nk2) “hk=2k3) infh(co)>0inf是下确界,即最大的下界.3.充分条件3(Lawton,1990)1)'hkhk-2n='0,nk2)vhkhj2k3)矩阵A=(ai,j)(2Nfx(2N的特征值1是非退化的(不变,或是倍数,但不退化为零)其中N*_日=工八卜'4kN+1i,j

4、£N1(36)k=04.充分条件4(Daubechies,1988)1)'、hkhk2n="0,nk2) 'hk-2k3) p阶消失矩条件R31-%(e%(37)<20其中,当6=n时,Fo(e如)#0,且|F0(e心)|在8=0|_|2n范围内的上界值<2p-1o也就是说,如果FIR滤波器卜=,n,.卜力满足所给定的每组充分条件中的1)、2)、3),那么两尺度方程在中存在且仅存在一个解e(t);并且®(t)是具有紧支撑的正交尺度函数,它的支撑区间为0,No假设gn=(-1)nhi-n,那么-(t)=、,2“gn(2t-n)=、.2%(

5、-1)飞山(2t-n)nnN=2<(-1)n-1hn(2t+n-1)n=0,-N-1N+1为具有紧支撑性的正交小波,其支撑区间为-N-1,-1o223.1.2Daubechies紧支集正交小波著名数学家Daubechies的目标是构造具有高阶消失矩的紧支撑正交小波,引入消失矩的条件,并利用充分条件4构造了一大类具有不同消失矩和紧支集的正交小波.消失矩的定义,性质和作用：(1)消失矩的定义：t*绅(t)dt#0,那么中(t)的前p个具有广0tk(t)dt形式的积分叫函数甲(t)的矩.如果tt"(t)dt=o,k=o,1,2,p-1,p>1,矩消失了(为零),称中(t)有p阶

6、消失矩.小波的定义上绅dt=Lj汕dt=0说明,小波函数至少有1阶消失矩.假设中(t)有p阶消失矩,那么对任何p1次多项式x(t)=%+a1t+.+ap=tp,都有二x(t厂(t)dt=x(t)J(t),=o1J既W(t)与p-1次多项式x(t)是正交的,也就是说p-1次多项式x(t)的小波变换恒为零.假设x(t)为一高阶多项式,例如阶数为N>p,那么其中小于p局部项(对应低频)在小波变换中的奉献为零(消失了),而只有高阶项的奉献,从而使变换后的能量集中在较少数系数上.从这个观点上看,希望W(t)有尽量高的消失矩.后面将会遇到高的消失矩和宽的支撑联系密切,宽的支撑导致计算量增大,是一对矛

7、盾,鱼和熊掌不能兼得.例设f(t)是光滑且p次连续可微的函数,中(t)是具有p阶消失矩的实正交小波函数,其支撑为c,d,下式说明用中(t)表示f(t)时,对于较大的分辨率j>0,可获得比拟小的小波系数(f*,k).；fj,k；=二f(t)'：j,k(t)dt=2j/2二f(t>(2jt-k)dt,.J'用t+2k代t,那么2jt-k=2jt,从而得2Td；=2j/2f(t2jk)：(2jt)dt=2j/2jf(t2一/升(2jt)dt2c假设j足够大,支撑范围c/2j,d/2变小,中j,k(t)变得足够窄变小,积分区间也变小.f(t+2,k)用p阶Tayiorz展开

8、式表示为f(t2,k)：f(2,k)tf'(24k)L2f“(2'k)tpf(p)(2-jk)2!p!由于中(t)具有高阶消失矩,所以2j/2p!fWj,k)期2j/2j：=tpf(p)(2-jk卅(2jt)dt2cp!/、.2Tdf(p)(2k)jtp,-(2jt)dt2c令2jt=y,那么2jt=y,t=2-jy,dt=2-jdy,甲(2jt)=中(y)；而当t=2jc时,y=c,Qj/222Tpp!以及t=2jd时,y=d,再将y改写成t,得df(p)(2-jk)tp,-(t)dtcd由于1ft即(t)dt是一个不等于零白常数,故(fW(t)随j的增大而快速减小.因此,c

9、这种性质对信号压缩和去噪非常重要.另外,如果信号存在一些奇异点(突变点),那么在光滑处小波系数很小,而在奇异处小波系数很大,从而可以快速确定奇异点的位置.(2)消失矩的性质：命题3.1设正交尺度函数小和正交小波函数中的傅立叶变换夕,或是P次连续可微的,那么下面四个条件是等价的：1小波中t具有p阶消失矩.2） 4?切和它的前p-1阶导数在6=0处为零.3） h侬和它的前p-1阶导数在s=n处为零.4） §0和它的前p1阶导数在8=0处为零.命题3.1说明,为构造具有p阶消失矩的正交小波,4仍在3=n处需要有p重零点.现引进因子1+e“°p,它是在切=n处具有p重零点的最小多项

10、式,那么海应满足：.Lf1+ek心hg=拒1F0e3-8、20其中,切=元时,F0e®00.式338的Z变换为乙士、pf1+Zhz=42F0z,F0-1#03-9I2J在z=-1对应o=n,e-=-1处有p重零点.这是使小波具有p阶消失矩的一个约束条件.Daubechies根据充分条件4,在任意给定消失矩p的情况下,提出了能满足要求的F0e®的设计方法,从而构造出紧支集的正交小波,称为Daubechies小波.具体方法是,仆2一将F0e表不为cosco的多项式:(310),由上式310求50第2=£2-1+3j=0<j八2fp-1+j其中,.表示从p-1+J

11、中取J个的组合数构造Daubechies小波滤波器的关键问题是,对给定的消失矩阶数出50仁侬或50Q.i八2*.由于F0z的系数为实数,所以F0ejS=F0zF0z=F0zF0z,因此,从Fo(z)Fo(z,)中的每对互为倒数的零点(CkJ/cJ中选择a-使其在单位圆周£1内,就可以得到最小相位解F0(e如),从而由式(39)可得到有限支撑p+1,p的Daubechies小波滤波器h,相应的尺度函数的支撑为0,2p1(不证).例3.2令p=2,那么2p-161+j'1-COSCO)jF0e0=ZI=2-cosa0j=0<jA2J因此,.-1-1z+z1-1F0(z)F0

12、(z)=2-11=(4-z-z)221 Lf-=(1+.3)+(1-,3)z(1+,3)(1-、.3)z4取位于单位圆内的零点组成F0(z):因此,展开后,得到FO(z)=1(1+.3)+(1-、.3)z-12h(z)=(1+|-)2(1+.3)+(1-3)z-1221+j'y33+J33_V31_V3h0=,h=,h2=,hs=4.2424.24.2D4小波滤波器对应的两它称为D4(db2)小波滤波器,其能量主要集中在前两个系数上.尺度方程和小波方程如下：(3-11)j*(t)=72h0*(2t)+hA2t-1)+h2*(2t-2)+h3(2t3)W(t)=72h3*(2t+2)-h

13、2*(2t+1)+h*(2t)-h0(2t-1)其中,Wt)的支撑区间为0,3LW(t)的支撑区间为1,2oD4尺度函数和小波函数的图形,如图31a,图31b所示.当p=3时,D6小波函数与尺度函数均连续可微；相应的小波滤波器为h0=0.3326705529500825；h1=0.8068915093110924h2=0.4598775021184914；电二0.1350110211102546h4=-0.0854412738820267；1%=0.0352262918857095般,在Daubechies紧支撑正交小波族中,尺度函数和小波函数的光滑性随着消失矩的增图3-1D4db2尺度函数与

14、小波函数p=2db3尺度函数与小波函数p=3db4尺度函数与小波函数p=4db6尺度函数与小波函数p=6db7尺度函数与小波函数p=7mndb8尺度函数与小波函数p=8db9尺度函数与小波函数p=9随着消失矩p的增大,尺度函数金与小波函数中的支撑范围逐渐变宽.3.1.3紧支撑正交小波的构造方法的进一步讨论命题3.1指出小波中t具有p-1阶消失矩,等价于4与和它的前p-1阶导数在h?()二h0he'hte,2'hNe'N,所以,对任何0<kcp,可以求出彳侬)的k阶导数为h(k)()=(.i)kh1e,(.2i)kh2e2,(.Ni)khNeN,令8=n,并注意到e

15、7nn=(-1广,可得h(k)(二)=(_i)k%(-2i)k(-1)2h2e.(-Ni)k(-1)NhN因此,小波中(t)具有p阶消失矩等价于_Lho-hih2.(-1)NhN=0kkNK(3-12)hi-2kh2.(-1)NNKhK=0,0:二k<p将式(3-3),式(3-4)和式(3-12)结合起来,可得到构造具有p阶消失矩的正交小波的约束条件为Ehkhk42n=Mnkghk=V2kh0-%+h2+(-1)NhN=0_kNdKh-2h2.(-1)NhN=0,0k：二p(313)由此,可给出构造有限正交小波滤波器的代数方法,即通过解这个方程组,得到滤波器=hO,h2,.,hz.然后,

16、求出式(3-7)中的F0(eiQ)在s=0|_|2n范围内的上界值.如果它小于等于2P那么h即为所求的滤波器.实际中,从式(3-13)中求出的h通常是满足后要求的.例3.3当p=1,N=2p1=1时,式(3-13)变为hoh；=1h0几12h0-h1=0h1.2.2这正是Haar小波滤波器,因此,Haar小波是Daubechies正交小波中的一员,而且是最简单的一员.例3.4当时p=2,N=2p1=3时,式(313)变为飞+h12+h；+至=1儿母+h|h2=0h0h1h2h3=、2h0-h1+h2-h3=0h-2h23h3u0卜131ho=77T,h,1-3,ho=-,h4.2解方程组,可得

17、仅有的两组解：33.3-3.1-.3二,h2=,h3:4.24.24、23- ;3-3；3-=-,h2,hs42422组解是Symmlets滤波器,具有近似对称性,该滤波第1组解正是D4小波滤波器.而第器在MATLAB中用“sym2表示.例3.5当p=3,N=2p1=5,式(313)变为h2+h2+h；+hf+h：+h；=11h+h.+h2h4+h3h5=0ho%也也h3h6=2ho%十%+h4隹=0h-2h2+3h3-4h3+5h5=02%32h3-42h352h5=0解该方程组,可得D6(db3)小波滤波器.3.2尺度函数与小波函数的求解与作图3.2.1 尺度函数的求解h(/2八1c按式(

18、3-2)取(8)=n'厂,求解、(t)的万法是：利用m0(®)=下?伴)求出jT、2.2QO效与)=口m0©/2j),在对函色)取傅立叶逆变换得*(t)oj1例3.6求Haar小波的尺度函数.Haar小波滤波器系数为:112于是,m°()二1、,2kf1-ik(1+e-),从而救s)有限局部积为J：1jm0,/2j=1ei'/2.e'/4.1e'/2j12设o=e-&/2,并逆转各因子的排序,有J.i.12J1Im0/2丁1,二1人工1二工.1;二7212J2482J1-11-：1-1-24.2J1-：1-：1-1T1-：2

19、J2J1-：1-e,2J1-e-72J因2J一-2J1-1-i./2J2-.=i,o2J故彳=lim11J:二jmj1-e"1-e'mo6/2=Jm2J1.e32J=闿那么,究竟是什么函数的傅立叶变换该函数正是Haar函数.事实上,.又通一出=dt=."咋0i.e-i1但需要指出的是,式(3-2)中,救与)是以无穷积的形式表达的,因此,该公式在实际求解尺度函数时并不是一个好方法.户和小波函数中的3.2.2 正交尺度函数和小波函数的作图尺度函数和小波函数通常不存在解析表达式,那么,如何生成尺度函数波形图呢一般地,如果h的支集为0,N,那么1和甲的支集分别是0,N和-N

20、1N1,1.方法1:求出正交尺度函数和小波函数在二进点处的值假设与尺度函数中对应的小波滤波器h的支撑为0,N.首先求*(1),*(2),4(N-1)出的值,然后计算Wt),中(t)在二进点t=k/2j的值,具体步骤如下：由于,*(t)的支撑为0,N,故对于所有的整数kE0和k2N,都有4(t)=0,在两尺度方程N(t)=JChk(2tk)k=0中,令t=1,2,N-1,得*(1)=72h0*(2)+h*(i)/2)=应儿曲4)+A4(3)+h2e(2)+h3*(1)-欠N-2)=hN,(N1)+hN/4(N2)+hN®(N-3)+hN*(N-4)(n-1)=/2hNA*(N-1)+h

21、N*(N-2)令m:=(1),(2),.,(N-1)T(3-15)M=h2j-k1<j,k<N-1(3-16)以j表示行指标而k表示列指标,这是式(3-14)可写成(3-17)(3-18)m=、.2Mm式(3-17)在标准化条件Nv(k)=1k1下,解是唯一的.求得*(1),*(2),WN1)后,利用两尺度方程k心=2h(k-n)2n-kL_Nik*(多)=无£h*(-n)n=022n2可求得*(t)在二进点上的所有值/k、*1O就数值而言,这已经够了.121类似地,利用小波方程可求出在二进点上的所有值中:4这里2j_1_1W(t)=72zgk*(2t-k)=72E(-1

22、)U(2t-k)(3-19)kd-Nkd-N=(-1)nJhn(2tn-1)nN例3.7求D4尺度函数在整数处的值*(1),*(2).因D4尺度函数的支撑为0,N,其中N=3,这时式(3-17)中的矩阵J2M变为72mh0l3+V31十间14h2_4J-733-近一看到,式(3-17)的解空间是m=a1x3,1-3T,：R所以,根据标准化条件式(3-18),有a=1,且4(1)=金弘2)3222最后,可由D4的两尺度方程和小波方程(式(3-11)画出尺度函数和小波函数的图形,如图(3-1)所示.2.方法2:对单位向量用小波逆变换生成尺度函数*(t)和小波函数中的图形.一般地,设,如,是正交尺度

23、函数,它生成的正交多分辨分析为Vjz.设待分析函数为f亡L2(R),它在VL上的正交投影为PLf,于是,有Rf(t)=fL(t)=ZaL*L,n(t)-VL(3-20)n其中,*L,n(t)=2L/2*(2Lt-n)o下面给出如何确定初始的系数序列aneZ一种方法,由式(3-20)及中的正交性可得,(3-21)a：kL,n；=2L/2,h(t)(2Lt-n)dt用2LN't代替2Lt,那么2l=二,2Lt-nJ一吗NN又由于于是,oQ(t)dt=1,故£fL(t)=1,从而N1/2anL是fL(t)在N"n的一个小邻域上的加权平均.所以,N1/2anL%f(N-n)

24、(3-22)假设aL="说,那么应用分析滤波器h,g可求出aL的小波变换a0,d0,d1,.,dL-,相应地,PLf(t)的多分辨表示为PLf(t)=Za»0,n(t)+£d*0,n(t)+£d*i,n(t)+.+£dWL,n(t)nnnn特别是,当fL=4时,有a；="(只有a；=1,其它情况全为零),dn=0,VnwZ,0MjML1；当fL=中时,有a0：.,d0=6n且dnj=0,Vn=Z,0<jML1.注释：(1)为绘制尺度函数©(t)的波形,需要应用综合滤波器h,g对a0,d0,d1.,dL,进行逆小波变换计

25、算出aL,n=0,1,.,N1,其中a0=加,dnj=0,VnZ,0EjEL1,然后由式(3-22)计算出e(t)在二进点的值欠N,n),n=0,1,.N1,其中N=2L,由此得出*(t)的图形一个较高精度的逼近.(2)为绘制尺度函数的波形,需要应用综合滤波器h,g又Raid'd1.,dL,进行逆小波变换计算出a；,n=0,1,.,N1,其中a0=&n,dn=0,VnwZ,0EjEL1,然后由N1/2a：全中(N,n)计算出中(t)在二进点的值中(N,n),n=0,1,.N1,其中N=2L,由此得出中(t)的图形一个较高精度的逼近.3.3紧支撑双正交小波的构造3.3.1设力,从

26、滤波器h、h、g、gT4',eT畤,中必要条件是对偶的尺度函数,即,中是对偶小波,满足(3-23)(3-24)i(t)=72Ehk*(2t-k)k4(t)=&£hk巾(2tk)l.k(t)=>gj(2t-k)_k代t)g；i(2t-k)与引理2.12)中等式(iii)类似,在式(3-23)中每个方程两端取积分,可得Zhk=72khlhk=T2、-k将式(3-24)中每个方程两端取积分,整理得(3-26)二：gk=0k.一gk=0k容易推出,式(3-23)等价的频域形式为1'既mo(8)：=吊：与),那么式(3-27)中的第一式变为2(3-27)(3-27

27、)=mt(/2)?(/2)于是,通过对(3-27)的反复迭代,可得QO彳)二11mo(/2j)j与这说明,如下无穷积?()=;h(22j)jT,2(3-29)(3-30)是收敛的,既囱®)wL2(R).类似地,可以证实如下无穷积k/2j)(")-11jT2(3-31)(3-32)都是收敛的.以上给出了h、h、g、g的根本性质.从可知滤波器组还满足完全重构性质.图3-2双正交二通迤小波滤波器组以z变换为工具,讨论两通道分析滤波器和综合滤波器在理想重构条件下,h、h、g、g的约束条件.设x=xG是一个信号序列,其Z变换定义为x(z)=£xz".当Xn是一个有

28、限序列时,n称x(z)是一个Laurent多项式.小波滤波器h=hn,其Z变换为h(z)=£hnz5.可推出h(z)=h(z,).同理,nh(z)=h(z,).另外,由于x=xn与h的卷积x*N的Z变换等于Z它们的Z变换的乘积,既xh(z)=x(z)h(z)=x(z)h(z)于是,图3-2的滤波器组的等价Z变换形式如图3-3.图3-3二通道小波递波器组的:变换表示#",令x(z)h(z,)=£ckz,那么根据二元下采样的定义,有ka(z)="Dxh)z*="C2kz"kkka(z)=2甫(z/2)x(z1/2)h(-z/2)x(-z1

29、/2)一2.又%(z)=a(z)h(z),故yo(z)=9h(z)h(z)x(z)1h(-z)h(z)x(-z)22类似地,有1 i1iyi(z)=-g(z)g(z)x(z)g(-z)g(z)x(-z)2 2因此,y(z)=yo(z)yi(z)=；h(z)h(z)g'(z)g(z)x(z)?hjz,Wz)g'(-z)g(z)x(-z)22为使x(z)=y(z)对所有的x(z)都成立,必须消除由x(-z)引起的混叠.于是,滤波器组对任何输入信号实现精确重构,当且仅当h(z)h(z)6(z)g(z)=2.二,1(3-34)h(-z)h(z)g(-z)g(z)-0式(334)是二通道

30、滤波器组完全重构条件,既PR(PerfectReconstruction)条件.其中第2式是由x(-z)产生的,应消除；第1式是为保证y(z)=x(z)的另一个条件.PR条件的矩阵形式：h(z4)g(z)h(z)二2h(-z4)g(-z")_g(z)_0当矩阵,h(z/g(z的行列式(z)=h(z")g(z*)h(z")g(z")#0时,综合】h(z*)g(z口)一滤波器h、g完全由分析滤波器h、g确定.于是,(z)i_2g(z)1g(z)A(z)h(z)所以,h(z)=L(z),(z,),g(z)=h(z)(3-35)将式(3-35)代入式(3-34)

31、,并注意到&z)=(z),可得(3-36)h(z)h(z,)h(-z)h(-zJ)=2说明,当&(z)=0时,完全重构条件等价于重构条件式(3-35)和式(3-36)同时成立.有限长度滤波器h,h,g,g的完全重构条件：对于有限长滤波器,根据定义,(z)是Z的Laurent多项式,而由式(3-35)知,A,(z)也是Z的Laurent多项式,因此,Rz)必是一个单项式.又由于A(z)=(z),故A(z)是一个奇数次的单项式,既(z)=-2az211,aR,lZ代入式(3-35),整理得g(z)=azWT)h(z/),g(z)=az42H1)h(-za)(3-37)取a=1,l=

32、0,于是式(3-37)变为g(z)=-zJLh(-zJ),g(z)=-z,h(-z)(3-38)另一种取法是a=1,l=0,于是式(3-37)变为g(z)=z'h(-z,),g(z)=z'h(-z')(3-39)按式(3-38),有限长度滤波器h,h,g,g的完全重构条件为h(z)#(z.h(-z)h(-z.=2g(z)=-z,h(-z>(3-40).g(z)=z'h(z)令z=e,由于h=hn是实系数滤波器,以下关系成立：h(切)=h(z),h*(6)=h(z-),吊(切+n)=h(z),?®+D=h(_z=)其中,(6)表示1?：0)的共轲.

33、所以,式(3-40)等价的频域表达式为网+|?0+n缶二二2(3-41)?-e：；：.=e'：一有限长度滤波器h,h,g,g完全重构条件的等效时域表达式命题3.2设h,h是实系数滤波器,记(3-42)(3-43)(3-44)(3-45)he3)=£h2ke9,h°®)=£h2e冰kk那么下面三个条件是等价的：1)h(,)h(,)欣：二：,：)*(：.;：,)=22)Zhkhk_2l=$0,1,钥七Zk3)用()W()h?(二)用()=1证实：令fi=Xhkhk/i,记fl的离散傅里叶变换为k?()-.：fiea11i那么?()="hkh

34、ye1,=、"h2kh2k_2ie,.二.二h2kih2k.12e,'1k1k='.h2.也k/ie"vh2kh2k,eJ1"k1k1令m=k-1,那么ikimikm-h2keh2me-h2k1eh2m1ekmkm=£()月()-#*(一)由此证实2)和3)是等价的.另一方面,由于h(s)=he(2s)+eR(2s),所以有h甫h二'二二心2)e,h(2川?(2)e"用(2')匕(2=2二)e+T：用(2-2二)应(2-2二)2'"二郎(22二)=2代(2油(2)4(2-)看(2-)由此证实了1

35、和3是等价的.证毕.由命题3.2,式340等价的时域表示为:工hX*n=%,n(346)kgn=19n=-1hl_n例3对于小波滤波器,有h=MM=g1g=go,gi=.2于是,=h,ho=hi,h0=厂回,g0:gi,g0=242iih(z)=h°,hiz(1z),g(z)=gOgiz-一(1-z)-22h(z)=hh11,.一=h(z),类似可得,g(z)=g(z,)1 .Z域表不'h(z)h(zJ)h(-z)h(-zJ)1j111二z)：5(1z);z)z)=2111g(z)=g0glz(1-z)=-zh(-z)2 .时域表示"hkhk2n二h0h2nhih1

36、.2nk当n=0时,工hkhk知=h0h0+%=1k当n#0时,Zhkhk告=h°h2n十几%用=0k显然,gn=(1)n%5,n=0,13 .频域表不由式325、式326和346可推出,必要条件是:工h2k=£kkh2k=、kkh2k1=,.2:一hkhk*2n=-0,nk工kzkh2k="h2k1-k.2感k="h2k1-k2(347)gn=(-1)%gn=(-1)nhi_n必有gk=(1)h1_k,gk=(-1)h1-k3.3.2充分条件1.双正交滤波器的约束条件假设有限冲激响应滤波器FIRh、h、g、g满足式(3-47),称以下关系式hkhk:2

37、n=',0,n(3-48)h2k=、h12k1为双正交滤波器的约束条件.假设还要求滤波器是关于0对称的,还需增加条件hn=hq,hn=h/.这时约束条件变为'hkhk2n=-0,nk-h2k="h2k1二(3-49)kk.2'电""也k1=kk2hn三心一些常用符号:N是甲的消失矩数;(n,N)：是的(laTb)：la是分析滤波器h的长度；lb是综合滤波器h的长度.例3.8设出=曲2忙,出队招,h=h,h0,.,其中,酎=',归=加,h=.记Pn=师;,qn=拒hn,那么由式可得如下方程组:Poqo+2pq=2P2qo+Rq=0p0

38、,2P2=12pl=1qo=12q1-13111斛方程组,仔：po=,r=,p2=一,q0=1,q=一.于是2242h=-,-,2,22例3.9设h=h1h；h；,h；h,h|HMN,八二色当几.几小属“,其中,h二h|,i=1,2,3,4；h_j=hj,j=1,2,3.为方便表达,令pn=J2hn,qn=瓜,那么解式(3-49)得羽=1-2p2-p41R=/6p3=q2A<4q2+1p2-4(4q2-1)q0=1-2q21 q=3其中,=q+PM,q2,q3为自由参数.2q3-q2特另地,取q2=0.057554,q3=0.091272,贝咻目应地有h=0.8562972,1=0.37

39、74027,h2-0.110624息-0.0238493,h4-0.0378288,h0=0.77884863h1=0.418924,h2=-0.0404898,h3=-0.064539般地,双正交小波滤波器满足式3-48和式3-49,但反过来结论不成立.由于,所求的滤波器还必须使得无穷积迤生2与,叔亭依次收敛于l2R中的函数72jj2曲切和Pg,通常这个条件很难检验是否满足.2.消失矩条件1双正交小波消失矩的性质命题3.3设中、H、Md是与双正交小波双正交小波滤波器组g、g、h、h对应的双正交小波函数和尺度函数,巾,中的傅立叶变换p次连续可微,d、曲的傅立叶变换p次连续可微,那么以下条件是等

40、价的：1小波中具有p阶消失矩.2殴M和它的前P-1阶导数在缶=0处为零.3h和它的前p-1阶导数在切=n处为零.类似地,有1小波唾具有p阶消失矩.2呼如和它的前p-1阶导数在8=0处为零.3?®和它的前p-1阶导数在切=五处为零命题3.3说明,为构造具有p阶和p阶的双正交小波中t和平t,h®在处需有p重零点,8在切=兀处需有,重零点.因此,h0和®应满足:F0(ei)Fod)(3-50)其中,虫=元时,F0e%#0,#0第0.用z变换,上式可表示为厂1+zhz=M-F0z“J_窘+hz=&f;z、一220其中,Fo(-1)#0,曲(1)00.3.充分条件用下面的定理,描述了完全重构的有限长滤波器给出了生成L2(R)的一个双正交基的充分条件：定理3.1假设有限长滤波器h,h,g,g满足式(3-47),h(o),h(s)满足式(3-50),而且,p1Fo(2；)i1p;max口Fo(2i):二2P:二2P(3-51)那么,-C；_:-hir./2j).-h(-./2j)?1)无穷积口(L)与口IL依次收敛于L2(R)中的函数救6)和土(切).j1-2j1.22)',?满足双正交关系.3)