常微分方程积分因子法

1、(5.2)(5.3)(5.4)P(x,y),Q(x,y),虽然可证(5.4)的解一5积分因子法本节再来讨论1剩下的没有解决的第三个问题.即当方程P(x,y)dxQ(x,y)dy=0(5.1)不满足条件矛=时，有什么办法能把它变为恰当方程呢？由一阶微分的形式不变性，易见变量代换；:y；x发在这里是无能为力的.但在2对变量分离方程X(x)Yi(y)dx+Xi(x)Y(y)dy=0,1虽然一般来说它不是恰当万程，然而用k(x,y)=1乘方程两侧，就得到一个恰当方程Xi(x)Yi(y)X(x)Y(y)八dx)dy=0.Xi(x)Yi(y)由以上作法我们得到启示，分离变量法可以推广而成为对方程(5.i)

2、能够适用的积分因子法.就是说,对一般白方程(5.i),设法寻找一个可微的非零函数N=N(x,y),使得方程J(x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy=0成为恰当方程，亦即一二()f(Q)-:y满足这一条件的N(x,y)称为方程(5.i)的一个积分因子.由条件(5.3),可以看出N(x,y)应满足方程P二.q=(0一当二y二x二x二y(5.4)是一阶线性偏微分方程.对于一般的一次连续可微函数定存在，但要想通过解方程(5.4)来求积分因子，从而得到方程(5.i)的解，将比求解(5.i)本身更困难.(5.4)为我们提供然而，在若干特殊情形中，利用(5.4)去寻求(5.i)的积分因子却是可

3、行的.也就是说,了寻求特殊形式的积分因子的一个途径这时(5.4)变成例如，对于方程(5.i),如果存在只与x有关的积分因子N=N(x),则=0,二y或者1d(x).二(x)dx:P(x,y)；:Q(x,y).:y.:xQ(x,y)(5.5)由此可知，要（5.5）有解，其充要条件是:-:P(x,y)；:Q(x,y)W(x)(5.6)即与y无关.当此条件满足时，便可由（5.5）式求得方程（5.1）的一个积分因子(5.7)G（x）dxL（x）=e把上面的讨论用定理的形式写出即为定理4微分方程（5.1）有一个只依赖于x的积分因子的充要条件是：表达式（5.6）只依赖于x,而与y无关;而且由（5.7）所确

4、定的函数N（x）是方程（5.1）的一个积分因子.同理,可以得到如下平行的结果定理5微分方程（5.1）有一个只依赖于y的积分因子的充要条件是：表达式.:Q(x,y)_?P(x,y).x：:yP(x,y)=H(y)只依赖于y,而与x无关；而且此时函数N（y）例1求解微分方程H（y）dy二e是方程（5.1）的一个积分因子.32(3xy)dx(2xy-x)dy=0(5.8)二P二Q解这里匕=1,d=4xy1,因此原方程不是恰当方程，由于：:y：:x于是由定理4知，原方程有积分因子()dxL(x)=ex将它乘（5.8）式，得到一个恰当方程ydx-xdy-3xdx+2ydy+2=0，x由此可求得通积分32

5、2ycx1,y=C.例如ydxxdy=0这么一个简单的微分方程,2x值得注意的是，同一个微分方程可以有许多积分因子,由于y、xdy-ydxd(-)=2，xxx、ydx-xdyd(-)=2，yyxydx-xdyd(arctan)=22,yxyxydx-xdyd(ln).yxy于是ii212,等都是这个微分方程的积分因子xyxy.由此再来看上面的例1,将(5.8)式的左端分成两组:32(3xdx2xydy)(ydx-xdy)=0.iiiii其中第二组由上述讨论知，有积分因子2,7，J2或，若同时考虑到第一组,则N(x)=2是xyxyxyx两组的公共的积分因子，从而是方程(5.8)的积分因子.为了使

6、这种分组求积分因子的方法一般化，给出下面的有关积分因子的一个性质定理定理6若R=N(x,y)是方程(5.i)的一个积分因子，使得(x,y)P(x,y)dx+:(x,y)Q(x,y)dy=d(x,y)则N(x,y)g(6(x,y)也是(5.1)的积分因子，其中g()是任一可微的非零函数证明(x,y)g(小(x,y)(P(x,y)dxQ(x,y)dy)=g(i(x,y)d：D(x,y)=djg(9)d。,所以2(x,y)g(x,y)也是(5.1)的积分因子下面就介绍分组求积分因子法.设将方程(5.1)的左端分成两组，即写成：(Rdx+Qidy)+(P2dx+Qzdy)=0,其中第一组和第二组各有积

7、分因子内和N2，使得:国(Rdx+Qidy)=d%(Pzdx+Qzdy)=咯.由定理6,对任意可微函数gi和g2,Nigi(6i)是第一组的积分因子，N2g2(中2)是第二组的积分因子如果能够找到适当的g1和g2,使得Ngi(1=N2g2(62)=M,那么N也就是原方程(5.i)的积分因子.例2求解微分方程3_24_(xy-2y)dxxdy=0解把方程改写为342(xydxxdy)-2ydx=0(5.9)ii不难看出，前一组有积分因子七和通积分xy=C,故它有更一般的积分因子Cgxy),前一组有积xx.一ii,、分因子介和通积分x=c,故它有更一般的积分因子2g2(x).为使关系式yyi,、i

8、,、gi(xy)=-g2(x)xy成立，可取,、i,、igi(xy)7，g2(x)=.(xy)xi从而得到原方程的积分因子口=52，以它乘方程(5.9)的两端，得到xyii2-d(xy)-dx=0,(xy)x积分即得通解2x3y:4.2Cx4i_、,一,一i此外，原方程还有解x=0和y=0,它们是在用一下乘方程(5.9)的两端时丢掉的xy例3讨论齐次方程(5.i0)P(x,y)dxQ(x,y)dy=0的积分因子，其中P(x,y),Q(x,y)都是x,y的m次齐次函数，且一次连续可微.解由4知道，变换y=xu能把(5.10)变为变量分离的方程.事实上，由于P(x,y),Q(x,y)的齐次性可知成立：P(x,y)=P(x,xu)=xmP(1,u),Q(x,y)=Q(x,xu)=xmQ(1,u).此外，还有dy=xdu+udx,一起代入(5.10)式，得：xmP(1,u)Q(1,u)udxxQ(1,u)du-0.要把它变为恰当方程，只需在等式两边乘以积分因子xm1P(1,u)Q(1,u)-xP(x,y)yQ(x,y).本章关于一阶微分方程的初等积分法基本上可以分为两类：一类方法的基础是变量分离的方程，方法的特点是将所考虑的方程通过适当的变量代换化为变量分离的方程.令一类方法的基础是恰当方程，方发的特点是，寻找适当的积分因子，将所给的方程化为恰当方程熟悉各种类型方