平面向量数量积运算专题(附答案解析)

1、平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的根本运算 例 1(1)(2021天鸿知菱形ABCD的边长为 2,/BAD=120 ,点E,F分别在边BC, DC上,BC=3BE,DC=入DFTAE-AF=1,贝U入的值为. (2)圆O的半径为 1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PA弗的最小值 为() A.-4+J2B.-3+/J2 C.-4+2J2D.-3+2 也 变式练习 1(2021湖我向量OAAB,|OA|=3,那么OA-Ofe=. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 22_, 重席非零向量 a,b 满足|a|=21b|,且(ab)(31+2b),那么 a 与 b 的夹 角为

2、( 兀 b的夹角等于3,|a=2,|b|=3,那么 2ab与 a+2b的夹角的余 弦值等于() A.B.-C.D.- 26261212 、一八 I 一八_、,一一,aT1Y 变式练习 2(2021课标全国I)B,C为圆O上的二点,假设AO=2(AB+AC),那么AB(2021 71 A.-4 71 B-2 3 兀C.一 4 D.兀 (2)假设平面向量a与平面向量 与此的夹角为 题型三利用数量积求向量的模 例 3(1)平面向量a和 b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 120 ,那么|2a+b|等于() A.2B.4 C.25D.6 (2)直角梯形ABCD中,AD/BC,/ADC=90,

3、AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点, 那么|PA+3Pfe|的最小值为 1 变式练习 3(2021浙汴61,是平面单位向量,且e1e2=a.假设平面向量b满足 be1 =b=1,那么|b|=. 高考题型精练 1.(2021山犯知菱形ABCD的边长为 a,/ABC=60 B4a2 ,那么BD-CD等于() A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b| 3.2021湖肛知点A,B,C在圆x2+y2=1 上运动,且ABBC.假设点P的坐标为2,0,那么 3 C2 一一一一一一一一 1 一 5 .在平面上,ABA2,|附1|=1062|

4、=1,附=附什茹2.假设|OP|y, minx,y=*Vxy, 设a,b为平面向量,那么x,xy, |PA+PB+ PC|的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图,在等腰直角ABO中, OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB 的垂线l,P为垂线上任一点,设 OA=a,OB=b,OP=p,那么p(ba)等于() B.l,2 7D.(T 安微a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,X3,X4和y1,y2,治必均 由 2 个a和 2 个b排列而成.假设XIy1+X2y2+x3y3+X4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2, 那么a与b的夹角为() 2

5、 兀兀兀 A,万 B.3C.gD.08.(2021江装口图,在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,CP=3150,AP-BP=2, 那么ABAD的值是 9.设非零向量a,b的夹角为0,记f(a,b)=acos0-bsin睹ei,e均为单位向量,且ei1 3 2,那么向量f(e1,e2)与f(电一 s)的夹角为 10 如图,在ABC中,O为BC中点,假设AB=1,AC=3,=60 11.向量 a=(sinx,-),b=(cosx,1).当 a/b时,求 coS2x-sin2x的值;4A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2021 OA|= 12 在ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线

6、,垂足为D,AD=5,且满足俞=的. (1)1,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=xy,求k的最小值. 平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的根本运算 例 1(1)(2021天鸿知菱形ABCD的边长为 2,/BAD=120.,点 E,F分别在边BC, DC上,BC=3BE,DC=入DFTAE-AF=1,贝 U 入的值为. (2)圆O的半径为 1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PA龟的最小值 为() A.-4+/B.-3+/ C.-4+22D.-3+2 也 答案(1)2(2)D 解析(1)如图,1111 Al-AF=AB+BEA&+DF=AB+-BCA

7、D+-DC=AB-Ab+-ABDC+- 3入入3 BCA&+EBC-比 3 人 111 甘 2X243X2X23-x2X2Xcos120 又.Al-AF=1, 102 o=1,一届2. 3 人 3 2方法一设|PA|=|PB|=x,/APB=e, cos0 x21x4x2 2 =x2+1=x2+1 =x2+1+号-322-3, 当且仅当必+1=山,即x2=也1 时取等号,故PA丽的最小值为 2 侦3. 方法二设/APB=Q0依 那么|PA|=|PB|= tan2 =2X2Xcos120 442102 =2F_+=一33 入 3 入 3? 贝 Utan2= x 从而 cos 9= e 1

8、-tan22x2-1 0 x2+1 1+tan22 x2+2 -3x2+1+2 x2+1 一 PAPB=|PA|PB|cos0 1 =(e tan2 cos2- 2e e-(1-2sin22)sin2- 2 122e I-sin21-2sin2 2cos9 堂口 =x2-2+Xo-(1-x2) =2x2+岩一 3A2小-3. 故丽弗的最小值为 223. 点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角,二是利用坐标运算,具 体应用哪种形式由条件的特征来选择.注意两向量a,b的数量积a-b与代数中a,b的乘 积写法不同,不应该漏掉其中的“. (2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab

9、=0 时得不到 a=0 或 b=0,根据平面向量数量积 的性质有|a|2=a2,但|ab|w|a-Ib|. 变式练习 1(2021湖我向量 oAAB,|OA|=3,那么OA的=. 答案 9 解析由于OAAB,所以oA-AB=0.所以OA-OB=OA-(OA+AB)=QA2+OA-AB= |OA|2+0=32=9. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 角为() 兀 A.一 4 3 兀 C.7 71 (2)假设平面向量a与平面向量b的夹角等于 3,|a=2,|b|=3,那么 2ab与 a+2b的夹角的余 弦值等于() A.-B.- 2626 C.1D.- 1212 例 2(1)(2021 重施非

10、零向量 a,b满足|a|= 2/ 3|b| ,且(ab)J_(3i+2b),那么a与b的夹 71 B-2 D.兀 解析(1)由(ab),(3+2b)得(ab)(+2b)=0,即 3a2ab2b2=0.又|a|= 即 3|a|2-|a|-|b|-cos9-2|b|2=0, 822 31b12-31b2cos921b12=0. .V2 cos0=牛.又0W9Y 变式练习 2(2021课标全国 I)B,C为圆O上的二点,假设AO=2(AB+AC),那么AB 与AC的夹角为 答案 90 无力上 L1 解析.AO= (AB+AC),坐 bI, 3 故 cos9= 2a-bI a+2b |2a-b|a+2

11、b| 1 26 .点O是ABC中边BC的中点, .BC 为直径,根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为 90. 题型三利用数量积求向量的模 例 3(1)平面向量a和 b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 120 ,那么|2a+b|等于( A.2B.4 C.25D.6 (2)直角梯形ABCD中,AD/BC,/ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点, 那么|PA+3Pfe|的最小值为答案(1)A(2)5 解析(1)由于平面向量a和 b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 120 , 所以|2a+b|=72a2+b2+2x|2a|x|b|cos120 =22xl2+22+2

12、X2X1X2X-2J=2. (2)方法一以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如下图的平面直角坐标 系,设DC=a,DP=x. D(0,0),A(2,0),C(0,B(1,P(0,x), PA=(2,x),PB=(1,a-x), PA+3PB=(5,3a-4x), |PA+3Pfe|2=25+(3a4x)225, IPA+3PB|的最小值为 5. 方法二设加=xDb(0 x25, .IPA+3PB|的最小值为 5. 点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中,给有关向量赋以具体的坐标求向量的模,如向量 a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a=/x2+y2即可求解.(2)向量不放在

13、坐标系中研究, 求解此类问题的方法是利用向量的运算法那么及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键是会把向量 a的模进行如下转化：|a=qa2. 1 变式练习 3(2021浙汴 e,0 是平面单位向量,且e1e2=2.假设平面向量b满足 be1 1 由于|即=|e2|=1 且 e1=3.所以 s 与 2 的夹角为 60 .又由于 bs=b1=1,所 e一 be2=0,即b-(61-62)=0,所以b,(eieO所以b与e1的夹角为 30 ,所以be1 高考题型精练 山犯知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60,那么BDCD等于() 3 A.-2a2答案 2,3 3 解析 =1b| -I611co

14、s30 1. 所以|b| 2,3 3 1.(2021 B.-3a2 4 答案 D A.min|a+b|,|ab|min|a|,|b| C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b| 答案 D 解析由于|a+b|,|ab|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故 A,B 错.当a,b夹角 为锐角时,|a+b|a-b|,此时,|a+b|2|a|2十|b|2；当a,b夹角为钝角时,|a+b|a2+|b|2；当ab时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,应选 D. 3.2021湖肛知点A,B,C在圆x2+y2=1 上运动,且ABBC.假设点P的坐标为2,0,那么 3 C.-S2

15、4 3 D.2a2 解析如下图,由题意,得BC=a, CD=a,/BCD=120 BD2=BC2+CD22BC-CD-cos120 a2+a2-2aax BD=3a. - .二BDCD=|BD|CD|cos30 x, 2.(2021浙汕 maxx,y=5 xy, xy, minx,y=i设 a,b为平面向量,那么 x,xy, |PA+PB+ PC|的最大值为 A.6 B.7 60 口 答案 B 解析.A,B,C在圆x2+y2=1 上,且ABXBC, 二.AC为圆直径,故PA+PC=2 由=(4,0),设B(x,y),那么x2+y2=1 且 xC1,1,PB=(x -2,y), PA+PB+PC

16、=x-6,y.故|PA+PB+PC|=,12x+37,x=-1 时有最大值 J49=7,应选 B. 4 .如图,在等腰直角ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB 的垂线l,P为垂线上任一点,设OA=a,OB=b,OP=p,那么pba等于 3 C2 答案 A 解析以OA,OB所在直线分别作为x轴,y轴, O为坐标原点建立平面直角坐标系, 31 那么A(1,0),B(0,1,eq,4), 13 直线 l 的方程为y4=x4, 1 即 x-y-2=0. 11 设P(x,x-2),那么 p=(x,x-2), 3D.- 2 而 b-a=(1,1), 11 所以 p-(b-a)

17、=-x+(x2)=-2. 一一一一一一一一 1 一 5 .在平面上,ABAB2,|OBI|=|OB=1,AP=AB1+AB2.假设|OP|一一.、,3.、,QO3 BM=3MA,所以BM=BA.所以CM-CB=(CB+BM)CB=CB2+BM-CB=CB2+-BA-CB44 7 .(2021安微a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x,x2,X3,X4和yn人生,必均 由 2 个a和 2 个b排列而成.假设XIy1+X2y2+x3y3+X4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2, 那么a与b的夹角为() 兀兀 叼%D.0 答案 B 4 解析设a与b的夹角为R由于xi,y(i=1,2,3

18、,4)t 匀由 2 个a和 2 个b排列而成,记S=(xV), i=1 那么S有以下三种情况： S=2a2+2b2；S=4ab；S=|a|2+2ab+1b|2. Ib|=2|a|,中S=10|a|2,中S=8|a|2cosQ中S=5|a|2+4|a|2cos0 1 兀 易知最小,即 81a12cos9=4|a|2,cos9=3,可求 9=3,应选 B. 8 .(2021江装口图,在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,CP=3150,AP-EBP=2, 那么ABAD的值是 答案 22 解析由 CP=3 由得济=4 比=;届,扉=届+弗=心+狗,通扉-西=m+；晶 =16+3x42X4cos

19、135 4. 一一 3 一一一一 i 一一 3 一一 i 一一 3 -AB=Ab-AB.由于AP-BP=2,所以(A&+-AB).而-岫)=2,即A&2_-A&-AB 4442i6 AB2=2.又由于AD2=25,AB2=64,所以ABAD=22. 9 .设非零向量a,b的夹角为 0,记f(a,b)=acos0-bsin睹 e,均为单位向量,且 e金 ,那么向量f(ei,e2)与f(e2,e)的夹角为 兀 ,e2,eP=兀一e2, 6 i3 答案 f i3 解析由于AB,AC=60,所以AB-AC=|AB|-|AC|cos60=ix /2,又AO= 答案 7t 2 解析

20、 由ei 3 2=亍,可得 coss,e ei-e3 |ei|&|=T 7t 7t f(ei,e?)=eicossin= 暮i占, f电-e)=e2cos,-(-ei)sin7 5 兀 1 2ei 3-L f(ei,e?),f(e?,-3)=(2e1一 2 包2) o, 所以f(e1,e).Lf(e2,一ei). 兀 故向量f(ei,e)与f(e2,e)的夹角为 2. iO 如图,在ABC中,O为BC中点,假设AB=i,AC=3,AB,Ab=60 ,那么|OA|= 所以sinA=- asinB-3X I 11 (AB+AC),所以AO2=4(AB+AC)2=AB2+2AB-AC+AC2),即AO2= 以|OA|=乎. 3 II .向量 a=(sinx,4),b=(cosx,-1). (1)当a/b时,求 coxsin2x的值; (2)设函数f(x)=2(a+b)-b,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设a=1,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=