弧长公式、扇形面积公式

1、羁弧长与扇形面积、圆锥侧面积滕【知识详解】肆知识点1、弧长公式袂由于360.的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2JTR,所以1°的圆心角所2工R肌工R对的弧长是而*丽,于是可得半径为R的圆中,n.的圆心角所对的弧长l1njR1=的计算公式：180,筮说明：1在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度,例如,圆的半径R=10,计算20.的圆心角所对的弧长l时,不要错j=_Lx2O"xlO/r写成1犯.袈2在弧长公式中,l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量袄知识点2、扇形的面积辐如下图,阴影局部的面积就是半径为R,圆心角为n.的扇形面积,显

2、然扇形的面积是它所在圆的面积的一局部,由于圆心角是360°的扇形面积等于圆成an0的扇形面面积成:所以圆心角为1.的扇形面积是360,由此得圆心角为=版积的计算公式是'360./=皿可以马成、变.R螂又由于扇形的弧长ISO,扇形面积池口2180得到扇形面积的另一个计算公式:黄知识点3、圆锥的侧面积科圆锥的侧面展开图是一个扇形,如下图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2用,圆锥的侧面积近二寸?即二弼圆锥的全面积与二S10+S虑二向+/二加0+匚|辐说明：1圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积.量2研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问

3、题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系.肇知识点4、圆柱的侧面积期圆柱的侧面积展开图是矩形,如下图,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,假设圆柱的底面半径为r,高为h,那么圆柱的侧面积端=2瘠人圆柱的全面积:"+-'量圆锥与圆柱的比拟点名称蛰圆锥莅圆柱赚图形腿膈艘图形的形成过程其由一个直角二角形旋转得到的,如RtSO懦直线SO旋转一周.膂由一个矩形旋转得到的,如矩形ABCDg直线AB旋周.辑图形的组成腿一个底面和一个侧面筮两个底卸和一个侧面芳侧面展开图的特征芨扇形罪矩形蓬回积计算方法蚀聿嵋补充：知识点5、弓形的面积嵋1弓形的定义：由弦及其所对

4、的弧包括劣弧、优弧、半圆组成的图形叫做弓形.聿2弓形的周长=弦长+弧长薇3弓形的面积蟆如下图,每个圆中的阴影局部的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB勺面积和AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB勺面积.袅当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,§弓挎=S庸后如£-5逑0B蓬当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,S弓也=S南用斯方当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,匹弓感小传菱例：如下图,OO的半径为2,/ABG=45°,那么图中阴影局部的面积是=S席房刎C-SaQAC,由圆周角定理可知/ABG=?结果用方表示箍分析：由图可知汽股/AOC所以/

5、AOG=2/ABG=90°,所以OACM直角三角形,所以X&C=；OC=Lx2<2=2,S腐用斯1c=焉疗"袂幺幺北u,蜗所以丁服玉一一二一芍注意：1圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式聿圆周长唐弧长肄圆面积艘扇形卸积盆公神式肇充袁覆祎2扇形与弓形的联系与区别先图节小肇蛔黄放面蔻蔻蝇黄【典型例题】荽例1.如下图,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,/AO由120°,那么阴影局部的面积是A.射B.hC.4X一D.薄分析：阴影局部所在的两个扇形的圆心角为3-ZAOB=3-1200=W,厂240.02400.口出国=S=itx2ux1=2兀膀所以11.

6、踊例2.如下图,点C在以AB为直径的半圆上,连接AC,BCAB=10厘米,3tan/BAC=4,求阴影局部的面积.芍分析：此题考查的知识点有：1直径所对圆周角为90°,2解直角三角形的知识3组合图形面积的计算.妨解：由于AB为直径,所以/AC比90°,3BC奥在RtAABC,AB=10,tan/BAC=4,而tan/BAC=AC莆设BC=3k,AC=4k,k不为0,且为正数由勾股定理得9k,16P=1皿所以=21,-1；25肄所以BO6,AO8,"匹2,而半因22225/E$图雷=S*目-SiABC=11-24辐例3.如下图,扇形AOB勺圆心角为直角,正方形OCD

7、EJ接于扇形AOB点C,E,D分别在OAOB及AB弧上,过点A作AF,ED交ED的延长线于F,垂足为F,如果正方形的边长为1,那么阴影局部的面积为膈分析：连接OD由正方形Tt质可知/EO氏/DO自45°,在RtAOEDt,O510E?+无,肇由于正方形的边长为1,所以OPD已1,所以0D=应,设两局部阴影的面积中的一局部为M另一局部为N,那么M=£献0幼-禺ME,N=S艇谢-SM如,阴影局部面积可求,但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一局部空白面积为P,契因为/BOD=/DOC,所以Sgtn>*庸息口口和所以M+S1O0)=P+S10CDp所出如即=S

8、63;oicd腿所以M=P,所以菱例4.如下图,直角梯形ABCD中,/B=90°,AD/BCAB=2,BO7,A又3,以BC为轴把直角梯形ABCDS转一周,求所得几何体的外表积.蕨分析：将直角梯形ABC啜BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的,所得几何体的外表积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和.去解：作DHLBC于H,所以DkAB=2黄CH=BC-BH=BCAD=73=4肄在CDHfr,一一0一二一,一二其所以一%"一【*二,一一'f-蝇例5.扇形的圆心角为120°,面积为300牙平方厘米蜗(1)求扇形的弧长.蟆(2)假设把此扇

9、形卷成一个圆锥,那么这个圆锥的轴截面面积是多少?s=JL/聿分析：(1)由扇形面积公式360,可得扇形半径R,扇形的弧长S11可由弧长公式36口求得.(2)由此扇形卷成的圆锥如下图,这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC(1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长,而圆周长公式为C=21J,底面圆半径r即CD的长可求,圆锥的高AD可在RtAADC中求得,所以ubc=AD,可求.$球=-成：300k=nRa蝇解：(1)设扇形的半径为R,由360,得360,解得R=30.、1=JLxR=!11?x30=2Dxt肇所以扇形的弧长1加180厘米.膈2如下图,在等腰三角形ABC中,AB=AOR=30,BO2r

10、,底面圆周长C=2.r,由于底面圆周长即为扇形的弧长,所以一口J一：建在RtAADOt,高AA必/-：=枷2-10=加后衿所以轴截面面积-1aD>60-1x202x20=200222平方厘米艘【模拟试题】袅一、选择题袁1.假设一个扇形的圆心角是45°,面积为2ji,那么这个扇形的半径是量A.4B.2企C.47jiD.2也ji薄2.扇形的圆心角是60°,那么扇形的面积是所在图面积的111第A.二B.二C.?D.1123 .扇形的面积等于其半径的平方,那么扇形的圆心角是1800360°A.900B.C.D.18004 .两同心圆的圆心是0,大圆的半径是以OAOB

11、分别交小圆于点MN.已知大圆半径是小圆半径的3倍,那么扇形OAB勺面积是扇形OMNJ面积的A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍5.半圆0的直径为6cm,/BAC=30°,那么阴影局部的面积是9不.B.G式病D.-的半圆围成一个圆锥的侧面,那么此圆锥的底面半径为A.3汽C.二6用一个半径长为6cmB.3cmD.6cmC.A.2cm4cm7 .圆锥的全面积和侧面积之比是3:2,这个圆锥的轴截面的顶角是A.300B.600C.900D.12008 .两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1:2,那么它们的高之比为A.2:1B.3:2C.2也：D.5:2汽9.如图,

12、在ABC中,/C=Rt/,AC>BC,假设以AC为底面圆半径,BC为高的圆锥的侧面积为S,以BC为底面圆半径,AC为高的圆锥的侧面积为4,那么A.Si=&B.Si>S2C.Si<S2D.S1、4的大小关系不确定二、填空题1 .扇形的弧长是12jicm,其圆心角是900,那么扇形的半径是cm,扇形的面积是cm2.2 .扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,那么扇形的圆心角是.3 .扇形面积是12cm2,半彳全为8cm,那么扇形周长为4 在4ABC中,AB=3,AO4,/A=90°,把RtABC直线AC旋转一周得到一个圆锥,其全面积为把RtAAB

13、CAB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S2,贝US1:S2;o5 .一个圆柱形容器的底面直径为一2cm,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有cm.6 .如图,扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm,C,D分别是AB的三等分点,那么阴影局部的面积是.7 .如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半径画弧,那么阴影局部面积为.二、计算题八1 .如图,在RtABC中,AOBC,以A为圆心画弧DF,交AB于点D,交AC延长线于点F,交BC于点E,假设图中两个阴影局部的面积相等,求AC与A

14、F的长度之比刀取3.2 .一个等边圆柱轴截面是正方形的圆柱的侧面积是S,另一个圆锥的侧£面积是如果圆锥和圆柱等底等高,求号.3 .圆锥的底面半径是R,母线长是3R,M是底面圆周上一点,从点M拉一根绳子绕圆锥一圈,再回到M点,求这根绳子的最短长度.【试题答案】一、选择题1.A2.B3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.B二、填空题_1、24144N2、40°3、19cm4、3:45、36、2开7、274三、计算题1、连接AE,那么崩倒那=%虚一心C,所以AC：9二布：2A-±2、3、连接展开图的两个端点MM；即是最短长度.利用等量关系得出/MAM=120.,/AM

15、,30.,A吴京仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,ForschzuaommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'etudeetlarechercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.tojibkoAJiajiioAeakpTOpwenojib3ymai旦ca6yqeHH豆c,neaob团oji>kheiHcnojib3OBaTbCHbKOMMepnecKHxuejiax.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nliche