拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

1、拉普拉斯变换求解微分方程典型范例Laplace变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换,它在应用数学中占有很重要的地位,特别是在科学和工程中,有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题,我们给出了Laplace变换的概念以及一些性质.Laplace变换的定义设函数f(x)在区间0,+上有定义,如果含参变量s的无+,穷积分estftdt对s的某一取值范围是收敛的.那么称0+Fsesftdt0为函数的Laplace变换,f(t)称为原函数,F(s)称为象函数,并记为LftFs.性质1(Laplace变换存在定

2、理)如果函数f(t)在区间0,上逐段连续,且存在数M0,s00,使得对于一切t0有|f(t)Me",那么当ss0时,F(s)存在.性质2(线性性质)设函数和满足Laplace变换存在定理的条件,那么在它们象函数定义域的共同局部上有LftgtLftLgt其中和是常数.性质3(原函数的微分性质)如果ft,ft,L,fnt均满足Laplace变换存在定理的条件,那么LftsLftf0或更一般地,有LfntsnLftsn1f0sn2f0Lfn10.性质4(象函数的微分性质)如果LftFs,那么+.FstestftdtLtft0或一般地有Fns1ntnestftdt1nLtnft0主要结论及推

3、导对于Laplace变换式,在积分号下对s求导,得到Fstftestdt(*)0即LtftFs再对(*)式求导,可得2Lt2ftFs在一般情况下,对于任一正整数n,有nndnL1fnt-Fsds即Ltnft1n喜Lftds从而ndnLtnfmt1n-d-Lfmt(1)ds对性质3及(1)式,可得LxtXsLxtsXsx0Lxts2Xssx0x0dLtxtLxtdsdLtxtLxtdsdXsdsddsXsx0sXsdsdsXssXsdd2LtxtLxtsXssx0x0dsdss2Xssx02sXss2Xsx0ds1、利用Laplace变换求解常系数微分方程例1求方程x3x3xx1的满足初始条件x

4、0x0x0的解.1斛对方程两防进仃Laplace变换得s3s3s1Xs-s由此得32s3s3s1把上式右端分解成分式111s1s+12s13对上式两端各项分别求出其原函数,再求和.即得原微分方程的解为Xt1ettet-t2et1-t22t1et22例2求微分方程y3y2y2e,满足初始条件y02,y01的特解.解设LytYs,对微分方程两端取Laplace变换得2Ys2sYssysys3sYsys考虑到初始条件得s23s2Ys2s7于是2s25s53s2对上述方程两端取Laplace逆变换,得111ytLYs-L34et72t-e3于是得到方程的解为72te32、利用Laplace变换求解常系

5、数微分方程组dxdt例3求解初值问题业dtx(steyt0dt2xyx4y0,y0的解.stxtdt对方程组取Laplace变换,得到sXs2Xs+Ys从而有对上面方程组取sYs4YsLaplace逆变换,得原方程组的解为.3tte3t.3tte求微分方程组2y°、0满x00,x01,y01的解.解设LxtXs,Lyt对微分方程组取Laplace变换得2sXssx0x02sYsy0XssXsx0Ys0考虑到初始条件得2-s1Xs2sYs10sXsYs0由上面方程组解得1s21ss21对上方程组取Laplace逆变换得原方程组的解为xtsintytcost3、利用Laplace变换求解

6、偏微分方程2uxy例5求U|y0u|x0x20x,y的定解.3yus,y解首先将定解问题取Laplace变换,并记Lux,y那么有dus一dy2usuu|xosu3y,Lxy2!,2!Lu|y0u|y0-ss这样,就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题以求得其解为dus-dyu|y02y-s1us,yys对上式取Laplace逆变换,得到原偏微分方程的解为ux,yuxxuxx0,t0的解.例6求方程u0,tux,0求解得解对方程两端关于t施行Laplacedux,sdxs一ux,sxx,s变换取s为实数,有由条件u0,t0,s0,从而cs0,代入上式并应用Laplace逆变换,ux,t1Lux,sL1xL111txLx1es14、利用Laplace变换求解变系数的微分方程例7求变系数微分方程ty2t1yt20满足初始条件y00的解.解对方程两端同时施行Laplace变换,利用Laplace变换的微分性质有亦即2、,-sYssy0结合初始条件y解得Ys02sYsy02sYsYs2Ys00,化简有2-s2s1Ys4s1Ys0c为任意常数.取Laplace逆变换,那么有.1-ytLYsct8求解二阶变系数微分方程txt1,x0c0备为常数的解.Xs,对方程两端取Ltxs2xtxttx2L2xttxt0满足初始条