指数函数与对数函数

1、培优教育一对一辅导讲义科目：数年级：高姓名：教师：时间：课题指数函数与对数函数授课时间：备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容一、指数的性质(一)整数指数哥1 .整数指数累概念：一a(麓“一"=-(aW0,neNa12 .整数指数成的运算性质:(1)(3)(4)"=。"/r其中-b)3 ."的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于“(即：若x”=a,则x叫做a的次方根，例如：27的3次方根除=3,27白'32的5次方根病=2,32体说明：若是奇数，则”的次方根记作若是偶数，且a>0则”的正的平方根土瓜=±2>/

2、216的4次方若是偶数，且a<0则必没意义.()”=0(>1,£旷):中式子QZ叫根式，叫根指数，小L4-。的次方根的性质cN,)a°=l(aW0),)“+”(z,wZ)(2)W")"=/"'(?，eZ)Z?n(/?eZ)=(a/尸)')hn那么这个数叫做的次方根，)3次方根退万=-3,)5次方根=一2.双；若>0则近>0,若。则后<0：次方根记作指，的负的次方根，记作：-“；(例如：8的根土病=±2),即负数没有偶次方根；5=0：1被开方数。工(正)”=“.a>0a<0(3)

3、(4)J(a-bY(a>b)一般地，若是奇数，则也"=4：若是偶数，则痂=同="-a5.例题分析：例1.求下列各式的值：(1)V(-8J7(-j°)2例2.己知v/?vO,化简:解：例3.计算：g+而+,7-厮例4.求值：l|+(二)分数指数累*2f121 .分数指数基：=，J=a5(a>0)&=a4=a3(6/>0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数塞的形式:如果塞的运算性质(2)(/)"=。切对分数指数箱也适用，(2)即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幕的形式。规定：(1)正数

4、的正分数指数端的意义是:>1)：m正数的负分数指数事的意义是=F=>。"N*、n>1).2 .分数指数卷的运算性质：整数指数塞的运算性质对于分数指数恭也同样适用即(1)aras=ar+s(a>0,r,se0)"=ars(a>0,r,se。)(3)(ab)r=arbr(a>0,Z>>0,reg)说明：(1)有理数指数轮的运算性质对无理数指数基同样适用：(2) 0的正分数指数事等于0,。的负分数指数事没意义。3 .例题分析：例1.用分数指数事的形式表示下列各式a-ya,y/cbja.例2,计算下列各式的值(式中字母都是正数).2&

5、#163;5(1-三(1)2a3b2一6标/?3+一3%不；(2)/s例3.计算下列各式：(2)-=(a>0).(1)(5-7125)5(三)综合应用例1.化简：51+5'+5川.化简：(x2-y2)-(x4-y4).£232例3.已知X+X7=3,求下列各式的值：(1)Q+/3；(2)/+X5.二、指数函数1.指数函数定义：一般地，函数），=""（a>0且awl）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.2.指数函数丁="在底数。>1及Ovovl这两种情况下的图象和性质:a>0<«<1图象,J-

6、3-2-1-1二,X11114-3-2-1-10123<_X性质（1）定义域：R（2）值域：（0,一）(3)过点(0,1),即x=0时y=l（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例1.求下列函数的定义域、值域:说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例2.当空时证明函数）'=汨是奇函数。2例3.设是实数，f（x）=a（xwR）,2'+1（1）试证明：对于任意a,/（X）在R为增函数：（2）试确定4的值，使/（X）为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。三、对数的性质1.对数定义：一

7、般地，如果“（。>0且。工1）的次事等于M就是/=N,那么数叫做。为底N的对数，记作log°N=，。叫做对数的底数，N叫做真数.即a"=N,logflN=bab指数式J=N底数¥指数对数式log.N=b对数的底数真数对数说明：1.二在指数式中卷N>0,J在对数式中，真数N>0.（负数与零没有对数）2.对任意>0且4W1,都有4°=1Alogfl1=0,同样：loga=l.3.如果把a=N中的写成log.N,则有=N（对数恒等式）.2.对数式与指数式的互换例如：42=16log416=2102=100log10100=24?=2lo

8、g42=1例1.将下列指数式写成对数式：(1)54=25：(2)-6410-2=0.01ioglo0.01=-2(10=5.37.3 .介绍两种特殊的对数：常用对数：以10作底logl0N写成1gN自然对数：以e作底为无理数，6=2.71828，log<(N写成Ine.例2.(1)计算：log927,log625.3(2)求X的值：lOgqXM工bg|'2MTj(3/+2xl)=L/v544 .对数的运算性质：如果4>0,4H1,M>0,N>0,那么(1) log。(A/N)=lognM+logflN；log”(=log。M-log,N：(3)log。M&quo

9、t;=nlognM(neR).1g用+lg8-31gJT6igT2例3.计算：7Is243(1)Igl4-21g-+lg7-lgl8：(2)-3lg9logN5 .换底公式：lognN=：m>0,m1)log初。证明：设logN=x,则r=N,两边取以机为底的对数得：logm"=log,N,xlogi=log勿N,从而得："置5'H第.说明：两个较为常用的推论：(1) logbxlog/,a=1：(2)logr,bn=logflb(。、>0且均不为1).am证明：(1)logflZ?-logA6/=-=1；IgaIgZ?,1gbnnbnyf例4.计算：（

10、1）叫2-（2）log43-log92+log2/32.例5.已知log|89=a,18"=5,求log丸45（用a,。表示）.6 .设3'=4'=6=1>1，求证：.zX2y例7.若log83=，log35=（y,求lg5.四、对数函数1 .对数函数的定义：函数y=log.X伍>0且awl）叫做对数函数。2 .对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数，（。，。且白工口的定义域为>），值域为（s,+s）.（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y=x的对称图形，即可获得。同样：也分与0。1两种情

11、况归纳，以y=log2X(图1)与y=log|x(图2)为例。性质(1)定义域：(。,十8)(2)值域：R(3)过点(1,0),即当x=l时，y=0(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,2)上是减函数例1.求下列函数的定义域：(1)>'=logflx2；(2)y=logfl(4-x)；(3)y=logfl(9-x2).分析：此题主要利用对数函数y=log.x的定义域(0,e)求解。解：(1)由>0得xwO,.函数y=log,x2的定义域是x|xW0：(2)由4一工>0得xv4,.函数y=log(4x)的定义域是卜|x<4；<3)由9-工2>0得

12、-3vx<3,函数，=logfl(9-x2)的定义域是何3vxv3.例2.比较下列各组数中两个值的大小：(1)log?3.4,log,8.5；(2)log031.8,log()32.7；(3)log。5.1,log”5.9.解：(1)对数函数y=log2X在(0,+s)上是增函数，于是log23.4vIog28.5:(2)对数函数y=log°.3x在(。,一)上是减函数，于是logoJSlogo.：(3)当时，对数函数y=log.x在(0,2)上是增函数，于是log.5.1<log“5.9，当。vavl时，对数函数y=log“x在(0,y)上是减函数，于是log.5.1&

13、gt;log.5.9.例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小：(1)log67,log76；(2)log3n,log,0.8：(3)1.1°”,log,j0.9,log070.8；(4)logs3,log63,log73.例4.已知logm4<logn4,比较m,n的大小。in,n的大小关系为7>">1或0vv7Vl或0vv1v.例5.求下列函数的值域：(1)y=log2(x+3)；(2)y=log2(3-x2)；(3)y=logfl(x2-4x+7)(。>0且aWl).例6.判断函数/（x）=log2（J?+T-x）的奇偶性，例7.求函数y=2

14、1og（1-3x+2）的单调区间。例8.若函数y=-k）g2（Y一心一。）在区间（-8/一6）上是增函数，。的取值范围。10其重个性因材於教课堂练习：一、选择题.(共50分每小题5分.每题都有且只有一个正确选项.)1、若且为整数，则下列各式中正确的是()mA、，+/=胸B、aman=anienC、D、1+，=(尸2、对于。0间01,下列说法中，正确的是()若M=N则logM=log。N若log。M=log&N则M=N；若logM2=log。N2则M=N；若M=N则log“M2=og0N2。A、B、D、3、设集合S=yly=3x,X£R,T=yly=/l,xeR,则SAT是()

15、A、0B.TCS4、函数=2+1082工(工21)的值域为A、(2,yo)B、(yo,2)C、2,*o)5、设凹=4巴)，2=8。个出=也,则.乙)D、有限集()D、3-)()a、%>M>>?2B、y2>为>必C、凹>%>y2D、凹乃必6、在=log")(5-a)中，实数。的取值范围是A、a><2B、2<a<3c3<a<5C、2<a<5D、3<a<47、计算(Ig2)2+(lg5)2+21g2lg5等于A、0B、1C、2D、8、已知4=log32,那么log38-210g36用。表示

16、是A、5a2B、t/2C、3a(l+a)9、已知需函数f(x)过点(2,包)，则f(4)的值为2A.-B、1C、22D、3。一片一1()D、810、若f(x)=lognx(0<a<1)在区间4，上的最大值是最小值的3倍，贝心的(脱(A、叵B、立C.1D.i4242二、填空题.(每小题5分)logx,(x>O)1IK已知函数f(x)=占:贝)1的值为2x,(x<O)912、函数1、/)=怆(3*-2)+2恒过定点13、计算：log427xlog58xlog325=3m-n14、若loga2=mjoga3=n,贝!)a2=15、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每