控制理论作业三答案

1、第五章5-1试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线:G(s)H(s)=10(1s)(10.1s)解该开环系统由三个典型环节串联组成：一个比例环节G1(s)=K、两个一阶惯性环，一.1一一1节Gz(s)=和G3(s)=。这三个环节的幅、相频率特性分别为1s10.1s-jarctg,G1(j)=10G2(j)G3(j)11j0.111(0.1)2_jarctg0.1e因而开环系统的幅频特性为G(j)H(j)1012.1(0.1)2NyquistDiagrams相频特性为()=-arctg-arctg0.11取不同的频率o值，可得到对应的幅值和相角，根据这些值可得图1所示的开环系统的奈氏图。MATLA

2、冲有专门的函数Nyquist用于绘制开环系统的极坐标图。g=tf(10,conv(1,1,0.1,1)RealAxis图1开环系统的奈氏图Transferfunction100.1sA2+1.1s+1Nyquist(g)5-2已知一反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)尸10s)s(10.5s)试绘制开环系统的伯德图。解1)系统的开环频率特性为10(1j)G(j)=-j(1j2)由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为L()三L1()L2()L3()L4()=20lg10-20lgco-20lgJ1+(-)2+20lg1+(2)2210系统的相频特性为()

3、=1()-2(03(J：4()00-90-arctg一arctg2102)系统的转折频率分别为2和10。3)作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段，v=1,则渐近线的斜率为-20dB/dec。在切=1处，其幅值为201g10=20dB;当6之2时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由-20dB/dec变为40dB/dec；同理，当国之10时,由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升20dB/dec,即由40dB/dec变为-20dB/dec。4)对幅频特性曲线进行修正。5)作系统相频特性曲线，先求中i(8)平4(。)，然后叠加。图2开环系统的频率特性yapg

4、n-4NyquistDiagrams-202O系统伯德图如图2所示。5-3系统的开环传递函数为_5G(s)H(s)二(s0.5)(s1)(s2)试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。RealAxis图3解当与由OCT8变化时，G(jo)H(j0)曲线如图3所示。因为G(s)H(s)的开环极点为-0.5、-1和-2,在s的右半平面上没有任何极点，即P=0,由图3可知，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，因此N=0,则Z=N+P=0。所以，该闭环系统是稳定的。5-4反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=10s(1s)(s2)NyquistDiagrams图4试判别该系统的稳定性。解由于该系统为I型

5、系统，它在坐标原点处有一个开环极点，在s平面上的奈氏轨线如图4所示。该图的C2部分在GH平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆，若将它与图4的奈氏曲线G(j0)H(j0)相连接，则有N=2,而系统的P=0,因而Z=2,即闭环系统是不稳定的，且有2个闭环极点位于s的右半平面。5-5已知一单位反馈系统的开环传递函数为KG(s)H(s)二Ts-1试用奈氏判据确定该13!环系统稳定的K值范围。解该系统是一个非最小相位系统，其开环系统的幅频特性和相频特性为G(j)1-2T2()-180arctgT和惯性环节一样，它的奈氏图也是一个圆，如图5所示。由于系统的P=1,当切由一笛T笛变化时，G(joo)曲图5

6、非最小相位系统奈氏图线如果以逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转一周，即N=-1,则Z=1-1=0,表示闭环系统是稳定的。由图5-11可见，仅当K>1时映射曲线才会对(-1,j0)点产生围绕，所以系统稳定的条件是K>1o5-6已知单位负反馈最小相位系统A的开环频率特性曲线如图6所示，(1)试求系统A的开环传递函数，并计算相位裕量；(2)如把曲线1的abc改为ab'c而成为系统B,试定性比较A与B的性能。(1)系统的传递函数为G(s)=K(2s1)s(4s1)(0.5s1)(0.2s1)由于L(1)=20lgK-20lg120lg,122-20lg.142-20lg10.52-

7、20lg.10.22=0得K=2.1,所以传递函数为G(s)=2.1(2s1)s(4s1)(0.5s1)(0.2s1)()-90arctan2-arctan4-arctan0.5-arctan0.2(c)=-140.43相位裕量：=180(c)=39.57(2)A是i型系统，B是n型系统，系统B对于阶跃输入和斜坡输入的稳态误差为0,可跟随抛物线函数输入，而系统A对于抛物线函数输入的稳态误差为8。5-7某一阶环节的0为正值的幅相特性曲线如图7所示，写出其传递函数。G(s)=KTs1则由图可知:所以,K=4.2t214225T1二2T=0.2G(s)=40.2s1由。(2)如系统不稳定，试求出位于

8、s右半平囿E广、1>J;-s=如.力n2<C>内闭划、极点数。J(0-*O>Hf*rgo5-8设开环系统Nyquist曲线如下图所示，要求(1)判断闭环系统稳定性，并简要说明理解:图8(a)Nyquist曲线逆时针包围(-1,0j)2次,N=-2,P=2,z=N+P=0,系统稳定;(b) Nyquist曲线逆时针包围(-1,0j)0次，N=0,P=0,z=N+P=0,系统稳定；(c) Nyquist曲线逆时针包围(-1,0j)0次，N=0,P=2,z=N+P=2,系统不稳定；有2个s右半平面的根；(d) Nyquist曲线顺时针包围(-1,0j)2次,N=2,P=0,z

9、=N+P=2,系统不稳定；有2个s右半平面的根。5-9单位反馈系统开环对数幅频特性如下图9,试求系统的闭环传递函数(s)。图9解：由Bode图可知:1Gk(j)=j1)K(j1)0.00411j(j1)(0.0020.016由6=0.008时L(切)=0dB,即L(0.008)-201g|j0.008(11K(厮°.008阿11j0.0081)(一0.0020.01620lgj0.0081)|=0.008K0.0040.008、0.008()(1)0.002得K=0.016;结果Gk(j)0.016(250j1)j(500j1)(62.5j1)闭环传递函数为中(s)二4s0.0163

10、231250s562.5s5s0.0160.016(250s1)s(500s1)(62.5s1)0.016(250s1)2G(s)H(s)=25-10已知系统的开环传递函数为s(s+1),试绘制极坐标的大致图形，并用奈氏稳定性判据判断系统的稳定性。解：通过作图可以发现：图10此系统开环系统稳定。N=2P=0,Z=N+P=2因此闭环系统有两个特征根位于右半S平面，系统不稳定。3G(s)H(s)5-11系统开环传递函数为s(s+1)(s+2),要求:(1)绘制系统Nyquist曲线；(2)求出系统相角裕量¥和幅值裕量Kg；(3)判断系统稳定性；(4)使系统稳定的开环放大系数K的范围。、解：将G(j0)H(j0)改写为实部和虚部表达：G(j)H(j)=-9982+(2缶2)23(2-2)-I9。3+缶(2-®2)(1)绘制Nyqusit曲线(a)=0,在负虚轴方向，渐近线为-2.25;(b)缶=+°°,从-270o方向趋于坐标原点；(c)与实轴交点：由虚部为0,得切=1.414,代入实部表达式，得与实轴交点：-0.5;(d)列表计算几个普通频率点：(e)绘制Ny