统计学专业教授的讲座(续)

1、 授课目录第1章 导论第2章 统计资料的整理与描述第3章 机率导论第4章 常用的机率分布与统计分布第5章 描样方法与描样分布第6章 统计估计第7章 统计检定第8章 变异数分析第9章 相关分析与回归模式第10章 无母数统计检定第11章 类别数据分析-列联表与卡方检定第五章 抽樣方法與抽樣分佈从被研究的母体中，随机抽取具有代表性的样本来进行分析，即是抽样调查。从人力、财力或时间的观点来看，抽样调查是比普查有效率。5.1 抽样方法抽样调查的方法很多，若考虑人力、财力、时间或母体性质等因素，可分为：(1) 简单随机抽样、(2) 分层抽样、(3) 群落抽样、(4) 系统抽样。(1) 简单随机抽样(Sim

2、ple Random Sampling)系指母体中的任一元素被选中的机率均一样的抽样方法。常以抽签方式或随机数表进行。由简单随机抽样法所得的样本称之简单随机样本，简称随机样本。此法可分为抽出放回(每次为1/N)或抽出不放回1/N，1/(N-1)，1/(N-n-1)的抽样方式。(2) 分层抽样(Stratified Sampling)第1層第2層第k層樣本1a%×NRandomSamplinga%×n2b%×Nb%×n:k1-(a+b+k)%×N1-(a+b+k)%×n母体(N)样本(n)(3) 群落抽样(Clustered Sampl

3、ing)群落1群落2群落n1群2群k群樣本(4) 系统抽样(Systematic Sampling)系将母体的元素排列序后，每隔一定时间选取一样本，直到选满为止。间隔可以时间或空间为单位。5.2 抽样分布5.2.1 样本比例的抽样分布母体的比例p未知，须以抽样方法来估计。通常从母体抽取n个样本，观察其中具有某种属性的个数为x，并以= x/n表示样本比例。为p的估计值，即估计母体中具有某种属性的比例p。根据二项分布，执行n次试验中，若每次成功发生的机率为p，则随机变量X的期望值与变异数分别为Ex = np，Varx = np(1-p)。因此可得样本比例的期望值与变异数：E =Ex/n =Ex/n

4、= (np)/n = p (5.1)Var =Vx/n =Vx/ n2 = np(1-p)/ n2= p(1-p)/n(5.2)依中央极限定理，当n很大时，之抽样分布近似常态分布，即N(p, p(1-p)/n)(5.3)当样本数n愈大，的变异数愈趋近于零，表示样本比例会因样本愈大而愈接近母体比例p。将转为标准常态分布，即Z = (-p)/p(1-p)/n1/2 N(0, 1)例、致远管理学院学生有10%的比例有体重过重的现象，兹随机抽取400位该校学生，试问体重过重的比例之期望值与变异数? 又体重过重比例大于12%之机率?SOL：(a) E = p = 0.1Var = p(1-p)/n =

5、0.1*0.9/400 = 0.000225(b) P(> 0.12) =P(-0.1)/(0.000225)1/2 > (0.12-0.1) /(0.000225)1/2)= P(Z >1.33) = 0.0918公式、查表、Excel例、致远管理学院学生之统计学检定，正常下PASS之机率80%，兹200位该校学生进行该课程检定，试问PASS的比例 (a) 介于0.750.85之机率? (b) 大于0.9之机率?SOL：(a) E = p = 0.8Var = p(1-p)/n = 0.8*0.2/200 = 0.0008P(0.75 < < 0.85) = P

6、(-1.77 < Z<1.77)= 0.9232(b) P(>0.9) » P(Z >3.5) » 0公式、查表、Excel5.2.2 样本平均值的抽样分布利用样本平均值来推论母体的的平均值m，藉此了解母体集中趋势。依中央极限定理，从任何以期望值m，变异数s2的母体中，随机抽出n个样本x1, x2,xn(当n很大)，则样本平均值将趋近母体的期望值为m、变异数为s2/n，即为标准常态分布(-m)/s2/n1/2= Zn®N(0, 1)(5.4)即样本平均值N(m, s2/n)。5.2.3 两样本平均值的抽样分布通常是应用在不同母体间某性质差异

7、之比较，如工管系两班学生统计学成绩的差异。由两样本平均值的抽样分布，去衡量推论母体平均值差m1 - m2的状况。两母体分别为(m1, s21)、(m2, s22)，且两者的分布并不一定是常态。倘各自从中取出两组样本，因此两组样本互为独立，且®N(m1 , s21/n1)，®N(m2 , s22/n2)，故-®N(m1 - m2, (s21/n1)+( s22/n2)(5.5)例、某工厂有2条独立的生产线，平均每天产500匹布，即m1 = m2= 500,s1= 9, s2= 12，假设第1条生产线生产81天，第2条生产线生产36天，求每天平均生产量，之差小于1匹的

8、机率?SOL：(s21/n1)= 81/81=1，®N(500, 1)( s22/n2)=144/36 = 4，®N(500, 4)-®N(m1 - m2, (s21/n1)+( s22/n2) = N(0, 5)P(|<1) = P(-1<<1)= P(<<) = 0.345/ =normsdist(0.447)-normsdist(-0.447)/例、A公司债券x1每日殖利率之平均值为0.2，标准差为0.3，B公司债券x2每日殖利率之平均值为0.1，标准差为0.2。倘A与B公司债券彼此独立，兹取49天殖利率为样本，则求 (a) 样

9、本平均值差之期望值 (b) 样本平均值差之变异数 (c) 样本平均值差小于0.2的机率?SOL：®N(0.2, 0.32/49)，®N(0.1, 0.22/49)-®N(m1-m2, (s21/n1)+( s22/n2)=N(0.1, 0.32/49+ 0.22/49)(a) E-= E-E = 0.1(b) Var-= Var+Var = 0.32/49+ 0.22/49= 0.00265(c) P(-<0.2)=P(<)=P(Z<1.94) = 0.9738/ = normsdist(1.94)/5.3 t分布的应用(s未知时使用)在介绍样本

10、平均值的抽样分布时，得知随机样本来自期望值m，变异数s2的母体时，则样本平均值N(m, s2/n)。倘母体的变异数s2为未知，则s2/n之值无法求得。此时，若母体是来自常态分布时，可用t分布。t分布考虑母体是常态分布，但母体变异数s2未知时，以样本变异数S2取代之。t = = tn-1(5.6)例、某宝石公司卖出蓝宝石之平均价为8.5万元/克拉，变异数未知之常态母体，上周卖出25克拉蓝宝石中，其价格标准差为1.9万元/克拉。求上周卖出25克拉蓝宝石中之平均价大于9万元/克拉的机率?SOL：t = = tn-1，= t24P(>9) = P(>)= P(t24 >1.3) =

11、0.1/ = tdist(1.3, 24, 1)/5.4 样本变异数S2的抽样分布利用样本变异数S2来推论母体的的变异数s2，藉此了解母体离散程度。产品质量变异数愈小愈好，以减少不合格率，降低成品，增加利润。5.4 .1 卡方分布的应用：样本变异数S2的抽样分布假设x1, x2,xn是一个来自N(m, s2)分配的随机样本。则其平方和除以s2后就依循卡方分配。SS/s2= åni =1 (xi-)2/s2=c2n-1另S2=åni =1 (xi-)2/(n-1) = SS/(n-1)c2n-1= (n-1) S2 /s2 = åni =1 (xi-)2/s2(5.

12、7)S2的分布为s2/(n-1)c2n-1。故样本变异数的抽样分布为一个常数乘以卡方分布。另卡方分布的性质：Ex c2n-1 = n-1Þ Ex c2n-1= E(n-1) S2/s2 = (n-1) /s2ES2 = n-1ÞES2 = s2(5.8)Varx c2n-1= 2(n-1)Þ Varx c2n-1 = Var(n-1) S2/s2= (n-1)2/s4 VarS2=2(n-1)ÞVarS2 = 2s4/(n-1)(5.9)例、某公司生产机车引擎，品管部门以引擎轴长的变异数来判断生产过程是否一致性。假设每个引擎轴长的变异数为0.8，整批产品

13、的变异数超过1.3，表示此批产品不佳，须重新调整生产过程。兹抽样10个引擎，试问须重新调整生产过程的机率?SOL：P(S2 >1.3) =P(n-1)S2/s2 >9(1.3)/0.8)= P(c29>14.6) = 0.1/=chidist(14.6,9)/5.4.2 F分布的应用：两样本变异数比S12/S22的抽样分布比较两母体的的变异数是否相等时，可利用样本变异数比S12/S22来判定。如比较两超商连锁店营业额之变异、比较两基金操作获利之变异等，以观察两者间之稳定情形。S12/S22®1，显示两母体的的变异数s12, s22相当接近。假设分别来自二个不同母体的

14、随机样本，各取样本n1, n2其各别样本变异数为S12与S22则(S12/s12)/S22/s22)=(5.10)利用F的抽样分配，可求得样本变异数比S12/S22的抽样分配。其中样本变异数比S12/S22会因样本愈大而愈接近母体变异数比s12 /s22。投资风险的大小，一般由短期投资的可能结果而定。最常用以衡量短期投资之方法即计算可能结果的变异数。例、假设有A、B两种投资组合，其平均报酬率为20%，但A投资组合10年来获利的变异数为8.4， B投资组合8年来获利的变异数为3.1，倘两种投资组合的母体变异数均相等，即s12 /s22，试问A、B两种投资组合变异数比大于2.7的机率?SOL：P(

15、S12/S22>2.7) =P(S12/s12)/S22/s22>2.7)=P(>2.7)= P(F9, 7 >2.7) = 0.1/= fdist(2.7, 9, 7) /习题1. 从一个常态母体N(30,400)中抽出100样本，令为样本平均值，则(a) 会服从何者分布- N(30, 22=400/100)，期望值与变异数为何? (b) P(< 32) =0.8413。2. 从一个p = 0.4的白努利试验中抽出100样本，组成样本比例。则 (a) 会近似何种分布- N(0.4, 0.24/100)期望值与变异数为何? (b) P(< 0.45) =0.

16、8461)。3. 致远夜市55%的顾客是女性，从中随机抽取200位顾客，且为这200位顾客中女性所占的比例，则 (a) 之抽样分布- N(0.55, 0.012375) (b) P(> 0.56) =0.388。4. 某公司生产汽车轮轴，而轮轴的直径呈N(30,0.12)，单位为cm。兹要生产4个汽车轮轴，并由此4个样本组成样本平均值。则(a) 会服从何者分布- N(30, 0.0025)。 (b) P(< 29.875) =0.0062。5. 有两相互独立的常态母体N(57,122 )、N(25,62 )中分别抽出36个样本，试问(a) 会服从何者分布- N(32, 5)。 (b

17、) P(> 35) = 0.09。6. 致远管理学院入学考试英文成绩平均值为68分、变异数25；数学成绩平均值为54分、变异数30，又二科成绩相互独立。兹由所有参加者中，抽取50位，令表示英文成绩样本平均值；表示数学成绩样本平均值。试问(a) 会服从何者分布- N(14, 1.1)。(b) P(> 16) = 0.028。7. 设X1, X2,Xn为抽取自常态分布N(m, s2)的一组随机样本，S为样本标准差。试写出以下各个统计量所服从的抽样分布(A)= N(m, s2/n) (B) = N(0,1) (C)= c2n-1 (D) = t n-1。8. 某养鸡场中，成鸡重量为平均体

18、重2公斤，变异数s2未知之常态分布。目前欲批发1000只成鸡，但是不知其平均体重为多少。于是从中抽出26只鸡来称重(抽出放回)，假设其样本平均数公斤，样本变异数S2=0.25。试问大于2.2公斤之机率是多少=0.025。9. 某学生在致远夜市打工，卖新潮牛仔裤，他决定以新潮牛仔裤卖出价格的变异数来判定开价是否合理。假定每条新潮牛仔裤的卖出价格变异数为100。若整批新潮牛仔裤卖出价格变异数超过180，即表示此批新潮牛仔裤开价不合理，需要重新调整开价。从昨天新潮牛仔裤卖出价格中随机挑取17次交易，试求重新调整开价之机率P(S2>200)= P(n-1)S2/s2>16*180/100) =P(c29>28.8)=0.025。10. 有两个互相独立的常态母体N(m1, s12)、N(m2, s22)，若由这两个母体各自抽出n1，n2个样本，令其样本变异数分别为S12、S22。试写出统计量 (S12/s12)/(S22/s22)所服从的抽样分布F(n1-1,n2-1)。11.自由度= ，P(t>ta)= 0.05，ta=( 1.645 )。自