量子力学复习提纲

1、(5)#(5)量子力学复习提纲第一章绪论1. 德布罗意关系，E = h = :r：- h -p n 二 k2. 微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V伏电压加速，则电子的德布罗意波长为12.25#(5)#(5)第二章 波函数和薛定谔方程1. 波函数的统计解释波函数在空间某一点的强度- 2宙（r ,t）和在该处找到粒子的几率成正比，描写粒子的波是几率波.x2其中w小亚=宙 代表几率密度.2. 态叠加原理：如果i和2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加c? 1 cf 2 ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程.甲（r,t）?薛定谔方程 I - = H r，t定态薛定谔方程F?r

2、= E" r其中A2-F?2 U r2卩为哈密顿算符，又称为能量算符，4. 波函数的标准条件：有限性，连续性（包括及其一阶导 数）和单值性.5.波函数的归一化，(9)I 甲 9 d = 1Q06.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种，一维线性谐振子；势垒贯穿.第三章 量子力学中的力学量1.坐标算符，动量算符及角动量算符；构成量子力学力学量的法则；2.本征值方程，本征值，本征函数的概念（10）3(12)(13)c 二x x dx(14)3.厄密算符的定义，性质及与力学量的关系F? dx 二 F dx)实数性：厄密算符的本征值是实数.正交性：厄密算符的属于不同本征值的两个

3、本征函数 相互正交.完全性：厄密算符F?的本征函数n X和' .X组成完全系,即任一函数'X可以按n X和 . X展开为级数x 八 cn n x c x dn展开系数：cn 二n x x dx4#2Cn是在V（X）态中测量力学量F得到的几率，25 d丸是在即（X）态中测量力学量 F ,得到测量结果在 九到范围内的几率.4. L2和LZ算符的本征值方程，本征值和本征函数ill 2L?z#本征函数YmC）#5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值，本征函数nlm的数学结构，w nlm(r,°)=Rn|(r)Y|m(° "(15)主量子数n,角量子数I和磁量子

4、数m的取值范围，简并态的概 念.6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.卜e4(16)En 二 2， n = 1,2,3,不考虑电子的自旋是 n2度简并的； 考虑电子的自旋是 2n2度简并的.7. 给定电子波函数的表达式，根据电子在rF / 点周围的体积元内的几率(17)(18)即 nim( r* /)r2sin drd日 d*计算电子几率的径向分布和角分布 .计算在半径r到r dr的球壳内找到电子的几率.8. 给定态函数，计算力学量平均值，平均值的计算公式厂 x F x dx注意(11)式对波函数所在的空间作积分.9. 算符的对易关系及测不准关系.(1) 如果一组算符相互对易，则这些算符所表示

5、的力学量同时具有确定值(即对应的本征值),这些算符有组成完全系的共 同的本征函数.例如：氢原子的哈密顿算符H?，角动量平方算符L2和角动量算符LZ相互对易，则屮(i)它们有共同的本征函数nlm ,(ii)在态nlm中,它们同时具有确定值2 2i(i + 1泌，m.7#(2) 测不准关系：如果算符F和G不对易,则一般来说它们 不能同时有确定值.设F G- G F= ik则算符F?和G的均方偏差满足：k2(19)二 F2- F22 . 2 2 2其中 F 二 F - F 二 F2- 2FF F22 22 2 222F)二 F2- F2,( 9)- G2- G2(a)利用测不准关系估计氢原子的基态能

6、量，线性谐振子的零点能等.(b)给定态函数J ,计算两个力学量F?和G的均方偏差的乘积F?2 G 2 -第四章态和力学量的表象(20)1. 对表象的理解(1) 状态宇：态矢量(2) Q表象:力学量Q的本征函数u1 x ,u2 x ,.un x ,构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量(4)将态矢量按照上述基矢量展开? x,t 二' an t un xnai t ,a2 t ,.an t，是态矢量宇在Q表象中沿各 基矢量的分量.(5) an(tf是在甲(x,t)所描写的态中,测量力学量Q得 到结果为Qn的几率.2. 算符在Q表象中的表示(i) 算符F?在Q表象中是一个矩阵，Fnm称为矩

7、阵元_ ” ( h & Fnm 三 JUn(X)F x, |Um(x)dX< i cx)算符在自身表象中是一个对角矩阵，其对角矩阵元为9(21)该算符对应的本征值.3. 量子力学公式的矩阵表述(1)平均值公式：(2) 本征值方程 久期方程F1112.F1nF21F22.F2nFn1Fn2 .Fnn1 F11 F12 .F1m .!mt)'i 1p(t)、1 1F FF厂21厂22 厂2m 1 1a2(t)=z,at)11! Fm Fn2 .Fnm . |:am(t):1am(t)10(21)#(21)(3) 薛定谔方程的矩阵形式pl(22)i _ 汀-H?dt4. 么正变

8、换的概念(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵(2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定Snp = j響：(x 严 r(x )dx,Sjm X : x dx.#(3) 态矢量由A表象变换到B表象的公式b= S_1a(23)(4) 力学量F由A表象变换到B表象的公式：F = S1FS(24)5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值；(ii) 么正变换不改变矩阵 F的迹；(iii) 么正变换不改变力学量的平均值第五章微扰理论(I)求解非简并定态微扰问题(1)确定微扰的哈密顿算符 H . H?二H?0 ，及与H? °对应的零级近似能量En°和零级近似

9、波函数.°n ；(2)计算能量的一级修正：En°d计算波函数的一级修正n1八mH mn 出(° ) E ° _ E ° m nm(25)(26)11#(4)计算能量的二级修正：12(27),2H；i|巴2巳0-巳0(II)求解非简并定态微扰问题(只要求能量的一级修正) 求解步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符H?.(2) 确定微扰算符的矩阵元：(28)用厂i H? id求解久期方程得到能量的一级修正H；i-E°) H H 匚 n 12.H 1 kH2iH - E 22匚 n.H 2kHkiH；2.H kkn(29)(31)13(27)(3

10、1)#(27)(III) 变分法不作要求(IV) 含时微扰论(1)基本步骤设H?0的本征函数为n为已知：H?o(30)(31)#(27)(31)#(27)将按照H?o的定态波函数nnJ展开:展开系数的表达式(31)14(32)am t 1 0 Hmke "dtj舟 0其中HmnmH nd(33)是微扰矩阵元，15(32)#(32)1=(Z - Z(34)mnm n能级跃迁到；m能级的玻尔频率.在t时刻发现体系处于 m态的几率是am(t),体系在微#(32)#(32)扰的作用下，由初态k跃迁到终态m的几率为#(32)#(32)W-mam t(35)用于周期微扰t = f?e"

11、t得到am t =FmkFkt' e 1I o + «- mkei，m't -1co - omk(36)#(32)#(32)由(36)式，讨论并理解发生跃迁的条件是(37)« = ± CO百Ezmk时，体系才能从 卉©.mk ；mk 或 m(i) 表明只有外界的微扰含有频率跃迁到“ m态，这时体系吸收和发射的能量是(ii) 跃迁是一个共振现象.能量时间的测不准关系的含义16(44)(39)(40)0丿'Sri-i0丿'2<0(41)E t(38)了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数：Amk , Bmk和Bkm及相互关

12、系(5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则丨-丨1,m = m - m = 0, -1.第六章散射只要求理解微分散射截面的概论，不作计算要求.第七章自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S,它在空间任何方向的投影只能取Sz自旋算符的矩阵形式#(44)#(44)2. 泡利矩阵0丿':?=y?z10(42)#(44)#(44)(1)求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差(43)G11 G12? 1Il I(21 G22 八2 丿（2）求解自旋角动量算符的本征值方程，本征值和本征函数3. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因4. 全同性原理的表述5. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的 它们的对称性不随时间改变