线性代数教案

1、第一章 行列式第一讲 行列式的定义与性质教 学 目 的：掌握行列式的概念及行列式的性质教学重点与难点：行列式的概念与性质教学计划时数：2学时教 学 过 程：1.排列与逆序对于个不同的元素,我们可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如这个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.定义1 由个自然数组成的一个无重复的有序数组,称为一个级排列.例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列.显然, 级排列共有个.排列中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.定义2 在个不同元素的任一排列中,当某两

2、个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个级排列中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若,则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为或.例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数.根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个级排列中，比大的且排在前面的数共有个，则的逆序的个数为，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数即例1 计算排列45321的逆序数.解 因为4排在首位,故其逆序数为0； 比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有

3、2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4可见所求排列的逆序数为定义3 如果排列的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列的逆序数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列的逆序数是0，因此是偶排列.2.对换定义1 在排列中,将任意两数和的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换.例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实.定理1 对换改变排列的奇偶性.也

4、就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.3.阶行列式定义1 设有个数，排成行列的表：作出表中位于不同行列的个数的乘积，并冠以符号，得到个形如的项，其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数.所有这项的代数和称为阶行列式，记作.其中表示对所有的级排列求和.行列式有时也简记为，这里数称为行列式的元素，称为行列式的一般项.定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点：由于级排列的总数是个，所以展开式共有项；每项必须是取自不同行不同列的个元素的乘积；每项前的符号取决于个元素列下标所组成

5、排列的奇偶性.要注意的是，当时，一阶行列式，不要与绝对值记号相混淆.例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).证 根据阶行列式的定义易得.上例中行列式，其非副对角线上元素全为0，此类行列式可以直接求出结果，例如 . 证毕类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有.主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.例2 计算上三角形行列式.解 一般项为，现考虑不为零的项.取自第行，但只有，故只能取；取自第行，只有，由于取自第列，故不能取自第列,所以；同理可得，.所以不为零的项只有.所以.在行列

6、式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，阶行列式的项可以写成其中是两个级排列.利用定理1.1.1，可以给出阶列式另一种表示法.定理1 阶行列式也定义为推论 阶行列式也定义为例2 在四阶行列式中，应带什么符号？解 1）按定义1.1.5计算.因为，而的逆序数为，所以的前面应带负号.2）按定理1.1.2计算.因为行指标排列的逆序数为，列指标排列的逆序数为.所以的前面应带负号.4、行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变，即性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为

7、零.性质3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即第行(或列)乘以,记为(或).推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零.推论3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.性质4 若行列式中第行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第行（列）的元素，而除去第行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即 . 若阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成个行列式.如性质5 将行列式的某一行（列）的倍数

8、加到另一行（列）上，行列式不变.例如以数乘第行加到第行上（记作），有.以数乘第列加到第列上，记作.第二讲 行列式的计算教 学 目 的：掌握行列式的计算教学重点与难点：行列式的计算教学计划时数：2学时教 学 过 程：1、化行列式为三角行列式来计算性质2，3，5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即，和，.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算（或）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：把行列式化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别

9、乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例1 计算行列式解 .例2 计算阶行列式.解 注意到此行列式中各行（列）的个数之和相等，故可把第二列至第列都加到第一列上去，然后各行都加上第一行的（1）倍，就有 按本例，特别地有：.2、行列式按行（列）展开定理定义1 在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，余下的（）阶行列式，称为元素的余子式，记为；再记，称为元素的代数余子式.例如，对三阶行列式元素的余子式和代数余子式分别为，.有了定

10、义1，三阶行列式可以写成.引理 一个n阶行列式D,若其中第i行（或第列）所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即.定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即或 推论 行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或 上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理.我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.例3 计算行列式解 因为中第二行的数字比较简单，所以选择的第二行.应用性质5得.例4 计算阶行列式.解 将按第1列展开，则有.例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中记号“”表

11、示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.因为，所以当时公式成立.现假设公式对于（）阶范德蒙德行列式成立，要证对阶范德蒙德行列式也成立.对降阶：从第行开始，后行减去前行的倍，有按第一列展开，并把每列的公因子提出，得到上式右端的行列式是（）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子乘积.故 证毕由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这个数中至少有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如.第三讲 习题课教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.教学计划时数：2课时教 学 过 程： 1 内容精要排列，排列的逆

12、序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算.2 知识脉络图3典型例题例1用行列式定义计算行列式解： 仅有位于不同行、不同列的个非零元素，即.因此的项中仅有一项非零，故.因为，所以.例2 计算行列式分析 对于元素是数字的行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算，或将其某一行（列）化成有较多0元素之后，再按该行（列）展开降阶.解法一（化为三角形行列式） 解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）注 上述两种解法是计算数字行列式常用的方法.例3计算行列式，.分析 因为主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可

13、计算出行列式的值.解 .注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.计算行列式，.分析 因为主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 .注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.例4 计算行列式.分析 该行列式具有特点：各行（列）的元素之和相同

14、，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解.解法一 从第2列起将各列加到第1列，然后从第2行起各行加上第1行的（1）倍，得.解法二 把行列式的第1行乘以分别加到第行上去，然后依次将第列加到第1列，得 .例5 计算阶行列式 .分析 这个行列式大部分元素相同，所以问题的关键是想办法变出尽可能多的零.解 从第二行开始，各行都减去第行，然后从第二列开始，各列都加到最后一列，再按第一列展开，得 注 结合行列式的性质，利用行列式的展开定理计算行列式，这是计算阶行列式的又一重要方法.例6 证明：.证明 用数学归纳法.记左边行列式为，则当时，命题成立.假设时，则当时，.对按第列展开，得.因此由数学

15、归纳法，命题对一切正整数成立.例7 利用范德蒙德行列式计算下列行列式(1) (2)分析 这两个行列式与范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续进行下去，共经过交换次行后可化为范德蒙德行列式；对(2)只要每列提出公因数，也可化为范德蒙行列式.解 （1）原式= = = =.（2）原式 .4练习：1.计算四阶行列式.2.计算十阶行列式.3.计算行列式.4.计算行列式 5.计算三对角行列式.6.计算行列式.第二章 矩阵第一讲 矩阵及其运算教 学 目 的：1.熟练掌握矩阵的概念，了解常用的特殊矩阵以及性质。2.掌握矩阵的

16、线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。教学重点与难点：1.矩阵的乘积2.矩阵可交换，及相关结论。教学计划时数：2学时教 学 过 程：一、 矩阵的概念定义1：由 个数排成 行（横向）、 列（纵向）的数表：称为矩阵，记作 简记为 ，或，这个数称为矩阵A的元素，简记为元.其中为A的第i行第j列的元素.如是3行4列的矩阵（外加方括号或圆括号），就称它为34的矩阵，这里，34是一个记号，表明矩阵有3行4列.注意：1. 行列式是算式，其行列数必须相同；矩阵是数表，其行列数可不同. 2. 元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵，本书中所讲的矩阵除特别说明外，

17、均指实矩阵.矩阵的一些相关概念定义2：两个矩阵的行数相等、列数也相等时，称它们为同型矩阵.如，是同型矩阵.2.矩阵的相等定义3：设矩阵，为同型矩阵，若则称矩阵与相等，记为.如，当时，.二、一些常用特殊矩阵（1）行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也可记作.（2）列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量.（3）零矩阵：所有元素都等于0的矩阵，称为零矩阵，记作.注意：不同型的零矩阵是不同的.如，为矩阵,是行矩阵；为矩阵,是列矩阵；为零矩阵，为零矩阵，但.（4）阶方阵：当时，称为矩阵或阶方阵，有时用表示.1阶矩阵被约定当作“数”（即“元素”本身）对待.（5）上

18、（下）三角阵：设阶方阵，若时，则称为上三角阵；若时，则称为下三角阵.如，是一上三角形阵，是一下三角形阵.（6）对角矩阵既是上三角阵、又是下三角阵的矩阵称为对角矩阵，简称对角阵.对角矩阵可简记为.（7）数量矩阵(又称标量阵)对角阵中，若，则称之为数量矩阵.简记为.（8）单位矩阵数量矩阵中的矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，记作或，即.如，为3阶对角阵，为3阶数量矩阵，为3阶单位阵.（9）对称矩阵：满足条件的方阵称为对称矩阵，简称对称阵.其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.（10）反对称矩阵：满足条件的方阵称为反对称矩阵，简称反对称阵.其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相反.如，为对称

19、阵，为反对称阵.三、矩阵的运算1.矩阵的加法定义4：设两个矩阵，定义与的和为，即.注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.如，.对，记，称为的负矩阵.有以下结论(1).(2)规定矩阵的减法为.矩阵加法运算律（设都是矩阵）.（1）；（2）；（3）；（4）.2.矩阵的数乘定义5：设矩阵，为数，数与矩阵的乘积定义为，或记为.即矩阵数乘的运算律（设都是矩阵，为数）（1）；（2）；（3）；（4）.矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为矩阵的线性运算.3.矩阵与矩阵相乘定义6：设，定义矩阵，其中为矩阵左乘矩阵之积，记作. 乘积矩阵的第行第列元素就是的第行元素与的第列对应元素的乘积之和.例1设，求

20、.解 注意:1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 2. 乘积矩阵的第行第列元素就是的第行元素与的第列对应元素的乘积之和.矩阵乘法的运算律（假设运算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.例2设.求与.解；.由此例题可归纳：一般地，对于单位矩阵，有.或简写为.可见单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.关于矩阵的乘法，我们还要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情形下，.如，设，则.（2）非零矩阵相乘，可能是零矩阵，即由，不能推出或.如，设，则，但且（3）两个矩阵乘法不满足消去律，即由，不能推出.如，设，有则，但.定义7：如果两个矩阵相乘，有，则称

21、矩阵与矩阵可交换，简称与可换.由，可知数量矩阵与矩阵的乘积等于数与的乘积.并且当为阶方阵时，有这表明数量矩阵与任意同阶方阵都是可以交换的.4.方阵的幂 定义8：设是阶方阵，定义其中为正整数，这就是说就是个连乘，称为的次幂.注：只有方阵，它的幂才有意义.方阵幂的运算律(1）；(2）（为正整数）一般地，对于两个阶方阵与，(为正整数)，只有当它们可交换时，才有(其中为正整数).类似可知，例如，等公式，也只有当时才成立.例3 设，求解 ，.5.方阵的多项式设 为的次多项式，为阶方阵，记，称为矩阵的次多项式.因为矩阵和都是可交换的，所以矩阵的两个多项式和总是可交换的，即总有，从而的几个多项式可以像数的多

22、项式一样相乘或分解因式.例如6.矩阵的转置定义9：把矩阵行列互换所得到的一个新矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记为.注：若为对称矩阵，则；若为反对称矩阵，则.矩阵转置的运算律（假设运算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.证明第(4)式.证 设矩阵.易知与都是矩阵.而位于的第行第列的元素就是位于的第行第列的元素，因此等于.位于的第行第列的元素就是位于的第行元素与的第列的对应元素之积的和.显然，上述两个式子相等，所以.例4已知求.解法1因为 所以 .解法2.7.方阵的行列式定义10：由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或.如，则.矩阵行列式的运算律（设是阶方阵

23、，是数）（1）；（2）；（3）；（4）.例5已知，验证：.证因为，所以 又 故 .8.共轭矩阵定义11：设为复（数）矩阵，用表示的共轭复数，记.称为的共轭矩阵.共轭矩阵的运算律（设是复矩阵，是数，且运算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.第二讲 逆矩阵教 学 目 的：1.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件。2.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。教学重点与难点：1.矩阵可逆的充分必要条件2.用伴随矩阵求逆矩阵。教学计划时数：2学时教学过程：一、逆矩阵的定义在矩阵的运算中，单位矩阵相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵，如果存在矩阵“”，使得则矩阵“”可

24、否称为矩阵的逆呢？定义1：设为 阶方阵，若存在 阶方阵，使成立，则称方阵可逆，并称是的逆矩阵，简称逆阵，记作.于是有结论：1.可逆矩阵一定是方阵，且适合其逆阵也一定是方阵；2.若矩阵与满足，则与都可逆，并且互为逆矩阵，即.3.零矩阵是不可逆矩阵；单位矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是其本身.例1设，验证可逆，且互为逆矩阵.证 因为，所以与是两个可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵，即，.定理1：若可逆，则其逆矩阵唯一.证设都是的逆矩阵，则.从而 . 例2如果其中.验证.证 因为 ， ，所以 . 证毕此例说明：若对角矩阵对角线上的元素都不为零，则可逆，且有.二、 矩阵可逆的充分必要条件若已给方阵，怎么判定它是

25、否可逆？若可逆时，又如何求出？为了讨论方阵可逆的充分必要条件及得出求逆矩阵的方法，首先引进“伴随矩阵”的概念.1.伴随矩阵定义2：阶方阵的行列式中各个元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵，称为方阵的伴随矩阵，记为，即定理2：对于阶方阵及其伴随矩阵，有证由矩阵乘法及行列式按某一行（列）展开的的公式，可得，所以有. 2.逆矩阵的求法定理3阶方阵可逆的充分必要条件是其行列式，且当可逆时，有.（其中为的伴随矩阵.证必要性.由可逆知，存在阶矩阵，满足，等式两边取行列式，可得因此，同时.充分性.设，且，则由式（2.4）得，两边乘以，得.同理可得.由逆矩阵的定义即知，可逆，且 . 证毕该定理不仅给出方阵可

26、逆的充分必要条件，而且给出用伴随矩阵求逆矩阵的方法，此法称为伴随矩阵法.推论 若（或），则.证 由，得，所以，即存在，有，同理可得 . 证毕此推论说明：判断矩阵是否可逆，只要验证或中的一个即可.例3设，求的逆矩阵.解 因为，所以可逆，则的伴随矩阵故一般地，对二阶方阵，当时，有例4判定矩阵是否可逆，若可逆求其逆矩阵.解由，知可逆.而所以 .故.例5设方阵A满足方程 证明为可逆矩阵, 并求其逆.证 由，得，或 ，所以可逆，且.定义3 若阶方阵的行列式，则称为非奇异矩阵（又称非退化矩阵）；若，则称为奇异矩阵（又称退化矩阵）.由定理3及定义3可得定理4设为阶方阵,则为可逆矩阵的充分必要条件是为非奇异矩

27、阵；为不可逆矩阵的充分必要条件是为奇异矩阵.3.矩阵方程对标准矩阵方程（其中均可逆）.利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应矩阵的逆矩阵，可求出其解分别为.对于其它形式的矩阵方程，则可通过矩阵的有关运算性质化为标准矩阵方程，再进行求解.例6设是同阶矩阵，且A可逆，下列结论如果正确，试证明之；如果不正确，试举反例说明之.(1)若则；(2)若则.解 （1）正确.由及可逆，在方程两边左乘，得从而有，即.（2）不正确.例如，设则，显然有，但.例7设求矩阵，使满足.解，都存在.容易求得；又由得到，即有.例8设求.解 因为 ，而 ，其中 ，故 .例.8的方法常可以用来计算，

28、由此再来计算的的多项式.(1)若，则，从而.(2)若为对角阵，则，从而.三、逆矩阵的性质可逆矩阵具有下列性质(1)若可逆，则 也可逆，并且；(2)若可逆，则 也可逆，并且 ；(3）若可逆且数 ，则也可逆，并且 ；(4)若、为可逆的同阶方阵，则也可逆，并且；(5).性质(4)可推广到有限个阶可逆矩阵相乘的情形，即若阶矩阵都可逆，则也可逆，并且有（为正整数）证 仅证明(4).因为 ，所以 . 例9已知及可逆，试证可逆.证 即可表成可逆阵与的乘积，故知为可逆阵. 第三讲 矩阵的初等变换与矩阵的秩教 学 目 的：掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法教学重点与难点：用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法教

29、学计划时数：2学时教 学 过 程：1、初等变换定 义1下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）初等对换变换：对换矩阵的两行（列）.对换两行(列)的初等行(列)变换，记作；（2）初等倍乘变换：用非零数乘矩阵的某一行（列）中所有元素.以乘矩阵的第行(列)的初等行（列）变换，记作 ()；（3）初等倍加变换：将矩阵的某行(列)乘以数k再加入另一行（列）中去.矩阵的第行（列）乘k后加到第j行(列)的初等行（列）变换，记作().矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换.显然，矩阵的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换.变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换为(或记作)

30、；变换的逆变换为(或记作)2、等价矩阵定义1：若一个矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，就称矩阵与行等价，记作（或）；若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，就称矩阵与列等价，记作（或）；若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价，记作（或）.一般地，在理论表述或证明中，常用记号“”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.（2）.性质矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1)反身性：；(2)对称性：若，则；(3)传递性：若，则.定理1 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等变换，化为标准形：，这个标准形由三个数完全确定，其中是行阶梯形矩阵中非零行的行数（）.根据定理1及初等变换的可逆性，有推论 如

31、果A为n阶可逆矩阵，则矩阵A经过有限次初等变换可化为单位矩阵E，即.例1 设，把化为标准形.解 上面最后一个矩阵即为矩阵的标准形.3、初等矩阵定义1 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换分别对应着三种初等矩阵.(1)初等对换矩阵：把阶单位矩阵的第行(列)互换得到的矩阵(2)初等倍乘矩阵：把阶单位矩阵的第行(列)乘以非零数得到的矩阵(3)初等倍加矩阵：把阶单位矩阵的第行（第列）乘以数加到第行（第列）上得到的矩阵对于单位矩阵进行初等列变换时，特别注意的是应当把的第列乘以数加到第列上，得到的是.由于初等行（列）变换只有上述三种，所以由初等行（列）变换得到的初等矩阵只有上述的

32、三种类型，并且有.对于上述的三种类型的初等矩阵，因为它们的行列式都不等于零，因此初等矩阵都可逆.另外，若对初等矩阵再作一次同类初等变换，就可以化为单位矩阵.初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵，由此得出初等矩阵的性质：（1）；（2）；（3）.定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，就相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，就相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.4、求逆矩阵的初等变换法及矩阵可逆的充要条件定理1 阶方阵可逆的充分必要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘积.证明必要性.由定理2的推论知，若可逆，则经若干次初等变换可化为，即存在初等矩阵，使那么 或 故矩阵可以表示为若干初等

33、矩阵的乘积.因初等矩阵可逆，所以充分条件是显然的. 证毕下面介绍用初等变换求逆矩阵的方法. 若为可逆矩阵，则也可逆，由定理2.3.4，存在初等矩阵，使用右乘上式两边，得 （2.7）又 （2.8）比较（2.7）与（2.8）两式，（2.7）式中的与（2.8）式中的左乘的一系列初等矩阵是对应相同的，这说明当把经过一系列初等行变换化为单位矩阵时，同样这些初等行变换就把化为了. 证毕因此，用初等行变换法求矩阵的逆矩阵的具体做法是：在矩阵的右边写上与同阶单位矩阵，就构造了一个矩阵，然后对进行一系列初等行变换，把变为单位矩阵，与此同时，被变为矩阵.用式子表示为 即 .我们已经知道，可逆矩阵的标准形矩阵是单位

34、矩阵.事实上，可逆矩阵的的行最简形矩阵也是单位矩阵，即推论1方阵可逆的充分必要条件是.证因为方阵可逆的充分必要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘积，即有初等矩阵，使，也就是，上式表示经过有限次初等变换可化为，即.推论2矩阵与等价的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使.例1用初等行变换法求的逆矩阵.解因为 .所以 .利用初等行变换求求矩阵的逆矩阵时，对只能用行变换，不能用列变换.当然也可用初等列变换求出的逆矩阵，其方法是：在矩阵的下面写上与同阶的单位矩阵，形如而后对其施行列变换，把变为，这时下半部就变为，即.5.用初等变换法求解矩阵方程由定理2.3.4的推论1说明了若的行最简形矩阵是，则就

35、是的行最简形矩阵，即；并且有，即.前面已知对于任何方阵，可逆的充要条件是，且当可逆时， .现在设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，具体做法是：构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的矩阵化为，即 .同理，求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵，即.例1求解矩阵方程其中解 把所给方程变形为可见，因此可逆，且.第四讲 矩阵的秩与分块矩阵教 学 目 的：理解矩阵秩的概念和了解分快矩阵教学重点与难点：矩阵秩的理解教学计划时数：2学时教 学 过 程：1、矩阵的秩（1）矩阵秩的概念定义1若为矩阵，在中任意取行

36、、列，则位于这些行与列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.显然，若为矩阵，则的阶子式共有个.当时，它的任何子式都为零.当时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.再考察二阶子式，若中有一个二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到中有阶子式不为零，而再没有比更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数反映了矩阵内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 设为矩阵，如果存在的阶子式不为零，而任何阶子式(如果存在的话)皆为零，则称数为矩阵的秩，记为.并规定零矩阵的秩等于0.由定义2，根据行列式的性质易知

37、，矩阵的秩就是矩阵的最高阶非零子式的阶数.（2）矩阵秩的性质性质1若为矩阵，则.性质2若矩阵中有某个阶非零子式，则；若矩阵中所有阶子式全为零，则.性质3若矩阵的秩，则.定义3设为阶方阵，若，则称矩阵为满秩矩阵；若，则称矩阵为降秩矩阵.由此可得定理1阶矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵为满秩矩阵；阶矩阵为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵为降秩矩阵.性质5若矩阵，则.性质6若矩阵可逆，则.性质7若矩阵与的秩分别为，则，特别地，当为列向量时，则有.性质8若矩阵与的秩分别为，则.性质9若矩阵，则（证明见第4章例4.4.7）.例1设为阶矩阵，且,证明.证因为，由性质7得而，所以.又,由性质9得.综合即得.

38、（3）矩阵秩的求法定理矩阵经初等变换后，其秩不变.也就是说，若，则根据这个定理，我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.例1 求矩阵的秩.解 ，所以.2、分块矩阵（1）分块矩阵的定义定义1 将矩阵用若干横线和纵线分成一些小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.如，设,若记,则A可表示为.(2)分块矩阵的运算1设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，若其中与的行数相同、列数相同，则2设，为数，则3设为矩阵，为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，则其中 4分块矩阵的转置设，则5设为阶

39、矩阵，若的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在主对角线上的子块都是方阵，即，其中都是方阵，则称为分块对角矩阵.(3).分块对角矩阵的性质分块对角矩阵具有以下性质：1若，则，且；2若可逆，则；3同结构的分块对角矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是分块对角矩阵，且运算表现为对应子块的运算.例如，设有二个分块对角阵:, .其中矩阵与都是阶方阵，则.即分块对角阵相乘时，只需将主对角线上的块相乘即可.例1 设矩阵用分块矩阵计算.例2 设矩阵用分块矩阵计算.例3 设求.解 ；所以 .(4)矩阵的按行分块和按列分块对矩阵分块时，有两种分块应该给予特别重视，这就是按行分块和按列分块.矩阵按行

40、（列）分块是最常见的一种分块方法.一般地，矩阵有行，称为矩阵的个行向量，若记第行为则矩阵就可表示为又矩阵有列，称之为矩阵的个列向量，若第列记作.则 对于矩阵与的乘积矩阵，若把按行分成块，把按列分成块，便有其中由此可进一步领会矩阵相乘的定义. 以对角阵左乘矩阵时，把按行分块，有可见以对角阵左乘的结果是的每一行乘以中与该行对应的主对角线上的元素.以对角阵右乘时，把按列分块，有可见以对角阵右乘的结果是的每一列乘以中与该列对应的主对角线上的元素.例4 设A是一个矩阵，是一个矩阵.对按行分块：，其中是的第个行向量；同时对作一个行块、一个列块的分块，则有.例5 设为实矩阵，且，证明.证 设，把用列分块表示

41、为，则，即的第行第列元素为，因，故.特别地，有，而 由 (因为实数)，得即 . 证毕第五讲 习题课教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.教学计划时数：2课时教 学 过 程：1 内容精要矩阵的概念及运算；矩阵的秩、矩阵的初等变换与初等矩阵；逆矩阵的概念、性质及求法；分块矩阵及其应用.2 知识脉络图3典型例题例1设证明，其中为正整数.分析 由于，所以这个结论对1，2正确，因此可考虑采用数学归纳法证明证明 当时，等式显然成立.设时等式成立，即设下面要证时成立，此时有由数学归纳法原理可得，对正整数，有成立例2 设是阶方阵，证明：（

42、1）若，则；（2）若，则证明 （1）因为，所以，由矩阵秩的性质得另一方面，由矩阵秩的性质又可得故（2）因为，所以，由矩阵秩的性质得另一方面，由矩阵秩的性质又可得故注 关于矩阵秩的证明，常见思路如下：思路一，；思路二，例3 求阶矩阵的秩 分析 思路一：先用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后再讨论参数的取值，确定矩阵的秩思路二：先求出，然后令求出参数的值，最后再根据的取值情况确定矩阵的秩解法一 因为所以，1）时，2）时，3）时，解法二 因为所以1）时，故2）时，故3）时，故注 （1）初等变换不改变矩阵的秩（2）阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数例4 求下列矩阵的逆矩阵分析 常用求逆矩阵的方法有两种，一

43、是利用公式求逆矩阵，二是利用初等变换求逆矩阵，前者常常用于低阶矩阵，后者多用于高阶矩阵.解 （1）利用公式求解因为 所以 可逆，又因为于是.解 （2）利用初等变换求解因为所以注：用公式求方阵的逆矩阵时，应注意的行列位置；用初等变换求方阵的逆矩阵时，应注意并排成时，用矩阵的行初等变换求解，若排成竖排时，应用矩阵的列初等变换求解例5 设三阶方阵满足关系式，且，求矩阵.分析由关系式中，已知求，可类似于中学数学里解一元一次方程一样，将看成未知数，其余当作已知数进行求解 解 由 得因为 可逆，且所以显然可逆.于是又因为 所以例6设都是可逆矩阵，证明可逆，并求.分析 为了证明可逆，要充分利用的可逆性，因此

44、要设法把和式化为及其逆矩阵的乘积形式.证明 由于由于可逆,所以可逆，且注 （1）若将上式用代替，则可得这时要求矩阵，均可逆.（2）由可逆不能推出可逆，例，则显然可逆，而不可逆（3）例7设阶矩阵为对称矩阵，为反对称矩阵. 证明：为对称矩阵的充分必要条件是.分析为对称矩阵、为反对称矩阵的定义为，再注意矩阵转置乘积性质就容易得证.证明 必要性：设为对称矩阵，则因为所以于是，即充分性：设，则，故为对称矩阵. 4、练习：1. 设矩阵满足关系式，其中，求矩阵.2. 设，3.已知其中，求.4.已知，求（为正整数）.5. 设，求. 6设三阶矩阵问满足什么条件时，的伴随矩阵的秩等于1三、 证明题1设为阶矩阵，且

45、为对称阵，证明也是对称矩阵.2设为阶非零矩阵，为的伴随矩阵，且，证明.第三章 向量与向量空间第一讲 维向量及其运算、线性组合与线性表示教 学 目 的：1.理解维向量的定义，掌握维向量的计算及性质。2.掌握向量的线性组合与线性表示的概念，了解并会用线性表示的判别法。教学重点与难点：1.有限维向量与矩阵的关系2.线性表示的判别法。教学计划时数：2学时教 学 过 程：一、维向量的定义定义1：个有序数组成的数组称为维向量，数称为该向量的第个分量维向量可写成：或，前者称为维列向量，后者称为维行向量维列向量可看作是1矩阵，而维行向量可看作是1矩阵，因此维列（行）向量的转置是维行（列）向量可见，行向量理论与

46、列向量理论是平行的，把有关列（行）向量的结论中的列（行）改为行（列），就得到行（列）向量的相应结论为叙述方便，若无特别说明，本书所讨论的向量都是列向量常用小写希腊字母 表示维向量，用小写拉丁字母， 表示维向量的分量如维向量=，或=附：分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量本书中若无特别说明，所讨论的向量都是实向量向量的一些相关概念（1）零向量：分量全是零的向量，称为零向量，记作0（2）负向量：向量称为向量=的负向量，记作 -（3）维单位坐标向量：向量叫做维单位坐标向量（4）向量相等：设向量=，=，若，则称向量与相等，记作注意：两个向量只有维数相同时才有相等或不相等的概念（5

47、）向量组：由若干个同维数的向量组成的集合，称为向量组例如一个矩阵的全体列向量就是由个维列向量组成的向量组；反之，若给定个维列向量组成的向量组，则以这些向量为列，就得到一个矩阵因此，含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应二、维向量的运算1向量的加法定义2：设向量=，=，则向量称为向量与的和，记作，即=利用向量的加法及负向量，可定义向量的减法：=注：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算1向量的数乘定义3：设向量=，是一个数，则向量称为数与向量的乘积，简称数乘，记作，即=向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算向量的加法与数乘运算是矩阵的加法与数乘运算的特例，因此向量的两种运算满足以下