七级数学培优数与形的第一次联姻

1、专题5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合， 是一种重要的数学思想.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要 表达在一下几个方面：1利用数轴能形象地表示有理数；2利用数轴能直观地解释相反数；3.利用数轴比拟有理数的大小；4 利用数轴解决与绝对值相关的问题.例题与求解【例1】 数轴上有 A, B两点，A, B之间的距离为1，点A与原点0的距离为3，那么所有满足 条件的点B与原点0的距离

2、之和等于 .北京市“迎春杯竞赛试题 解题思路：确定A, B在数轴上的位置，求出 A, B两点所表示的有理数.【例2】 在数轴上和有理数 a,b, C对应的点的位置如以下图.有下面四个结论: abc 0， a b |b c ac ,(a b)(b c)(c a)0，a 1 bc,其中，正确的结论有丨个.A. 4B. 3C. 2D. 1aibJ-101“希望杯邀请赛试题解题思路：从数轴上得到a10 b c 1，再对代数式进行逐以一判断.【例3】如以下图，数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0，且C是AB的中点.如果 |a b| |a 2c b 2c a b 2c0，试确定原点O的大致位置.

3、ACBil.abca b解题思路：从化简等式入手，而 c是解题的关键.2【例4】1阅读下面材料:点A, B在数轴上分别表示实数a,b, A B两点之间的距离表示为AB 当代B两点中有一点在原点时，当A、B两点都不在原点时， 如图 2，点 A、B都在原点的右边 |AB| = |OB| - | OA| = | b| - |a| = b a = | a-b| ; 如图3，点A、B都在原点的左边，| AB| = | OB| - | OA| = | b| - | a| = b-a = | a-b| ;如图4，点A、 B 在原点的两边，| AB| = |OB| - |OA| = | b| - | a| =

4、- b 一 a= | a- b| ;综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB| = |a-b| 2答复以下问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是 ； 数轴上表示 x和一1的两点A和B之间的距离是 ,如果| AB| = 2,那么x为; 当代数式|x+ 1|十|x - 2|取最小值时 ，相应的x的取值范围是 求x 1x 2x 3x 1997的最小值-f (0)Bi.a图1b*0 JA1I.0a图2b*iA0iib图3口00Ai亠b0图4a江苏省南京市中考试题解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式a b所表示的意义，

5、来答复所提出的具体问题.【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15, 7, 11, 3 , 14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小， 二小给三小,三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？湖北省荆州市竞赛试题解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来.解题的关键是怎样将实际问题转化为求y x a1 x a2 ? x an的最小值.【例6】如图，A是数轴上表示一30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A, B, C在数轴上同时向正方向运动.点A运动的速

6、度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒.设三个点运动的时间为 t秒.1当t为何值时，线段 AC- 6单位长度？2t丰5时，设线段OA的中点为P,线段0B的中点为M，线段0C的中点为N，求2PM PN= 2时t 的值.湖北省荆州市竞赛试题A0B <解题思路：1代B,C三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两种情况来分析求解.2先将P,M,N三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点N左侧，那么分为“点P在M , N左边，“点P在M , N之间，“点P在M , N右边三种情况来求解.能力训练A级1. 数轴上表示负数有理数 m的点是点M ,那么

7、在数轴上与点 M相距m个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是 .江苏省竞赛试题2 .如果数轴上点 A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么 代B两点的距离为 .1 ''3点A, B分别是数 3 ,在数轴上对应的点，使线段 AB沿数轴向右移动到 A B的中点对应数3,2那么点A'对应的数是，点A移动的距离是.“希望杯邀请赛试题4a 0,b 0且a b 0，那么有理数a,b, a, b的大小关系是 用“v号连接北京市“迎春杯竞赛试题15.在数轴上任取一条长度为 1999 -的线段，那么此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是.9A. 1998B. 1999C. 2

8、000D. 2001重庆市竞赛试题6如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在b,b 2a, a b, b a中，负数的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4“祖冲之邀请赛试题a0Jb7 .有理数a, b,c在数轴上的位置如以下图,A. 2a3b cB. 3bcC.b11 I111a 01bC8.如以下图，在数轴上有六个，且AB是丨.A EC D £ Fii11、-511A. 1B. 0C.1D. 2式子abb c化简结果为.BCD. cCDDE EF，那么与点C所表示的数最接近的整数“希望杯邀请赛试题9. a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如以下图:11 Lil-db 0ac且

9、 6a 6b 3c 4d 6，求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值.10 电子跳蚤落在数轴上的某点Ko，第一步从Ko向左挑一个单位到 Ki，第二步由Ki向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，按以上规律跳了 100步时，电子跳蚤落在数轴上的点Kioo所表示的数恰是 19.94.那么电子跳蚤的初始位置 Ko点所表示的数是.11.如图， A, B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20, B点对应的数为100.1求过A, B中点M对应的数.2现有一只电子蚂蚁 P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个

10、单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C点相遇，求C点对应的数.3假设当电子蚂蚁 P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好 从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动， 设两只电子蚂蚁在数轴上的 D点相遇，求D点对应的数.A1B1y-201001 有理数a, b,c在数轴上的位置如以下图:1 1 1111>b a c) c 1那么化简a b b 1 a c 1 c的结果为32. 电影vv哈利波特中小哈利波特穿墙进入“9 站台的镜头如示意图中 M站台，构4思奇妙，给观众留下深刻的印象假设A,B站台分别位于2, - 1处，AN 2NB，那么N站台用类似

11、电影里的方法称为“ 站台?时代学习报?数学文化节试题N1 111M1 j %2 09 103在数轴上，假设 N点与原点0的距离是N点与三0假设对应的点之间的距离的4倍，贝U N点表示的数是.河南省竞赛试题4 .假设a 0, b 0，那么使x a x b a b成立的x的取值范围是 .武汉市选拔赛试题 5如图，直线上有三个不同的点A,B,C，且AB BC，那么，到代B,C三点距离的和最小的点为.AB点外 B线段AC的中点C.线段AC外一点D无穷多个“希望杯邀请赛试题111ABC6点A,A2,A3,，代n为正整数都在数轴上，点在原点 0的左边，且 A0 1,点A2在点A的右边，且A2A2，点A3在

12、点A2的左边，且A3A23，点A在点A3的右边，且A4A34, ?，依照上述规律，点 A2022 , A2022所表示的数分别为A. 2022, 2022 B. 2022, 2022 C. 1004, 1005 D. 1004, 1004福建省泉州市中考试题7设y |x 1 X 1，那么以下四个结论中正确的选项是A. y没有最小值B.只有一个x使y去最小值C.有限个x不止一个使 y去最小值D.有无穷多个x使y取最小值全国初中数学联赛试题8 如图，数轴上标出假设干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A, B,C,D对应的数分别是整数1 1I1 11 11-11 V"ABcDA.A点B.

13、B点C. C点D. D点“新世纪杯9 .x21x 9y 51 y，求x y的最大值和最小值.a,b,c,d，且b 2a 9，那么数轴的原点对应点是.广西初中数学竞赛试题江苏省竞赛试题10.如图，在环形运输线路上有A,B,C,D, E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨.要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只 能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小.求各仓库向其他仓库的调运量.11如图，数轴上标有 2n 1个点，它们对应的整数是n, (n 1), , 2, 1,0,1,2, ,n 2, n 1, n .为了确保从这些点中

14、可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4求n的最小值. 一 * * . « « » -n -(/T-I) -(h-2)-2 d 0 I 2 h-2 /;-l n“华罗庚金杯少年邀请赛试题专题05数与形的第一次联姻例1 12提示：点A表示数为3或3，满足条件的点 B共有4个.例2 B提示：由数轴知 av 1v 0v bv cv 1. abcv 0，故正确；由绝对值的几何意义知正确；a b v 0, b cv 0, c a>0，故a b b c(c a> 0，正确；| a| > 1, 1 bcv 1, | a| > 1 be,不正确

15、.例3原点0在线段AC上.例 4 3, 3, 4 |x+ 1| 1 或3 K xW 2 997 002例5如图，用A，B,C,D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给x1，x2，x3,Xt , X5 台电脑.依题意得：7 +Xrx?= 11+X2 x3= 3 + X3 x =14 +& X5= 15+xjsXr=10.得 x2 = X-! 3, X3 = x1 2, x4 = x1 9, x5 = X-! 5.此题要求 y= | x11 + | X21 + I x3| + | x4|+ IXsI的最小值，依次代入，可得y = IXj+ IX1 3| + | 2| + |

16、X1 9| + |X1 5| .由绝对值几何意乂可知，当X1 = 3时，y有最小值12.此时有 X2 = 0, X3 = 1, Xt = 6, X5 = 2.所以，一小向二小调出 3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出 6台，一小向五小调出 2台，这样调动的电脑总台数最小为 12台.例6 1A, B, C三点在数轴上同时向正方向运动.当点A运动到点C左侧时，线段 AC= 6, 6 + 6t = 30 + 18 + 3t，解得 t = 14.当点A运动到点C右侧时，线段 AC 6, 6t 6 = 30 + 18 + 3t，解得 t = 18.综上可知，t为14或18时，线段AC= 6.(2)

17、当点A, B, C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A, B, C在数轴上表示的数分别为：6t 30, 10 + 3t, 18 + 3t.(3) T P, M , N分别为OA, OB, OC的中点. P, M , N三个点在数轴上表示的数分别为：61 30 , 匹卫,吒卫.且点M始终在点N左侧.2 2 2 假设点 P在 M, N 左边，贝U PM = 10 3t 6t 30 = 20 1 . 5t , PN= 18 3t 6一30 = 24 1 . 5t. 2 2 2 2/ 2PM PN= 2, 220 1 . 5t一 24 1. 5t= 2,.+ 283 假设点 P 在 M , N

18、之间，那么 PM = 6一30 10 3t = 20+ 1 . 5t,2 2PN= 18 3t 630 = 24 1. 5t.2 2/ 2PM PN= 2, 2一 20 + 1 . 5t一 24 1. 5t= 2, t = 44 假设点 P 在 M , N 右边，那么 PM = 6一30 10 31 =- 20+ 1.5t ,PN= 6t 30 18 3t =_ 24 + 1.5t. 2 2 2 2/ 2PM PN= 2, 2一 20 + 1 . 5t一一 24 + 1. 5t= 2, t = 12.但此时PM = 20+ 1 . 5t v 0，所以此情况不成立综上可知,t =竺或44时符合题

19、意.33A级1 . 2m 2. 2 或 83.7 ,4194提示：AB的长为-25155 , A对应的数为3-2227 ,点A移动的距离为1443=理.4. bv av av | b|5. C 6. B 7. C8. C 9.5K100点所表示的有理数分别为10. 30. 06提示：设K°点表示的有理数为x,那么K1 , K2 ,1, x 1 + 2, x 1 + 2 3,，x 1 + 2 3+ 4 一99+ 100.由题意得 x 1 + 2 3+ 4一99+ 100 = 19. 94.20 100 12011. 1M点对应的数为=40 . 2相遇时间为=12秒，C点对应的数为100

20、 1226 4X 6= 28 . 3追击时间为60秒，D点对应的数为260.1 .-2 2. 113. 24或40. 提示：设N点对应的数为x.根据绝对值的几何意义可知|x|= 4|x 30| .对x分情况讨论得出x = 24或x= 40 .4.b w xw a5 . A 6 . C 7 . D 8 . C9.原式化为 |x + 2| + | 1 x| + |y 5| + | 1 + y| = 9 .|x+ 2| + | 1 x| >3，当一2w xw 1 时等号成立；| y 5| +1 1 + y| > 6,当一1w yw 5 时等号成立. x+ y 的最大值=1 + 5 = 6

21、; x+ y 的最小值=一 2 1 = 3.10调运后各仓库的存货量都相等，应为-X 50+ 84+ 80+ 70+ 55+ 45= 64吨.6设A库运往B库XB吨，B库运往C库Xc吨，C库运往D库Xd吨，D库运往E库XE吨，E库运往F库XF吨，F 库运往 A 库 Xa 吨，故有：50 + Xa Xb = 84 + Xb Xc = 80 + Xc Xd = 70 + Xd Xe = 55 +XE XF = 45 + XF XA = 64.所以，Xb=Xa 14,Xc=Xb+ 20 =Xa+ 6, Xd =Xc+ 16= Xa + 22 ,Xe=Xd + 6 =Xa+ 28, Xf =Xe 9 = Xa + 19.假设使调运量最小，那么有 y = | xA | + | xb | + | xc | + | xd | + | xe |