圆锥曲线的切线

1、圆锥曲线的切线问题“方向比努力更重要 ！对于圆锥曲线与直线的位置关系的考查，历来都是比拟综合的。这类题往往集函数、方程、向量、不等式等知识点于一体。 有变量多，关系复杂，运算量大，思维量大等特点。虽说“条 条大路通罗马，但如果解题方向不对，方法笨重，不仅耗时费力，问题得不到解决，而且 极容易打击自己的自信心。 所以方法的选择尤为重要， 这就要求我们通过解一题探索出解一 类题的万用方法。下面通过五个题，简单介绍一下处理“过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线为了方便，简称为圆锥曲线的双切线问题的比拟实用的两种方法。例1、 2022广东卷抛物线 C的顶点为原点，其焦点F 0,C C 0至煩线l :

2、x y 2 0的距离为.设P为直线I上的点,过点P作抛物线C的两条切线2PA, PB ,其中A,B为切点.(I )求抛物线C的方程;(n )当点P X0,y。为直线I上的定点时，求直线AB的方程;(川)当点P在直线I上移动时，求AF BF的最小值径：一是切线用P点表示，联立切线与抛物线 方程思想；二是切线用切点 A、B表示函数思想。再看抛物线方程很容易转化为函数，且直线AB与切点A、B息息相关，所以此题用切点表示切线更为方便快捷!解：(1) x2 4y .2 1 2(n )抛物线C的方程为x2 4y,即y x2,求导得y4设 A Xi,% , B X2,y2其中 y2X2-),那么切线PA,

3、PB的斜率分别为41 i、Xi , X2 ,所以切线PA的方程为y yi2 2XiX 2y 2yi o同理可得切线PB的方程为x?xXl X22yXi2y2因为切线PA, PB均过点P Xo,yo ,所以XiXo2yo2yi0,屜Xo2yo2Xi2y2yi ,即所以 Xi, yi , X2,y2 为方程 XoX 2y° 2y所以直线AB的方程为xox 2y 2yo 0.(川)由抛物线定义可知o的两组解AFyi 1, BFy2 i,所以AF BFyii y2 iyiy2yiy2ixox 2y 2yo o联立方程 2,消去x整理得X2 4y由一元二次方程根与系数的关系可得2yo2Xoyo

4、2o所以又点所以AF BFP Xo,yo2yo2Xoyi y2yiy2在直线I上，所以Xo2yo所以当yo练习i、椭圆22xy2.2abyiy2iyo2yo2,2Xo2Xo2yo, yi y2yo2i 2yo 2yo 5 2 y°AF BF取得最小值，且最小值为i (a* b* o)的一个焦点为F为i,o ,2yo椭圆的短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形i求椭圆方程2Q xo,yo丨是椭圆上任一点，求以Q点为切点的切线方程3设P是直线x=4上一动点，过 P作椭圆的两切线 PA PB 求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标。2 2工匕143色坐143设P(4,t),切点A(Xi,

5、yi),B(X2, y2),那么以A、B为切点的椭圆的切线方程分别为： 空+红=1,込+堂=1,又p点在两切线上，所以：4343药+址=1,坐+地=1所以直线AB的方程为：4343鱼+如=1即:丄y (X 1)，所以直线AB恒过定点(1, o)433练习2、A B、C是长轴为4的椭圆E焦点在X轴上的三点，点 A是长轴的右端点，BC过椭圆中心O,且AC BC o, BC2 AC1求椭圆E的方程2在椭圆E上是否存2 2在Q使得QB QA 2?假设存在，有几个不必求出 Q的坐标3、过椭圆E上异于其顶点的任一点 P作圆O: x2 y2 4的两切线，切点分别为 M N,假设直线MN在31 1x轴、y轴上

6、的截距分别为 m n,求证： 2 为定值。3m n分析:第(2)问用化归思想，解决这题的关键要理清 Q点的来源，一是来源于椭圆，二是来源2于QB2QA2?，这个式子表示的什么曲线弄清楚了，问题就解决了。问题实际转化为椭圆与某曲线的交点个数。对于第问，关于圆的问题，用几何法是往往是最简洁的。2(吟3(2)两个法一：设P(x0,y0),M (x1,y1)> N(x2, y2),那么以M、N为切点的圆的切线方程分别为:4xx1 yy1= ，XX2 yy231,又P点在两切线上，所以:4Wo 屮* 3必沧 y2y°法二：设P(x0, y0),由题意:44,所以直线 MN方程为：x0x

7、+ y0y 33M、N、0、P四点共圆，且以OP为直径，其方程为(x-Xo)x (y yo)y 0,即：2 x2yXX。 yy。0,有M、N在圆x2XX0yy。Z令y0,那么m ;令x33x0221,所以12!3 (定值)y。443mn43y2-上，所以直线MN的方程为：30,那么门=丄,又P ( x0, y0)在椭圆上，所以:3y027 1(a b 0)的一个焦点为C、5,0)，离心率b2 x 例2: (2022广东卷)、椭圆C：- a1求椭圆C的标准方程;2假设动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程分析：这题同样是研究圆锥曲线双切线问题，但与

8、上面几个题又有所不同，上面几个题侧重于两切点的关系，且后续局部是研究由两切点产生的直线问题。而此题更侧重于两切线的关系，讨论的是两垂直切线的交点问题，所以再用上面的方法就不太好操作了。我们还是顺从呢？你懂的2当两条切线的斜率存在时，设过P(xo,y°)点的切线为y y° k xXoy yo k x联立 22x y94X。消去4 9k218k yo kxo x 9 y°2kxo36 0判别式 =182k2yokxo36 4 9k2yo2kxo4化简得yo kxo9k22 o，即Xo9 k22x°yok2yo4依题意得k1 k2yQ 4x 9当两条切线的斜率

9、有一条不存在时，结合图像得P是直线x3,x3,y2,y的四个交点，也满足xo y； 13，故点P的轨迹方程为x2y2 132x 练习、如图6，设点Fd c,o、F2c,0分别是椭圆c ：-ya Pf1 Pf2最小值为1(a的左、右焦点，p为椭圆c上任意一点，且1求椭圆C的方程；2假设动直线l1,l2均与椭圆C相切,且I1 / l 2，试探究在1)x轴上是图6否存在定点B，点B到l1,l2的距离之积恒为1 ?假设存在，请求出点 B坐标;假设不存在，请说明理由.分析：这个题第2丨问似乎比高考题更为复杂，两切线不是相交，而是平行，还得考虑特殊情形：重合。而且参数多，参数之间的关系不是一两句话就能说清

10、楚的别急，套路就是出路，选好参数，设出方程，联立方程，寻找关系，消参按套路来，准没错！2解：1 y2122【当直线l1 ,l2斜率存在时，设其方程为y kx m, y kx n把l1的方程代入椭圆方程得 1 2k2x2 4mkx 2m2 2 0直线 li与椭圆 C 相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化简得m2 1 2k2 同理，n21 2k2 m2 n2，假设 m n，那么 1仆12重合，不合题意， m n设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,12的距离之积为1,那么|kf | |k m| 1，即 |k2t2 m21 k21.k 1, k 1把1 2k2 m2代入并去绝对值整理，k2(t2 3) 2或者k2(t2 1