圆锥曲线系统复习

1、圆锥曲线系统复习题、求离心率的值1. 设椭圆的两个焦点分别为F、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,假设F1PF2为等腰直角 三角形，求离心率e?22椭圆右1(a b 0),左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BF x轴，直线AE交Y轴于点P,假设AP= 2PB,求e?2 23双曲线X2占1(a 0,b 0)左右焦点分别为F,、FF, a bP(0,2b)是正三角形的在个顶点，那么双曲线的e=?4在 ABC中, A吐BC,osB7,18 假设以A B为焦点的椭圆经过点, 求e?2 25双曲线X2 y2 1(a 0 b 0左右焦点分别为a bF、F假设双曲线上存在点A使FA冃0, 且

2、AF =<3AF , 求e?8如图：以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD且ABCD假设双曲线C以A B为焦点，且过C D两点，那么2 2X y6.A、A、Bp B2为椭圆 p 1(a b 0)a b的四个顶点,右焦点为F,直线AB2与直线B1F 相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线 段OT的中点，求e?7假设点P为共焦点的椭園和双曲线 的一个交点,F、為分别是它们的左 右焦点。设椭圆离心率为双曲线 离心率为假设PF PF=0, 求e-2 eb2 ?当梯形的周长最2 210设补F2分别是双曲线冷 爲1的左、右焦点。a b假设双曲线上存在点A使FAF=90，且AF =3AF , 那么双曲

3、线的离心率为 .9. 如图：以AB为直径的圆有一内接 梯形ABCD且ABIICD。假设椭圆G 以A B为焦点，且过C、D两点，那么12.如图：以AB为直径的圆有一内接 梯形ABCD,且AB |CDb假设椭圆 C1 以A、B为焦点，且过 C、D两点，那么 当梯形的面积最大时，求椭圆的e?D.C2 211.双曲线G ：笃 冷1的左准线为 <，左焦点a b和右焦点分别为F1> F2;抛物线C2的准线为',焦点为氐与C2的一个交点为M那么囤=|mfJ |mf2| .二已求离心率的是椭圆的两个焦点，满 足MF1 MF2=o的点m总在椭圆内部,那么e的范围?2F,、F2是椭圆 X2y2

4、1(a b 0)a b左右焦点，假设在其右准线上存在一点P, 使得线段PF的中垂线过点氐求e的范围？3设(0,)，求二次曲线2cot y2 tan 1 4的离心率的范围？24. 设双曲线X2 y21(a 0)与直线a2x y 1 0相交于不同的两点A、B,求双曲线离心率的范围？2 25. 双曲线 冷 耸 1(a0, b 0)左右焦a b点分别为Fq F2,假设双曲线上存在点P,有PF1 = 3 PF2，求e的范围？2 26双曲线y2 1(a 0,b 0)左右焦点分别为、F,假设双a b曲线上存在点，且af| =4ae|，求此双曲线的最大值？2 27设F、F2分别是双曲线2 yr 1的左、右焦点

5、。a b假设双曲线上存在点A且|AF1 =2 AF，那么双曲线 的离心率的取值范围为29设a 1那么双曲线X2a离心率的取值范围为(a 1)22 28设h、F2分别是双曲线X2 y2 1的左、右 a b焦点。p为双曲线上任意一点，假设PF2的最小|pfJ值为8a,贝V双曲线的离心率的取值范围为_10. 设椭圆的两个焦点为 F1> F2,过F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P,假设F1PF>为等腰直角三角形，那么椭圆 的离心率为三、面积问题21.椭圆X y2 1的左、右焦点为Ft F2,P4在椭圆上，当F1PF2W面积为1时，那么PF pf22椭圆的短轴长为2返 中心为原点0,对应于焦

6、 点F (c, 0)( c>0)的准线f与X轴相交于点A, OA =3 FA，过A勺直线与椭圆交于P、Q两点。(1) 求椭圆的方程及离心率；(2) 假设直线PC的斜率为"，求FPQ的面积。33. 椭圆的中心为原点0,焦点在X轴上， 离心率e=£,过点C ( 1, 0)的直线 片交椭圆于A B两点，且满足CA=2CB。 (1请用直线的斜率k(k 0)表示OAB 的面积；(2 )当OAB的面积取得最大值时，求 椭圆的方程。5.P、Q M N四点都在曲线 C:2x2 茶1上，F为椭圆y轴正半轴 上的焦点，且 PF与FQ共线，MF '与 FN共线，pF MF = 0,

7、求四边形 PMQN的面积的范围。x6.设椭圆 22 yb21(a0)的焦点分别为Fi( 1,0), F2 (1,0),右准线 交x轴于点 A,且AF1=2 AF2.(1)试求椭圆的方程；过F1, F2分别作互相垂直的两直线 与椭圆分别交于D、E、M N四点，试求四边形 DMEF面积的最大值和最小值。29直线y二kx+b与椭圆丁 y2 1交 于A B两点，记AOB勺面积为S (1求在k 0,0 b 1的条件下，S的最大值；(2)当|AB=2, S=1时，求直线 AB勺方程。10.点 A(0,1)、B(0,-1),P 是一个动1点，且直线PA、PB的斜率之积为-。2(1求动点P的轨迹C的方程；(2

8、)设Q(2,0)，过点(一1,0)的直线f交C于M N两点，QM的面积记为S， 假设对满足条件的任意直线匚不等式Stan MQN恒成立，求的最小值。三、向量的数量积与角的问题2.椭圆x2ay2b21(a b0)的左、右顶21.椭圆C：x y21,斜率为k4的直线f'过点M (4,0)与椭圆C交于 A、B两点，当 AOB(其中O为坐 标原点)为锐角时，求 k的范围。点为A、B,椭圆长半轴的长等于焦距且x=4为它的右准线(1)求椭圆的方程 ；设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，假设直线AP、BP分别与椭圆相 交于异于 A、B的点M N,证明点 B在 以MN为直径的圆内。23.曲线C

9、：X +y 2 4. 椭圆X2 y21(a b 0)的长轴长 a b 为4，A为椭圆的右顶点，B(为过椭圆中=1,其右准线与2x轴交于点D,过D的直线交C于 PQ, 当POQ为锐角时，求 PQ勺斜率K 的取值范围。四、弦中点问题2 21.椭圆y 1的左焦点为F,求过点32F的弦的中点M的轨迹方程。2双曲线x心的弦，且满足AC BC 0,AB V5|AC y2 2的右焦点为F,过点F的动直 线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标是(1,0)。(1) 证明：ACB为常数；(2) 假设动点M满足CM=CA+CB+CO(其中C为坐标原点)，求点M勺轨迹方程。3.双曲线X2 y(1) 求椭圆的标准方程；

10、 (2) 设P, C为椭圆上的两个动点，假设线段 2的左右焦点分别 为F、巧，过点F2的动直线与双曲线相交 于,A B 两'点。(1假设动点M满足F, M=F1A+ F.B+FO (其中 C为坐标原点)，求点M勺轨迹方程；(2)在X轴上是否存在定点C,使CACB为 常数？假设存在，求出点C勺坐标，假设不存 在，请说明理由。5. 平面上定点F(0,-2 2)和定直线m: yPC的中点M在直线x+y=C上，请问：是否总 存在实数，使得PQ= AB?并说明理由。 2,P为该平面上一动点作PQ m,垂足为Q2 2 2 2a PFPQ,b PFPQ, 且a b.33(1问点P在什么曲线上并求出该

11、曲线的方程(2)试问是否存在直线,使I与所求轨迹交于不同的两点M、N,且线段MN的中点恰在直线1 上?2假设存在，求出I的倾斜角的取值范围。5.定点A B的坐标分别为A(-2,0)、B(2,0), 1 .点N与点M满足条件：AN =2,AM=(AB+AN。2(1)求点M勺轨迹方程；以A B为焦点的椭圆与过点A勺直线咬于P、C两点，线段PQ勺中点至叹轴的距离为23,5 且直线f与点M的轨迹相切，求椭圆的方程。6在以O为原点的直角坐标系中，点 A ( 4, 3) 为OAB勺直角顶点， AB= 2OA，且点B的 纵坐标大于零。(1求向量AB的坐标；(2) 求圆x2 6x y2 2y 0关于直线OB对

12、称的 圆的方程；(3) 设直线以AB为方向向量且过点(0, a),问x2是否存在实数a,使得椭圆y2 1上有两个16不同的点关于直线 【对称.存在，求出a的范围，不 存在说明理由.五、圆锥曲线中的正余弦定理的应用1.点A(1, 0)、B (1, 0)和动 点P满足：APB=2，且存在正常数m 使得 PA PB cos m(1求动点P的轨迹方程；)设直线:y x 1与曲线C相交于两 点E、F,且与y轴的交点为B 假设DE (2 3)DF求耐勺值。2 A( 1,0), B(1,0)和动点 P满足:APB 2 ,且存在正常数 m(0<m<1) 使得A |PB|sin2m.(1) 求动点P

13、的轨迹C的方程；(2) 过点B作直线交双曲线 C右支于 m、n两点，试确定m勺范围，使OM ON = 0,其中O为坐标原点。3A( 2,0),B(2,0)和动点P满足：APB 2 ,且存在 正常数m使得PA PBsin4抛物线C: y=2x2,直线y kx 2 交于A B两点，M是线段AB的中点， 过M作x轴的垂线交C于点No 证明：抛物线C在点N处的切线 与AB平行； 是否存在实数k使NA NB=0,假设存 在，求k的值；假设不存在，说明理由。2.(1求动点P的轨迹的方程；(2)过点B的直线£与轨迹Q交于两点M N,试问X轴上是 否存在定点C,使CM CN为常数，假设存在，求出点C

14、勺 坐标；假设不存在，说明理由。2 24双曲线笃占1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为a bF1( g0),F2(g0)，假设双曲线上存在一点使得SinPFF -,sin PF>Fi c 求该双曲线的离心率的取值范围。5椭圆2 + y2 1- 0b 0)的左、右焦点分别为a bF( c0)£(c0),假设椭圆上存在一使得 a sirPFFcsinPFR求该椭圆的离心率的取值范围。6点A(T,0)、B (1, 0)和动点满足：APB=2 , 且存在正常数m使得PAPBco? m(i求动点p勺轨迹方程；设直线:y x 1与曲线湘交于两点E、F,且与轴的 交点为D 假设DE (2

15、.3)DF求m的值。六、抛物线及切线问题1.点P是抛物线C： x2 2Py(P 0) 上的一个动点，F为其焦点，过P的切线 为'；，过焦点F且垂直于切线h的直线为，求1与【2垂足G勺勺轨迹。2. 过定点P (1，4)作直线交抛物 线C: y=2x?于A B两点，过A B分 别作抛物线C的切线交点于M，求 点M的轨迹方程。3.抛物线y=x2的动弦AB所在 的直线与圆x2 y21相切，分别过点A、B的抛物线的 两条切线相交于点M，求点M的轨迹方程。5在平面直角坐标系中，过y轴正方向上一点C(O,c)任作一直线，与抛物线y=x相交于A B 两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB 和直线&

16、#163;： y c交于点P、Q。(1假设OA OB=2,求c的值；(2) 假设P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；(3) 试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。6. 设抛物线方程为x22 py( p 0), M为直线y 2p上任意一点，过M引抛物线的切线 切点分别为A、Bo(1) 求证：A、M B三点的横坐标成等差数列;(2) 当M点的坐标为(2, -2p )时，AB= 4 10,求此时抛物线的方程。七、曲线弦中点及弦的垂直平分线问题2 21在双曲线' 1的一支上有三点A(x1, y,),12 13B(x2,6),C(x3, y3),它们与点F(0,5)的距离成等 差数列

17、。(1求y, y3的值；3在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线：x=-1 , 点P在直线'上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ FP,PQ <(1) 求动点Q的轨迹方程；(2) 记Q的轨迹方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E勺弦AB CD设AB CD勺中点分别为M N。求证：直线M必过定点R(3,0).(2)证明：线段AC勺垂直平分线经过某一定点, 并求此点的坐标。2.中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 .'3.(1)求双曲线C的方程； 假设直线E： y二kx+，2与双曲线C左支 交于A、B两点，求k的取值范围； 在(2)的条件下，线段

18、 AB的垂直 平分线4与y轴交于M (0, b),求b的取 值范围。4.中心在原点的双曲线C的一个焦点是F( 3,0), 一条渐近线的方程是V5x 2y 0.(1) 求双曲线C的方程；(2) 假设以k(k 0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点N、M且线段MN勺垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积81为一，求k的取值范围。2八、曲线中证明直线过定点问题1曲线C： y2 4x,A B C, O为坐标 原点，且OA OB求证：直线AB±定点。2曲线C: x2 8y, A B C，O为坐标 原点，且OA OB 求证：直线AB过定点。3曲线C： y2 4Px,A、B C，O为坐标 原点，且OA Ob,OOM 屁m ab求点m 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。4.