西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题 矩阵的相似变换

1、例例；211121112A求下列矩阵的特征值与特征向量：求下列矩阵的特征值与特征向量：1)1)第一章第一章 矩阵的相似变换矩阵的相似变换 1 基本概念基本概念 解解 )det(AI 2111211123231rrr )2(r11341)3(2)3)(2)(1(A的特征值为的特征值为3, 2,2(302对于对于，11求解求解，0 xAI)(由于由于111111111AI020111000000010101同解方程组为同解方程组为，0231xxx基础解系为基础解系为T) 1, 0, 1(故对应故对应11的所有特征向量为的所有特征向量为T1) 1, 0, 1(k)0(1k对

2、于对于，22求解求解，0 xAI)2(由于由于0111011102AI000110101同解方程组为同解方程组为，3231xxxx 特征向量为特征向量为；T) 1, 1, 1( 对于对于，33求解求解，0 xAI)3(由于由于1111111113AI000100011同解方程组为同解方程组为，0321xxx 特征向量为特征向量为。T)0, 1, 1(2)2)；211011013A解解 )det(AI 2110110131113)2(A的特征值为的特征值为2321求解求解，0 xAI)2(由于由于3)2(基础解系为基础解系为TT) 1, 0, 0(,)0, 1, 1(对应对应2的所有特征向量为的

3、所有特征向量为T2T1) 1, 0, 0()0, 1, 1(kk21,(kk不全为不全为0) 0110110112AI同解方程组为同解方程组为3210 xxx0000000113)3)。1111111111111111A 解解 )det(AI 11111111111111114342rrrr11112200202011111131)2(23)2)(2(A的特征值为的特征值为2, 243213424cccc1111020000203111对于对于，21求解求解，0 xAI)2(由于由于31111311113111132AI同解方程组为同解方程组为 434241,xxxxxx基础解系为基础解系为T

4、) 1, 1, 1, 1(对应对应21的全部特征向量为的全部特征向量为T1) 1, 1, 1, 1(k)0(1k0000110010101001对于对于，2432求解求解0,xAI)2(由于由于11111111111111112AI同解方程组为同解方程组为 4321xxxx即对应即对应2有有3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量TTT) 1, 0, 0, 1 (,)0, 1, 0, 1 (,)0, 0, 1, 1 (0000000000001111全部特征向量为全部特征向量为T4T3T2) 1, 0, 0, 1 ()0, 1, 0, 1 ()0, 0, 1, 1 (kkk432,(kkk不

5、全为不全为0) 例例；211121112A下列矩阵是否可对角化？下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出若可以，试求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵：相似变换矩阵和相应的对角矩阵：1)1)解解)3)(2)(1()det(AIA的特征值为的特征值为, 11, 2233因为因为A的特征值互异，的特征值互异， 所以所以A可对角化。可对角化。又对应的特征向量分别为又对应的特征向量分别为可求得可求得2 相似对角化相似对角化 ，1011p，1112p0113p故相似变换阵故相似变换阵，011110111P使得使得3211APP2)2)；211011013A解解3)2()det(AI所以所以A的特征值为的特征值为

6、 2321对应三重特征值对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量，T)0, 1, 1(T) 1, 0, 0(故故A不可对角化。不可对角化。可求得可求得3)3)。1111111111111111A解解3)2)(2()det(AI，232124对应三重特征值对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量，T)0, 0, 1, 1 (，T)0, 1, 0, 1 (T) 1, 0, 0, 1 (故故A可对角化。可对角化。又对应又对应24的特征向量为的特征向量为，T) 1, 1, 1, 1(故相似变换阵故相似变换阵可求得可求得所以所以A的特征值为的特征值为 11

7、00101010011111P使得使得 22221APP例例，211121112A试求试求。100A解解， APP1其中其中，011110111P321 于是于是100A1001)(PP 1100PP 已知已知 可求得可求得)()(111PPPPPP 01111011110010010032110111101110010010010010010010010010010010010010022121322323221321例例3213dd3212dd3211dd222xxxxxxxxxxxxttt解解，321xxxx，3dd2dd1ddddxxxttttx211121112A求解一阶线性常系数微

8、分方程组求解一阶线性常系数微分方程组令令则微分方程组可写成矩阵形式则微分方程组可写成矩阵形式 Axxtdd可求得可求得，011110111P使得使得 3211APP令令，Pyx 其中其中 。T321),(yyyy注意到注意到 ，ttddd)d(yPPy代人前一式得代人前一式得，APyyPtdd即即 ，yy tdd写成分量形式为写成分量形式为，11ddyyt，22dd2yyt33dd3yyt解之得解之得 ,e11tcy ,e222tcy tcy333e故得故得321xxx321yyyPtttttttccccccc221332233221eeeeeee321,(ccc 任意任意) ) 例例；211

9、011013A解解3)2()det(AI所以所以A的特征值为的特征值为 2321 又对应又对应2有有2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量TT) 1, 0, 0(,)0, 1, 1(求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形：标准形：1) 1) 可求得可求得3 Jordan 标准形介绍标准形介绍 故故A的的Jordan标准形为标准形为2122J( (或或)2212J 2) 2) 3000212111221112A解解)3() 1()det(3AI所以所以A的特征值为的特征值为 , 1321可求得可求得34故故A的的Jordan标准形为标准形为311111J( (或或 )111113J又对应

10、又对应1只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量T)0, 1, 1, 0(上述方法的缺点是，上述方法的缺点是，当当A的某个特征值的重数为的某个特征值的重数为4或大于或大于4时，时， 其对应的其对应的Jordan块可能无法确定。块可能无法确定。 例例 1200001000001000001000201A解解 求求 的的Jordan标准形。标准形。 注注5) 1()det(AI可求得可求得且且 ，2)rank( AI此时此时A对应对应5重特征值重特征值1有有3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，直接按特征向量法无法确定直接按特征向量法无法确定A的的Jordan标准形。标准形。设

11、设，1000102011A，12012A则则。21AOOAA31) 1()det(AI可求得可求得且且 ，1)rank(1 AI所以所以A1和和A2的的Jordan标准形分别为标准形分别为22) 1()det(AI且且 ，1)rank(2 AI，11111J1112J故故A的的Jordan标准形为标准形为21JJJ11111111439)(23468f)(f求用求用)(g所得的商式和余式。所得的商式和余式。375)(23g除除例例 已知多项式已知多项式)()23181395()(2345gf70107322解解 可求得可求得故以故以 g ()除除 f () 所得的所得的商式为商式为)23181

12、395()(2345q余余式为式为7010732)(2r例例；211011013A解解AI 用初等变换化为用初等变换化为Smith求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形：标准形：1)1)第一步：第一步：对对标准形：标准形：AI 21101101312c) 1(c221001044322321rrr )3(r2200010)2(02) 1(rcc1322000010)2(0221rr2000)2(000123232ccrr2)2(00020001从而从而A的不变因子为的不变因子为, 1)(1d, 2)(2d23)2()(d第二步：第二步：( (此处是此处是)(2d和和)(3d分解成关于分解成

13、关于 的不同的的不同的一次因式方幂的乘积，一次因式方幂的乘积，本题中本题中A的初等因子为的初等因子为 2和和2)2(再把再把A的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子并分别写出这些方幂并分别写出这些方幂( (相同的按出现的次数计数相同的按出现的次数计数) )， 称之为称之为A的的初等因子，初等因子，第三步：第三步：iri)(作出作出irJordan块块 对每个初等因子对每个初等因子阶阶iirriii11所有初等因子对应的所有初等因子对应的Jordan块构成的块构成的Jordan矩阵矩阵 J即是即是A的的Jordan标准形。标准形。 本题中本题中A的的Jordan标准形为标准形为21

14、22J2) 2) 。422633211A解解 AI 4226332112223)2(01021312ccr2rr )3(r202)2(00012321c2cc) 1(c32c2c002200012) 1(rr2r232000)2(0001 )2(0000001A的不变因子为的不变因子为, 1)(1d,)(2d)2()(3dA的初等因子为的初等因子为 ,2A的的Jordan标准形为标准形为 200J3332ccrr例例 已知一个已知一个12阶矩阵的不变因子是阶矩阵的不变因子是， 91, 1, 1，2) 1(，)2() 1(2222)3)(2() 1(求求A的的Jordan标准形。标准形。解解 A

15、的初等因子为的初等因子为 ，2) 1(，2) 1(，)2(，2) 1()2(，2i)3(2i)3(故故A的的Jordan标准形为：标准形为：i31i3i31i321112111111J例例；211011013A解解 211011013AI求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形：标准形：1)1) 一阶子式共有一阶子式共有9个，个，；1)(1D显然显然二阶子式共有二阶子式共有9CC2323个：个： ，2)2(1113，00103，00101，21113，)2)(3(2103，)2(2101，)2(1111，22101)2)(1(2101所以所以 2)(2D又又，3)2()det(AI 故故 3

16、3)2()(D从而从而A的不变因子为的不变因子为 ，1)()(11Dd，2)()()(122DDd2233)2()()()(DDdA的初等因子为的初等因子为 ，22)2(A的的Jordan标准形为标准形为 2122J2) 2) ；3000212111221112A解解 3000212111221112AI其中三阶子式其中三阶子式，3) 1(121122112)52)(3(221122112故故 ，1)(3D从而从而 。1)()(21DD又有又有)3() 1()det(3AI所以所以 ) 3() 1()(34DA的不变因子为的不变因子为，1)()()(321ddd) 3() 1()(34dA的初

17、等因子为的初等因子为 ,) 1(33A的的Jordan标准形为标准形为 311111J3)3)306332100000010000001000000100000010A解解 AI3063321000001000001000001000001中有一个中有一个5阶子式阶子式 5) 1(11111所以所以1)()(51DD又又)(6D)det(AI 23) 1)(2() 1(A的不变因子为的不变因子为 ，1)()(51dd236) 1)(2() 1()(dA的初等因子为的初等因子为 23) 1(),2(,) 1(A的的Jordan标准形为标准形为111211111J例例100021003210432

18、1A 解解 AI100021003210432144) 1()det()(AIDAI 中中3阶子式阶子式求矩阵求矩阵的的Jordan标准形。标准形。) 1(4210321432因为因为)(3D整除所有整除所有3阶子式，且阶子式，且，)()(43DD所以所以1)()()(321DDDA的不变因子为的不变因子为44) 1()(d故故A的的Jordan标准形为标准形为 1111111J，1)()()(321ddd例例3000212111221112A的的Jordan标准形标准形 J 及所用的相似变换阵及所用的相似变换阵 P。解解311111J求矩阵求矩阵已求得已求得A的的Jordan标准形为标准形为

19、设设 ，),(4321ppppP 即按列分块，即按列分块，则由则由JAPP1 即即PJAP 得得)3,(),(4322114321ppppppApApApAp即即 44323212113pApppApppAppAp也即也即 0)3()()()(323121pAIppAIppAIpAI0由上式可见，由上式可见，41, pp分别是特征值分别是特征值1和和3对应的对应的2p可利用已求出的可利用已求出的1p求解非齐次方程组求解非齐次方程组1)(pxAI而而3p特征向量，特征向量， 而而作为右端项，作为右端项，得到，得到，又可又可由求解非齐次方程组由求解非齐次方程组2)(pxAI得到。得到。可求得特征值

20、可求得特征值1对应的特征向量为对应的特征向量为T)0, 1, 1, 0(取取，T1)0, 1, 1, 0(p求解求解 ，1)(pxAI由于由于),(1pAI020001222111112011110100013330113300111101000011001100011131310000001000011000013131同解方程组为同解方程组为 ，043312311xxxx令令03x得得T31312)0, 0,(p再求解再求解，2)(pxAI由于由于 ),(2pAI02000022211112111131310000001000011000019192同解方程组为同解方程组为 ，043912

21、921xxxx 令令03x 得得T91923)0, 0,(p取取4p为对应特征值为对应特征值3的特征向量的特征向量T4) 1, 0, 1, 0(p故相似变换阵故相似变换阵10000001110091319231P使得使得。JAPP1是特征值是特征值1的广义特征向量。的广义特征向量。注注 称称它们不是唯一的。它们不是唯一的。32pp，例例411301621A的的Jordan标准形和所用的相似变换阵。标准形和所用的相似变换阵。解解 )det(AI 41131621411110)2)(1(1032) 1(11)2(1) 1(求矩阵求矩阵A的特征值为的特征值为1321求解求解 ，0 xAI)(由于由于

22、311311622AI000000311同解方程组为同解方程组为3213xxx基础解系为基础解系为TT) 1 , 0 , 3(,)0 , 1 , 1(从而从而A的的Jordan标准形为标准形为 1111J若设若设 ，),(321pppP 使得使得，JAPP1则有则有3232211,ppAppAppAp可见可见21, pp应取对应特征值应取对应特征值1的两个线性无关的两个线性无关的特征向量。的特征向量。( (注注,)0, 1, 1(T1pT2) 1, 0, 3(p为得到为得到，3p求解方程组求解方程组，2)(pxAI即即 13033622321321321xxxxxxxxx这是矛盾方程组。这是矛

23、盾方程组。) ) 若取若取处理方法如下：处理方法如下： 取定取定 ，T1)0, 1, 1(p又令又令T2T12) 1, 0, 3()0, 1, 1(kkpT2121),3(kkkk只要只要，02p则则2p也是对应也是对应1选择其中的系数选择其中的系数21kk，使使2p的特征向量，的特征向量，满足两点满足两点:（1 1）与）与1p（2 2）使方程组）使方程组2)(pxAI由于由于 线性无关；线性无关；有解。有解。),(2pAI21213113113622kkkk2112100031133000kkkkk0000000311211kkk可见，可见，21kk 方程组有解。方程组有解。则则2pTT)

24、1, 0, 3()0, 1, 1(T) 1, 1, 2(它与它与1p又同解方程组为又同解方程组为32131xxx时，时，取取，121 kk线性无关。线性无关。当当令令 032 xx得得T3)0, 0, 1(p故相似变换阵故相似变换阵010011121P使使 11111APP当一个重特征值对应当一个重特征值对应2个及个及2个以上的个以上的Jordan注注块时，块时，经常要作这样的处理，经常要作这样的处理，应加以注意。应加以注意。例例nnCA的的n个特征值为个特征值为，n,21证明证明Adet21n 证证n*211APP取行列式即得。取行列式即得。 设设根据根据Jordan标准形理论，标准形理论，

25、 存在存在n阶可逆阵阶可逆阵P使使( (其中其中*代表代表0或或1) )例例，3000212111221112A求求。100A已知已知解解，JAPP1其中其中，311111J10000001110091319231P可求得可求得故故 100A1100PPJ1000000111009131923110029910031100110011000133322210100100100300014650140511405014950147493147501474915050100100100101例例3213dd312dd3211dd4362xxxxxxxxxxxttt解解，Axxtdd其中其中，321

26、xxxx411301621A求解微分方程组求解微分方程组首先化为矩阵形式首先化为矩阵形式可求得可求得，JAPP11111J其中其中，010011121P令令，Pyx 其中其中，T321),(yyyy代入方程得代入方程得，APyyPtdd即即Jyytdd写成分量形式为写成分量形式为,11ddyyt,322ddyyyt33ddyyt由第由第1,3个方程解得个方程解得 ，tcye11tcye33这是一阶线性微分方程，这是一阶线性微分方程，ttccye)(322故故 321xxxtttctcccee)(e0100111213321ttttcctccctcccce)(e)(e)22(3232133213

27、21,(ccc任意任意) ) 代入第代入第2个方程得个方程得 ttcyye322dd其解为其解为例例，100221212A求求；IAAAAA234684392 2) )。100A已知已知1)1)解解1)1) 用带余除法用带余除法4 Hamilton-Cayley定理定理 )det()(AI )3() 1(2设设 1439)(23468g)(g用用)(可得可得 )()23181395()(2345g68107322由于由于，OA )(所以所以)(AgIAA6810732270042142142211437523除除IAAAAAA23468439)(g其中其中A的特征多项式为的特征多项式为2)2)

28、0122100)()(bbbq需求出需求出。012,bbb注意注意)3() 1()(2满足满足0)3() 1 () 1 (又对又对( (* *) )式求导得式求导得 12992)()()()(100bbqq1201201210021001393bbbbbbbb解得解得 )2013()3401()5973(100412100211100410bbb用待定系数法用待定系数法设设( (* *) )( (* * *) )将将13和和代入代入( (* *) )式和上式并利用式和上式并利用( (* * *) )式得式得故故 100AIAA0122bbb10013) 13() 13() 13() 13()

29、13(10010021100211001002110021例例试将试将n2A表为表为A的二次多项式。的二次多项式。解解 A的特征多项式为的特征多项式为)det()(AI )2)(1)(1(令令 01222)()(bbbqn设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为1，1，2， 将将 依次代入上式得依次代入上式得2, 1, 1012201201224211bbbbbbbbbn解得解得 ) 12(0)24(231212310nnbbb因此因此 n2AIA)24() 12(2312231nnIAAAA0122)()(bbbq例例；031251233A解解 A的特征多项式为的特征多项式为)det()(A

30、I )4()2(2)(的因式有的因式有 ，2，4，2)2(，)4)(2()4()2(2由性质由性质2，试求下列矩阵的最小多项式试求下列矩阵的最小多项式1 1）只需验证第只需验证第4个因式。个因式。 可知可知OIAIA)4)(2(故故 )4)(2()(Am2 2） 。nn0000100001000010B 解解 B的特征多项式为的特征多项式为n)det()(BI所以所以)(的因式为的因式为nn12因为因为 ，) 1, 2 , 1(niiOBOB n故故B的最小多项式为的最小多项式为nm)()(B例例313321212212A解解 23) 3(2()(）Am求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多

31、项式1)1)2 2） 。031251233A解解)4()2()det(2AI所以所以A的特征值为的特征值为4, 2321对应对应2有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量，T)0, 1, 3(T) 1, 0, 2(从而从而A的的Jordan标准形为标准形为422J故故)4)(2()(Am因为因为例例；nn0000100001000010A求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式1 1） 解解 n)det()(AI但但11AI中右上角的中右上角的1n阶子式阶子式0) 1(111n故故，1)(1nD从而从而nnDm)()()()(1A 2 2） 。201034011A解解 )det()

32、(AI 2) 1)(2(但在但在 201034011AI中中1，3行、行、1，2列的二阶子式列的二阶子式10111所以所以 ，1)(2D从而从而 。)()(Am 这一方法的缺点是，这一方法的缺点是，)(1nD可能比较麻烦。可能比较麻烦。 求求i65例例，Ti)5, 4, 3(x，Ti), 0i,2(y求求),(yx和和。),(xx解解 ),(yxi)(i504i)2(3),(xxi)5(i54433已知已知505 酉酉( (正交正交) )相似下的标准形相似下的标准形 例例，Ti)1, 2i,i,3(x 解解17i12ii322222x所以所以 T2)17i1,172,17i,17i3(xx已知向量已知向量试将其单位化。试将其单位化。因为因为例例，0i11x，i012x1