微分几何试题库

1、微分几何、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和 V2、 二阶微分方程 A(u,v)du2 2B(u,v)dudv B(u,v)dv2 0总表示曲面上两族曲线3、假设r(t)和s(t)均在a,b连续，贝U他们的和也在该区间连续 V4、 向量函数 茹具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，s(t)的微商与S0平行x5、等距变换一定是保角变换.6、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的.7、 常向量的微商不等于零X8 螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点1, 0, 0的切线为 X=Y=Z X9、对于曲线s=s。上一点t=t。，假设其微商是零，那么这一点为曲线的正常点

2、x10、曲线上的正常点的切向量是存在的 V11、曲线的法面垂直于过切点的切线 V12、单位切向量的模是1 V13、 每一个保角变换一定是等距变换x14、 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.15、 坐标曲线网是正交网的充要条件是F 0，这里F是第一根本量.二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t在点1，0，0的法平面是y+z=0.18设给出c1类曲线：r19、 f cos3 x,sin3x,cos2x, 0 x-，那么 3cos x,3sin x, 4,sin x,cos x,0,4cos x, 4sin x, 3,56 825

3、sin 2x25sin 2xr(t) ,a tb.那么其弧长可表示为a r (t) dt20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，那么称为渐进曲线。21、旋转面 r= (t)cos , (t)sin傾“是或“不是).(t)，他的坐标网是否为正交的?是22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的 线线.23、任何两个向量p,q的数量积p q p qcos(pq)24、 保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换_.25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数_ 数(填“常数或“非常数).26假设曲线(c)用自然参数表示r r(t)，那么曲线(c)在P(s0)点的密切平面的方程

4、 是(R r(s),r(S0),r(s0) 027. 曲线的根本三棱形由三个根本向量和密切平面、法平面、从切平面28. 杜邦指标线的方程为Lx2 2Mxy Ny2129. 曲面r ucosv,usinv,6v， u 0， 0 v ，那么它的第一根本形式12为du2 (u2 36)dv2 ，第二根本形式为,2 dudv，高斯曲率u2 36K 22，平均曲率 H 0 ，点(1,0,0)处沿方向du:dv 2的法曲(u 36)6 637，3724 j率 、37 ，点1,0,0处的两个主曲率分别为151730、Coh n-Voeeen定理两个卵形面之间如果存在一个保长映射，那么这个映 射一定是R3中的

5、合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33. 求曲线x tsint,y tcost,z td在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r tsi nt,tcost,tet,r (t) sin t tcost,cost tsint,et tet,r (t) 2 cost ts int, 2 si nt tcost ,2et tet在原点处t 0r(0) 0,0,0,r (0) 0,1,1,r (0) 2,0,2.在原点处切平面的方程为(R r(0),r (0),r (0)0即 X Y Z 0法平面的方程为：(R

6、r(0) r (0)0即Y Z 0切线方程为R r(0) r (0)XYZ01134、求曲面z x3 y3的渐近曲线。解设 r u,v,u3 v3rui,o,3u2, rv o,i, 3v2, n厂1 3u2,3v2,1|rUrUu0,0,6 u , J 0, J 0,0, 6W-6u.n 544, M n J9u4 9v4 16vN rvv9厂9v41因渐近曲线的微分方程为Ldu2 2Mdudv Ndv20即 udu2 vdv2 或，udu . vdv 03渐近曲线为u23v2C1 或(C2解:r a(uv),b(u v),2uv,ru a,b,2v,rv a, b,2u.Eru ru a2

7、 b2 4v2,F ru rv a2 b2 4uv,Grv rv2 2 2 a b 4u .I(a222222 2222b 4v )du 2(a b 4uv)dudv (a b 4u )dv35求双曲抛物面ra(u v), b(u v),2uv的第一根本形式36.计算球面r(Rcos cos , Rcos sin,Rsin 的第二根本形式解:rrrRcos cos , Rcos sin , Rsin ), Rcos sin , Rcos cos ,0,Rsi ncos , Rsinsin,Rcos ,由此得到Er r2 2R cos ,Fr r 0,G r rR2r r=cos cosEG F

8、2e1eeaRcossinRcoscos0Rsi ncosRsi nsinRcos1R2 cos,cos sin ,sin ,又由于 Rcos cosRcos sin ,0,Rsin sin , Rsin cos ,0, Rcos cos , Rcos sinRsin ,所以2Rcos (),M r n 0, N r nR,因而得到n(Rcos2 d 2 Rd 2)37. 如果曲面的第一根本形式ds2(U，计算第二类克力斯托费尔符号.解:因为1(u2 v2 c)2F 0,1(u2v2c)2所以2(u2 v2 c) 2u(u2 v2 c)44u(u2 v2 c)32 2Ev所以Gv2(u v c

9、) 2v4v224223(u v c) (u v c)1Eu2u2Ev2v112E2 2112G2 2Ju v cu vc1Ev2v2Gu2u122E2 2 u v c122G2 2 u vJc1Gu2u2Gv2v222E2 2 u v ci222G2 2 u vc38、曲面的第一根本形式为I v(du2 dv2), v 0,求坐标曲线的测地曲 率。解 E G v，F 0，Gu0，Ev1u-线的测地曲率Ev1gu2E G2v v-线的测地曲率G o gv 2G.E 039、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线 是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平

10、行移动的充要条件是曲面上的 曲线是测地线事实上，设：d ui(s)(i 1,2)，那么的切向量为一 n曲亏加ds ds记 a1du2，a dsdu2ds，Da1 da11jaiduj， Da2 da2i,j2aidui,j那么曲线的切向量沿平行移动D 0Da10,Da20Dai2 k d ukduiduj0 (i1,2).2ij0(k1,2)dsdsi,jdsds为测地线40. 求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为 r u cosv,usin v, bv,22bE 1,F0,G u b ,L 0,M1,N 0.Vu2 b2由于L N 0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，

11、那么一族渐近线是r u0cosv,u0 s inv, bV,这是螺旋线，另一族渐近线是r ucosv0,us in v0 ,bv0,这是直线.41、设空间两条曲线 和C的曲率处处不为零，假设曲线 和C可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线 和C在对应点的切线夹固定 角证设:r r(s)，:r r (s)，那么由/ 知从而_ _0，一一 0，d(一 )1 _ds -0dsdsconstant，即cos 一.C这说明曲线和C在对应点的切线夹固定角.42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) r (t)0证明必要性 设r(t) (t)e(e为常单位向量)，那么r (t)(t

12、)e,所以r(t) r (t)0充分性：r(t) (t)e(t)(e(t)为单位向量函数)，那么r (t)(t)e(t)(t)e(t),r(t) r (t)2(t)e(t) e(t).因为r(t) 0,于是(t)0,当r(t) r (t)0 ,从而有e(t) e(t) 0,即e(t)/e(t),因为e(t) e(t)(根据e(t) 1)因此e(t) 0即e(t)为常向量，所以 r(t) (t)e(t)有固定方向43、给出曲面上一条曲率线，设 上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角求证 是一条平面曲线证设 :r r (u,v)，: u u(s), v v(s)，其中s是 的自然参数，记r

13、,n，那么r n cos ，两边求导，得 n F0，ds-I-I-由 为曲率线知dn /dr，即空空一，因此一 n FnF竺 0dsdsd sd s假设 0，那么为平面曲线；假设斤一 0，那么因为曲面上的一条曲率线，故dnMr.而n nn 0，所以dn 0，即n为常向量.于是为平面曲线.44、求圆柱螺线 R(t) acost,asint,bt在t处的切线方程。3r(t) a cost, a si nt,bt, r (t) a sin t, acost,b,亠v3 a3时，有r(3) i3a,2,b.所以切线的方程为P r(3)91V3V3/pae1ae2 ()be3223如果用坐标表示，那么得

14、切线方程为、，aYv 3X -a Zb2233aba22即2xa 2Y,3aZ -b33aab45、求双曲螺线r acosht,asinh t,at从t=0起计算的弧长。r acosht, as in h t, at,解：ras in h t, a cosht, a从t=0起计算的弧长为0|r (t)|dt ： x2 y 2 z2dta2 sin h 2t2 2a cosh t adt,a2(s inh212 21) a cosh tdt a2 cosh21a2 cosh2 tdttt0t- 2asinh t.46、求球面 r Rcos cos ,Rcos sin ,Rsin 的第一根本形式。

15、 r Rcos cos ,Rcos sin ,Rsin , 可得出解： 由 r Rcossin ,Rcoscos,0,r Rsincos , Rsinsin, Rcos,由此得到曲面的第一类根本量ErrR22 cosFrr0,GrrR2因而IR22cos d2R 2 d47、曲面上一点非脐点的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值证明设 k1knk2(如果K1K2,可以交换坐标u和V),由欧拉公式知22k2(1 cos ) k2 (k1k2)cos,k12cos于是k2kn(k22k1)cos0因此k2kn同样又可以得到knk1(k22k1)sin20,由此kik2knkn k2这

16、就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一根本形式为I E(u)du 2 G(u)dv2。求证：1u-曲线是测地线;2v-曲线是测地线，当且仅当Gu(u)证明：u曲线的方程为dvdvds1 .sinG0,得到sin 0所以代入刘维尔公式得, d 1 In E kgcosds2JGv1lnG .sin 2、E u0,因此得到u曲线是测地线2假设u曲线为测地线，由0,那么有01 lnGsinV E uGu 049、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为1空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；2空间三个合同变换的组合满足合里律；3丨恒同变换|:

17、务Xj(i 1,2,3)与空间任何合同变换T的组合I T T I T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；4空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变 换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线C给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网u1,u2,那么1 2 1 2u u ei u e2,v vq ve2.du21 w2dsdu2dsds2w1ds所以d(u v)dso，ONdsd 1 1 (u v ds1W2v2 -ds21 w1v ds0,02)1 2u1?以虬？v2ds dsu2?%/ 2 1 1 2 1 2(u v u v u v22 1 w1u v )0ds51、设曲线(C): r r t是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，那么它的周期是Ldt.L的闭曲线的周长.证明dtdt/r t dt,因为所以我们得到r/ t dtst所以有r stl正交.52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向证明取l为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是C:rs xs,ys,zs , s 0, L .因而单位切向量为根据微积分中值定理，存在s00,L ,使得z L z 0 L 0 z So ,但是z L z 0 ,所以?z