极坐标方程与直角坐标方程的互化

1、、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程2在极坐标系下，已知圆O： P = cos6+sin日和直线l： Psin(0 -)=,42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当日W (0,冗)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.2.(选修44:坐标系与参数方程)已知曲线 C的极坐标方程是P = 2sin9 ,设3-x = -t +2直线l的参数方程是5(t为参数)。4y=(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是M , N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。3.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线

2、C的极坐标方程为P2364cos2 - 9sin2 -'(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x轴，求曲线C的直角坐标方程;(2)若P(x, y)是曲线C上的一个动点，求3x + 4y的最大值。5 .(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程TT已知直线l经过点P(1,1),倾斜角a =-o6(1) 写出直线l的参数方程；x = 2cosu(2) 设l与圆(日是参数)相交于两点 A、B,求点P至IJA、B两点的y = 2sin 距离之积。6 .(本题满分10分)44(坐标系与参数方程)x = 3cos1、，c 2 亚一 为Psin(日十一)=.圆O的参数方程为42在直角坐标系xO

3、y中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极方程2 , （9为参数，r >0）3 rr sin 二2(I)求圆心的极坐标;(n)当r为何值时，圆O上的点到直线Z的最大距离为3. ,2一2、6. (1)圆心坐标为(，)22设圆心的极坐标为(：,口)则 P =卜§)2+(-* 11-2 分 .一 一，一，. .5 、所以圆心的极坐标为(1,5n)- 4分4(2)直线l的极坐标方程为P(sin + cos)= 222二直线l的普通方程为x + y 1= 06分I二圆上的点到直线l的距离d =-工 rcos一二r sin 111| - . 2 . 2rsin(-) -11

4、即d： 4，一 . 2. 2r 1，圆上的点到直线l的最大距离为-；=324 ,匚 2.r 二2-10 分7.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程选讲已知直线l的参数方程为:x = 2 t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为:y = 3t：2 cos2i - 1(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.7. (1)由曲线 C: ：2cos2 1-：-'2(cos2 1-sin21)=1,得P2 cos2 - P2 sin2日)=1,化成普通方程22.x y =1 5分(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程x =2 t22 J (t为参数) 3 .y 二

5、一t2把代入得:=1一 一 2一 一整理，得t -4t -6 =0设其两根为tj,则 t1 +t2 =4,t1 t2 =-68 分从而弦长为 |t1 -t2 |=(L t2)2 -4n=.42 -4(-6)=痴 =2 10.10分方法二：把直线l的参数方程化为普通方程为y Z3(x -2),代入 x2 - y2 =1,2得 2x 12x+13 = 0 6 分设 l 与 C 交于 A(Xi,X2), B(X2,y2)c13则 x1+x2=6,X| x2 =8 分210分.| AB|= ,1-3 . (x1 x2)2 -4x1x2 =2 62 -26 =2. 10.1、（09广东理14）（坐标系与

6、参数方程选做题）若直线kTt （t为参数）与直线 y = 2 3t4x+ky =1垂直，则常数k =x =1 -2t373【解析】将化为普通方程为y = 3x + 7，斜率k1 =-y -2 3t222当k #0时，直线4x +ky =1的斜率k2 = 一±由k1k2 = I -k2 k=一 1 得 k = 一6 ;37当k = 0时，直线y = 一一 X十一与直线4x = 1不垂直.22综上可知，k - -6 .答案-6X =1 t3、（天津理13）设直线1i的参数万程为V（t为参数），直线的方程为y =1 3ty=3x+4则ll与12的距离为【解析】由题直线11的普通方程为3x

7、- y - 2 = 0 ,故它与与12的距离为 卑2J .103. 10 O5答案 u 54、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，X轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为二，、x = 1 2cos-(=一(Pw R),它与曲线4y = 2 2sin ;（口为参数）相交于两点 A和B,则|AB|二【解析】直线的普通方程为y = x,曲线的普通方程（x-1）2+（y2）2' |AB |=2必（丫!）2=44 11答案,16、（09海南23）（本小题满分10分）选修44:坐标系与参数方程。x = -4 cost,x = 8cos，已知曲线Ci： i

8、（t为参数），C2 ： S（e为参数）。y = 3 sint,y = 3sin3（1）化C1, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;冗（2）若C1上的点P对应的参数为t =，Q为C2上的动点，求 PQ中点M到直线2'x=3 + 2t,C3"（t为参数）距离的最小值。y -2 t22解：(I) Ci: (x+4)2+(y 3)2 =1,C2 ：二+匕=1.649Ci为圆心是（-4,3）,半径是1的圆.C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆.3.（n）当 t=£时，P（4,4）.Q（8cos33sin8）,故M（2 + 4c

9、os32 + asing）.5C3为直线 x 2y7 =0,M 至UC3的距离 d =14cos日-3sin 9 -13 |.54,3 一一一 . 8、5555从而当cos日=4,sine =3时，d取得最小值吧.C.选彳4 - 4:坐标系与参数方程x =爪 _-1=已知曲线c的参数方程为t0t, （t为参数，t>0）y =3（t ；）求曲线c的普通方程。10【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分分。解因为 x2 =t+1 2，所以 x2+2 = t+1 =乂，tt 3故曲线C的普通方程为：3x2y+6=0.10、（09辽宁理23）（本小题满分10分

10、）选修4 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOyHT中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 Pco;s（0 _-）3=1 , M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求 M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。解（I ）由 Pcos（日一） =1 得1 3 .、 .：（ cosi -sin ”=12 2从而C的直角坐标方程为1 .3.x y =12 2即x ,3y =2=0时，=2,所以 M(2,0)2 . 32.3 二、日=一时，p=,所以 N(,)233 2(n) M点的直角坐标为(2, 0)N点的直角坐标为（0,

11、所以P点的直角坐标为仕马，则P点的极坐标为（宅寺，所以直线OP的极坐标方程为e=%,P%q,F1. （2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1, C2的极坐标方程分别为 Pcos=3, P=4cos60,0 0 日 i,2则曲线Ci与C2交点的极坐标为答案 (2 .3,-)65. (2008宁夏理)（10分）选修4-4:坐标系与参数方程选讲已知曲线C1：卜二cos：（6为参数），曲线C2： 1 y =sin x='-22.(t为参数).w _2t y t2（1）指出（2）若把C1,C2各是什么曲线，并说明 C1与C公共点的个数;G, C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，

12、分别得到曲线C1', C2'.写出C1', C2'的参数方程.C1'与C2'公共点的个数和 C1与G公共点的个数是否相同？说明你的理由.解（1） C1是圆，C2是直线.22Ci的普通方程为x +y =1,圆心Ci（0Q）,半径r=1.C2的普通方程为x y+J2=0.因为圆心Ci到直线x -y +72 = 0的距离为1,所以C2与C1只有一个公共点.（2）压缩后的参数方程分别为，22 庭 口fx - cos 6,x t - J2,2C1：1 （g为参数）；C2：42（t为参数）1ysinu22化为普通方程为：c/： x2+4y2 =1, C2：

13、y =1 x +2 , 22联立消元得2x2+2j2x+1 =0,其判别式 =（2 J2）2 4父2M1 =0 ,所以压缩后的直线 C2与椭圆C1'仍然只有一个公共点，和 C1与C2公共点个数相同.C：选修4-4：坐标系与参数方程x 2在平面直角坐标系 xOy中，设P（x,y）是椭圆 + y =1上的一个动点, 3求S=x+y的最大值.C.解：由椭圆A + y2二1的参数方程为J3（中为参数）,故可设动点P的坐标为（J3sin Qsin中），其中0 W邛<2冗.因此，S = x + y = $3cos* +sin 邛=2 1 3cos +1sin* =2sin 十 三.<2

14、2）<3；JT所以当cp=时,即得最大值2.61、（辽宁省抚顺一中 2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程P=cos。化为直角坐标方程为A. (X+ ) 2 +y2 = J_24C.x2 + (y- - ) 2 = 24答案 D.B.x 2 + (y+) 2 = 24D. ( x- J. ) 2 + y 2 =24冗4、（2009广州一模）（坐标系与参数方程选做题 ）在极坐标系中，直线 p sin（。+）=2被圆P =4截得的弦长为.答案 4，,37、（ 2009广东三校一模）（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为 P = 2cos和P =sin B的两个圆的圆心距为答案21

15、1、（2009东莞一模）（参数方程与极坐标选做题）在极坐标系中，点（1,0 ）到直线P（cos0 +sin9）=2的距离为.答案213、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P是曲线x = sin 二 cos二，,，一<（日，0 , 2n ）是参数）上一点，P到点Q（0, 2）距离的最小值y =1 -sin 2二.、7答案 2nr16、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程 P cos。-）=1化为直角坐标方程是答案、3x y-2 -022、（2009 韶关一模）在极坐标系中，圆心在 （J2,兀）且过极点的圆的方程为cow25、（2009 深圳一模）（坐标系与

16、参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线 Ci的参数方程为x=cosE 一日W0,叫，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2在极坐标系中X =sin'的方程为P=.若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数b的取值范围sin 二-cos?是.答案 1 £ b :二、.228、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点 A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线 P=4cos日于A、B两点，则|AB| =答案 2341、（2009厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P（1,1）,倾斜角久=二，设6x =2cos1l与曲线（ 6为参数）交于两点 A,

17、B ,求点P到A,B两点的距离之积。y = 2sin x = 1 t cos-x =1 t解直线的参数方程为 66 ,即2,，.二1y = 1 t sin y = 1 t6y 1 2t工.总x = 1 t曲线的直角坐标方程为x2 +y2 =4,把直线22代入x2 +y2 =4（ 1y = 1 t2得(1 1)2 (1 L)2 =4,t2 (3 1)t - 2 =0 22域2 = -2 ,则点P到A, B两点的距离之积为 2，-x = 2t ，42、（2009厦门二中）（极坐标与参数万程）已知直线l的参数方程：，（t为参y = 1 + 4tr 冗、数），圆C的极坐标方程：P = 242sin日十

18、二,试判断直线l与圆C的位置关系.<4 J解 将直线l的参数方程化为普通方程为：y = 2x +1将圆C的极坐标方程化为普通方程为：（x-1f +（y -1f = 2从圆方程中可知：圆心 C （1, 1）,半径r =42 一 ，-2 1-112所以，圆心C到直线l的距离d -12 =£ <yj2 = r22 （-1）2.5所以直线l与圆C相交. -'x = sinH 、一 ，一一、43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线过点（0,2）的切线万y = cos26程.22x =sin 日，y =1-2sin 8,消去参数 日得 2x +y=1.设切线为

19、y = kx + 2 ,代入得2x2 + kx +1 = 0令 =k2 8=0,得 k = +272，故 y = ±2j2x+2 即为所求.,.,b - 21 - 2a -2. 2或y1=dx,设切点为（a,b）,则斜率为4a=b，="a一2 ,解得a = ±±B，aa2即得切线方程.44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，设圆P = 3上的点到直线fcosB+73sin日）=2的距离为d ,求d的最大值.解 将极坐标方程 P =3转化为普通方程：x2 + y2 =9P（cos6 +T3sin 日）=2 可化为 x + /3y =

20、2在x2 +y2 =9上任取一点 A（3cosa,3sina ）,则点A到直线的距离为3cos口 +3V3sin« -2 6sin（a +30°） -2d =,它的最大值为 42245、（ 2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为x =1 +2cos3（日为参数），若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点 O为极点,xy = . 3 2sin轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为I,求直线l的极坐标方程.解由题设知，圆心C1, V'3）,P（2.0）/CPO=60°，故过P点的切线飞倾斜角为 30°设M （巳日），是过

21、P点的圆C的切线上的任一点，则在 PMO中,/MOP = u . OMP = 300，OPM =1500OMOP：2由正弦定理得 , sin OPM sin OMP , sin1500 sin 300 -二pcos国+600 ）=14Psin（300 8 ）=1）,即为所求切线的极坐标方程。46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆 P = 2上的点到直线PfcosQ + <3 sin 8 )=6的距离的最小值.解 由 P = 2即P2 =4则易得x2+y2 = 4 ,由P(coa十，3si n )= 6易得x + J3y 6= 0 二圆心（0,0）到直线的距离为

22、d00 0-6|=312 (.13)2又圆的半径为2 ,二圆上的点到直线的距离的最小值为d =d0 -2 = 3 2 = 1.53、9 二（2009通州第四次调研）求经过极点0（0,0）, A（6,万），B（6j2,（）二点的圆的极坐标方程.解 将点的极坐标化为直角坐标，点O, A,B的直角坐标分别为（0,0 ）,（0,6）,（6,6%故AOAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为 （3,3）,半径为3衣，22o o圆的直角坐标万程为（x3 ） +（y3） =18,即x2 +y2 6x 6y = 0 ,将 x = PcosQ, y = Psin 6 代入上述方程，得 P2 6P（cosH +

23、sin日）=0,即 d =6、2cos f 54、（2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方程分别为它们相交于 A, B两点，求线段 AB的长.解 由 P =1 得 x2 +y2 =1,P =1 与 P = 2cosb + I 3 J又二二 2cos（二）= cos1 - 3sin1, P2 = ：；cos? - . 3 : sinx2 + y2 -x + T3y =0 ,x2y2 =1口1. 3x2+y2-x+a=0 将"©BLU,1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆 C的参数方程为Lx = 2cos;y = 2 2sin :（“为参数），若以原点O为极点，以

24、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为 .答案 D = 4 s i n16. （2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为 P =1与p =2cos （哈，它们相交于 A, B两点，求线段 AB的长.解由 P =1 得 x2 + y2 =1,又丫 P=2cos（8+学=cosO_73sinB： P2 = Pcos日gPsinB二 x2 十 y2 x + 73y =0 ,得 A(1,0),7分B(,以直角坐标系的原点17. （2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）JT为极点，x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为（1,5）,点M的极坐标

25、为（4：）.若直线l过点P,且倾斜角为 3 ,圆C以M为圆心、4为半径.（I ）求直线l的参数方程和圆 C的极坐标方程；（n ）试判定直线l和圆C的位置关系.d 1,x =1 t解（I）直线l的参数方程为2 ，3y - -5 t2圆C的极坐标方程为 8 =8sin g一、， f n _ .（n）因为M ,4,- 对应的直角坐标为（0,4）2直线l化为普通方程为 Qx-y-5-J3 = 0圆心到直线l的距离d =,3 19.3. . .一 .A 5,所以直线l与圆C相离.x = 1 2t ，/一1. (20072008泰兴市蒋华中学基础训练）若直线的参数方程为（t为参数），y =2-3t则直线的

26、斜率为（A. 2B. GcT D. -33322【解析】k JL2 =z3t二一3x -1 2t 2答案 D2. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）lx = sin 2 1卜列在曲线（9为参数）上的y = cos 二 sin 二点是（）A. （I,-72）B.（-4,2）C. （2, 73）D.（1,73）31【解析】 转化为普通方程：y2=1 +x,当x = 3时，y=42答案B2 . x= 2 Sin 口3. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）将参数万程22（6为参数）化为普y = sin 1通方程为（A. y=x2 B. y=x+2 C. y=x2(2WxE3) D. y

27、 = x + 2(0EyW1)【解析】转化为普通方程：y=x2,但是x三2,3, yw0,1答案 C4. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）2化极坐标方程 P cos - P = 0为直角坐标方程为()A . x2 +y2 =0或y =122B. x=1 C. x + y = 04fcx =1 D. y=1【解析】P(Pcos1) = 0, P = Jx2 +y2 =0,或Pcos9 = x = 1答案C5. （2007-2008泰兴市蒋华中学基础训练）点M的直角坐标是（-1,J3）,则点M的极坐标为()2 二A. (2-)B. (2,-)C. (2,)3332 二【解析】(2,2kn

28、 +),(kw Z)都是极坐标3答案CD. (2,2kn+-),(kZ)6. （2007-2008泰兴市蒋华中学基础训练）极坐标方程Pcos日=2sin 2日表示的曲线为（）A . 一条射线和一个圆B .两条直线C . 一条直线和一个圆D . 一个圆【解析】Pcos =4sin C cos“cos8 =0,或=4sin 日，即 P2 =4*sinH22.则日=kn +万，或x +y =4y答案C11. （ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线«"-3 + 4'（t为参数）的斜率为 y = 4 - 5t【解析】卜=匕4=0 = _a x=1 3t口 1将 j

29、 2 4t 代入 2x4y =5 得 t=1x -3 4t 45x =e e参数方程/ t t （t为参数）的普通万y =2（e -e ）(x W4答案-5 412. (20072008泰兴市蒋华中学基础训练)程为。x 二 S e x = 2et一， 一9解析y t "-=e -ey 。2x _ _ = 2e2.222答案人一匕=i,(x _2)41613. （2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）12：2x 4y =5 相交于点 B,又点 A（1,2）,已知直线llx =1 3t1 :cy =2-4t（t为参数）与直线则AB =,则 B(-,0),而 A(1,2)，得 AB =

30、一2厂5答案52x =214. （2007-2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线2 （t为参数）被圆x2 + y2 = 41y = -1 t2落弦长的-半为2截得的弦长为【解析】直线为x + y-1 = 0,圆心到直线的距离dJ 咚）二斗，得弦长为144答案.1415. （2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线xcosot +ysina = 0的极坐标方程为 O【解析】：二 cos cos- P sHn stn0 ,五 o s（，取 _ ：= 一2答案 1 = 一 :222. （2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）22已知点P（x,y）是圆x +y =2y上的动点,（1）求2x +y的取值范围