计算方法_习题集(含答案)

1、计算方法课程习题集一、计算题1.已知f(0) = 1, f(l) = 2, f(2) = 4,求f(x)的二次插值多项式。2.已知 f(x)=x? + x4 + 3x+l,求3.分别用拉格朗日插值和牛顿插值构造过点(-1, -3), (1, 0), (2, 4)的二次插值 多项式并给出插值余项.4 .利用牛顿插值对如下数据构造一个三次插值多项式N(x),并求N(L).2X0123y139275 .分别用拉格朗日插值和牛顿插值构造过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2)的二次插 值多项式并给出插值余项.6 .已知实验数据，用最小二乘法作二次多项式的数据拟合，写出法方程(不求解)。X

2、12345y147867 .实验数据给定如下，试用最小二乘法求经验直线y = ao + a】x.X01 2 34 by12 4 4.5 5 68 .实验数据给定如下，试用最小二乘法求经验直线y = ao + a/。A =1-Xj + x2 = 2 2X1 -2x2 = 3 -3% + x2 = 410.已知函数丫=的下列数值，试用两点和三点微分公式计算x= 2.7的一阶和二阶 导数。X2.52.62.72.82.9y12.1825 13. 4637 14.8797 16. 4446 18. 174111 .求公式广f(x)dx=2fd) fd) + 2f(3)的代数精度。J。 342412 .

3、确定求积公式J：f(x)dx= Af(h)+Af(2h)中的待定系数，使代数精度尽可能 的高,并指出代数精度。13 .确定求积公式J： f(x)dx=、f(O)+ Af(h)+ A f(2h)中的待定系数，使代数精 度尽可能的高,并指出代数精度.14 .确定求积公式J： f(x)dx= A1 f(-h)+ A f(0)+a其坨中的待定系数，使代数精 度尽可能的高,并指出代数精度.15 .计算积分fedx,若用复化梯形公式，问区间应分为多少份，才能保证计算结果 有5位有效数字？,%+4+金=616 .用高斯消去法解方程组+ 3%2X3 = 12%-2% + / = 12% + X2 + % =

4、417 .用高斯消去法求解线性方程组：3%+ . + 2X3 = 6 % + 2% + 2% = 52 -1 -1、18 .求矩阵-120的LU分解303 /Xj - + x3 = -419.用高斯消去法求解上天一4当+3% =122% + 占 十 七=11第1页共12页120.用列主元高斯消去法解线性方程组1% 20 + 2%=521 .对于方程组1 -% + 3=-1 ,写出Gauss-Seidel迭代的迭代格式并判断是否 2% + 7& = 2收敛。5% + 2$ + & =-1222 .对于方程组l, 1=, (1)构造I的迭代公式(2)讨论收敛性.aa +aa +a +.29 .应用

5、Newton法于方程x3-a =0,求返迭代公式，并讨论收敛阶数。第3页共12页30 .利用牛顿迭代法求的近似值。（保留小数点后6位）二、计算题1（略）答案1,解： l(x)=(x-1)(x-2)x1+(x-0)(x-2)x2+(x-0)(x-1)x4 (0-1)(0 -2)(1- 0)(1 - 2)(2- 0)(2 -1)*+L+l222 .解:利用差商和导数的关系,，,xJ = Lf（n）c）, n!因为f（x）是7次多项式，所以f（X）= 7!,伊）=0 ,7!所以 f2,2i,2l = -J = l, f2,21,.,27,28 = 0o3 .解：拉格朗日插值：、 (x-l)(x-2)

6、z 八(x+l)(x-l) 4L(x) - (-3) + x A(-2)(-3)3x1(x-l)(x-2) 4(x+l)(x-l)=-Hf(Xo)= -3，f4看=4, fx0,x1,x2 = 5/6 ,牛顿插值：N(x) = -3 + -(x+l) + -(x+l)(x-l), 26插值余项为：R(x)=上茅(x+ l)(x-l)(x-2), (1,2)4 .解：差商值分别为:。/闻=2,门,% = 6, f|X，xJ = 18,。%,看多=2,。不,% = 6,。,不当,% = 4/3,41N(x) = l + 2x+2x(x-l) + -x(x-l)(x-2), N(-) = 25 .解

7、：(1)拉格朗日插值多项式为：x(x-3) 2(x+3)(x-3) (x+3)xL( XJ =1899(2)由计算可得:f(%) = -l, 区,h=(2-(-1)/(0-(-3) = 1,珏不当 = (2 2)/3 = -4/3门%,% = (-4/3-1)/6 = 7/187所以牛顿插值多项式为：N(x) = -l + (x+3) x(x+3)18(3)误差估计：R(x) = (x+3)x(x3) , j(3,3)6 .解：工玉=15, Zx = 26, Z%=55,=92,11 11 1-1 11555工年=225 , Zk = 979 , ZMy=358。 ilili-1第7页共12页

8、法方程组为:51515555522597926 92358 J6a + 15b = 21.5法方程组为:7 .解：Z% = 15, ZX = 22.5, Z%2=55, Z, = 7L5.15a + 55b = 71.5解之：a = 22/21,b = 71/70,所以 y = 22/21 +71/70x。8 .解：t% = 20, fy, = 81, k=120, t%y, = 536。1=11=11=1i=l法方程组为J 4a + 20b = 81 20a + 120b = 536解之 a = -12.5,b = 6.55,所以y=-12.5 + 6.55x。七、9.解：及=15 9、-9

9、 7 ,法方程组为:5-9-9V7(-7、,-1 /391229解出:%.x,12 一10.解：取h = 0.1,两点公式有两种:(1)当 = 2.6,1= 2.7 时,f (2.7) = -f(2.7)- f(2.6) = -(14.8797-13.4637) = 14.1600(2) Xq = 2.7, Xj = 2.8,f (2.7) = f(2.8)- f(2.7) = 15.6490 . 1三点公式取 Xq = 2.6, Xj = 2.7, Xj = 2.8 , f (2.7) = ! f(2.8)- f(2.6) = 14.90450.1x2f(2.7) = f (2.8)-2 f

10、(2.7)+ f(2.6) = 14.890011 .解：取f(x) = l,x,x2,代入公式，得到:当f(x) = l,左边右边。当f(x) = x,左边】，右边；当f(X)=X。左边(右边4当f(x)=xM左边：右边噂当 f(X)= x4,左边二L,右边二卫192所以公式具有三次代数精度。I 3h = A + A12 .解：令f(x) = Lx,代入积分公式，有19,一 lr = Ah+ A,2h解之：A = 3h, A =3h,积分公式为：J： f(x)dx=-hf(h) + -hf(2h),由于当 f(x) = x?时，i=jhx2dx = 9h3, S=yh3, 所以积分公式具有一

11、次代数精度。* A + A + A = 3ho13 .解：令 f(x) = l,x,x2,代入积分公式，有 Ah+A2h = h2+ A 41r = 91?39r2h39解之：& = ；h，A = O，A = ；h,积分公式为：J。f(x)dx = ；hf(0) + ：hf(2h), 由于当f(x) = x3时，左二广*3改=叫14,右二18h4。Jo 4 所以积分公式具有二次代数精度。A1+ A + A = 2h14 .解：令f(x) = l,x,x2,代入积分公式，有( h(AA)=。h2(A1 + A)= h314解之：A1=A = 4h,a = hrh141积分公式为：f(x)dx=

12、ihf(-h) + -hf(0) + ihf(h)J-h333由于，h x3dx= -li(-h)3 + - h(h)3, x4dx w 1 h(-h)4 + - h(h)4 Jf 33 Jh 33所以积分公式具有三次代数精度15 .解：由 f(x) = e，f(x) = e，,b-a = l,有 |f| = -h2f) -(-)2e1212 n又由于lvexdxe,故fedx只有一位整数，因此要使积分的近似值有5位有效数字，其截断误差应满足一二WxlO-4 12n2 2解得n? Zexl04。4530.4697,nN 67.3088,因此取n = 68,即将区间0, 168 等 6份就可满足

13、要求16 .解：增广矩阵的变换为1 1 113-22 -2 1611 - 01J -4-1-111162 -3 -50 -7 -21第9页共12页等价于方程组： + x2 + Xj = 624 - 3*3=-5,解之，*=1,1=2,毛=3。-7 = -212Xj + x, + x3 = 417.解：消元过程:11八=0,33X)H& = 32% + X2 + % = 4回代可求出：%=1,&=1,玉=1。11八一尸+不看 = 03% = 318.解：1% = 311 = 2,12 = ai2 = 1，33 = aB = -1， 121 =a?i/i1n = 1/2,131 = a31 /ii

14、n =3/2 ,%2 = 322 - 121ll12 =3/2，L =632 -13152)/42 =1，U33 = &33 -(131nl3 + 13243)= 5 ,所以 L =1-1/23/2,U = 0 1 -22 11110 3-1-411 -11 一48-01-28190 05 -5等价于方程组当一毛+毛=-4 %2%=8 ,所以，方程组的解为洱=3,毛=6,%=7等价的三角方程组为2% - 2x2 + x3 = 14K2 _x3 =；回代可得 x3 = 3,x2 = 2,Xi = 1 o721-x3 =44*旬=5 + 2殍)_2螳)21. 解： 迭 代 格 式： +1) = (

15、-1+1)/3 峭d=(2 - 24k叫)/70 =2U3-2622, 7AA -2 det(2I-BG)= -2 32 2A 0?6964示。鸣）专”所以迭代不收敛. 5 2 1、22 .解：因为系数矩阵A= -14 2是严格的对角占优矩阵， 3 10,所以Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代都收敛。(n 13Vaa1223 .解：awO时，Jacobi迭代的迭代矩阵是：B = 0aa3 2c- 0k aa由 Bj = O 得 4 = 0.43=4lal第n页共12页7所以当同4的时候，夕(Bj)vl, Jacobi迭代收敛。24 .解：(1)对原方程组，Jacobi迭代矩阵是：B

16、j=D-1(L+U) =Ri 与卜无3, p(耳)=61所以Jacobi迭代法不收敛。(0 2、Gauss Seidel迭代法的迭代矩阵：=(口1尸11 =,(0 3)由囚即= 2(3),知p(民)=3 ,所以Gaus-Seid法也是不收敛的。(1 n(2)若方程组交换方程的顺序后，系数矩阵变为A=-,2 3)它是一个严格的对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都收敛。0 0.5 - 0.5、25 .解：迭代矩阵Bj = 10-1 ,0.5 0.507A -0.5 0.5det(AI - B1)=A(22+1.25),121-0.5 -0.5 2=0,43=VL2

17、5i , p(Bj) = 1.25l,所以 Jacobi 迭代法不收敛。26 .解：(1)将方程改写为：x-l = e-x,利用图象可判断出存在唯一的一个根 x e(1,2) (2)迭代格式为：+i = l + ef ,迭代函数为： (x)=,则(x) = -e-x,因为|(x)|=e-xLx(l,2),所以迭代是收敛的。27 .解：记 I0 = e,I,=j2 + 0, 则 Li = j2+In，n = 0,l,2,. , 1 -1对应的迭代函数：Q(x) = J2+X ,则(x) = -(2 + x) 2,所以S(X)1=1 1(2+Xp |l, |(x)|=|,、,|v.vl，所以该迭代法是收敛的。(a + x)- a29 .解：采用Newton迭代法，、句=%-警5-学兽=+白，I (%) 3A 53玉c迭代函