数学实验----探究轨迹：椭圆精品教案

1、数学实验一一探究轨迹：椭圆教学设计课题数学实验一一探究轨迹：椭 圆地点电脑室课型新课教学 三维 目标知识与技能：借助几何画板探究点的轨迹，从而熟练用定义法求椭圆的轨迹方程。过程与方法：培养学生观察、分析、抽象概括等思维能力，以及合作学习能力。情感、态度与价值观：简单的操练平台，简单的操作软件，让学生“过把瘾”；把知识教给学生，把能力传授给学生；实施快乐教学，实现愉悦学习。重点 难点重点：探究动点轨迹椭圆难点：探究动点轨迹椭圆突破口:一为了突出重点，突破难点，本节课利用几何画板做 数学实验”，学生亲身体验动点轨迹的形成。教材 分析本课是在学生学习了 “椭圆的定义”知识后，基于对曲线与方程有了初步

2、认识的 前"，为了增强学生对“动点轨迹”形成过程的感性认识，安排的T “信息技术 应用”课程。我们现行的教材，增设了新的“信息技术应用”材料和内容， 便于让数学的教与 学贴近生活、贴近现实，增强学以致用、强化体验等新课程理念，顺应素质教育的要 求.本节课的教学是根据 选修2-1课本P50的“信息技术应用”课题用几何画板探 究点的轨迹： 椭圆 的改编与延伸。学生 分析学法：自主式、合作式、探究式本人所任教的班级学生基础较差，学生学习椭圆的定义后， 对于动点轨迹的形成过程仍觉得很抽象，通过本节课，可以化抽象为具体，增强学生对“动点轨迹”形成的感性认识。同时，学生也喜欢用电脑来解决数学问题

3、。在老师的推荐、带动和指导吓，容易激发他们的好奇心和求新欲望， 甚至激发他们热衷于对数学新知识的尝试和探究的潜能。教学 方法教法：问题教学法，启导法、多媒体辅助教学法。根据本节课内容的特点，学生的认知规律，采用“做数学实验”的课堂教学模式，即在教师 的启发引导卜， 4人小组按照合作探究学习实验报告单的问题指引，通过“观察一一猜想 一一证明一一应用”合作完成本节课的探究任务。把数学课堂搬到了电脑室，让学生自己通过几何画板探究点轨迹的形成。采用合作学习模式，合理运用合作学习策略，并给予奖励一一班币。教具电脑一一几何画板软件、黑板、多媒体课件使用 信息在电脑室让学生利用几何画板自己动手做“数学实验”

4、手段使用 信息的设 it* 图探索满足某种条件的动点轨迹历来被认为是教学中的难点，特别是用定义法来探究轨迹问题需要判断轨迹的形状，这类型题目往往更多地依赖于学生的知识储备、经验和想象力，其抽象性 让学生也不时陷入困惑中。教育部基础教育司推荐中小学数学教学辅助软件几何画板是一款 可以较好地帮助我们解决这一问题的教学辅助工具。因此，在本节课，我把数学课堂搬到了电脑 室，让学一人一台电脑，自己动手做“数学实验”，探究点轨迹的形成。通过本节课，可以化抽象为具体，增强学生对“动点轨迹”形成的感性认识。同时，学生也喜欢用电脑来解决数学问 题。在老师的推荐、带动和指导下，容易激发他们的好奇心和求新欲望，甚至

5、激发他们热衷于对 数学新知识的尝试和探究的潜能。教学流程合作探究学习实验报告单小组名称：小组奖金：小组成员：A组长 B记录员 C管理员 D报信员一、实验课题：用几何画板探究点的轨迹：椭圆（选修 2-1课本P50）二、实验准备：根据学生对电脑使用的熟练程度按 4人一组，分成16个实验小组，对每个成 员进行分工（操作、观察、记录数据）.学生根据老师提供的素材，事先用 几何画板软件画出满足条件的动点。三、实验目标：借助几何画板，观察动点轨迹，探究动点轨迹为什么是椭圆，同时结合具体 图象变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的思想，从而熟练求轨迹方程的 方法一一定义法。同时，也为后面双曲线与抛物线的学习奠

6、定基础。四、实验过程：环节一：复习定义合作策略一铃加里士随机他过。_婪励二一50班丑操作：（1）打开名为椭圆第一定义这个文件，拖动点 M,猜想轨迹是什么图象？（2）椭圆的第一定义概念： 时间：3分钟【设计意图】利用几何画板演示椭圆轨迹的形成过程，让学生一边观察，一边回忆椭圆的定义。一方 面强化“动点到两定点的距离和为定值”这一认识，另一方面提醒学生注意2a>2c是一重要条件，为这节课的探究奠定基础。环节二实例引入22例1已知M(0,6)是圆x +y =100内的一个定点,求经过M且与已知圆内切的动圆圆心 p的轨迹。操作：(1)打开名为例1这个文件，拖动点 M ,猜想轨迹是什么图象？答：轨

7、迹是(2)怎么证明你的猜想？(老师讲解)时间：7分钟【设计意图】通过例题，先让学生拖动点，利用已有经验去猜测轨迹的图象，再用所学知识去验证， 使得数学经验得以提升。我选取的这道例题，椭圆的中心不在原点，即两定点不关于原点对 称，打破学生的思维定势，引导学生通过“内切”这一关键条件得出“动点到两定点的距离 各为定值”这一结论。学生无须求写曲线方程。整个教学过程中，充分体现了学生的主体地 位，教师只是教学的组织者和引导者。环节三：变式练习会任及曜思为论工奖励二_J00班更已知圆O的半径为4, A是圆O内一个定点，且OA=2,点P是圆上的动点，若线段 AP的中垂线L交半径OP于Q,当P在圆上运动时，

8、求动点 Q的轨迹方程？操作：(1)打开名为练习这个文件，拖动点 M ,猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是(2)点击运动对象，验证轨迹图像；(3)怎么证明？并求出轨迹方程。时间：12分钟【设计意图】采用思对论的合作策略，解决同类型的问题，达到举一反三的效果，既巩固了知识，以 深化了对定义的理解。本题不仅要通过作辅助线来证明Q的轨迹是椭圆，还要学生自已建立坐标系，求出轨迹方程，对学生的能力要求更高。同时规范学生的书面表达，强调学生容易漏掉 |OP| > |OA|这一条件。这部分内容是本 节课的重难点，也是高考考点，老师要留给学生足够的时间和空间进行讨论和实验，所以花 费时间较多。环节四：自学成材

9、合旌笫略“对对死逡且他.双班出操作：(1)打开名为 椭圆第二岸文这个文件，如图,F是定点，直线l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到直线l的距离比e (e为小于1的常数)，拖动点M ,猜想轨迹是什么图象?答：猜想轨迹是(2)拖动点M,观察MF、MH、MF/MH三者的大小变化，你们发现什么？点击动画点，验证你的猜想。(3)在0<e<1的范围内，点击显示图像改变 e的大小(在线段 AB范围内拖动e),你们发现什么？(4)借助直角坐标系，我们可以把上述问题叙述为：(看课本51)(5) 了解什么是准线？准线为：直线 x=时间：6分钟【设计意图】利用“实验报告单”的形式，我把课本

10、一大段的文字，设计成5个小问题。采用对对解读合位£3策略“让空生菰及四题去寻找筌塞会.一我特别注意在学生思维最近发展区提出问题，使 学生面对适度的学习困难。这部分内容只需要学生了解即可， 所以花费时间较少。目的主要是让学生发现e的变化规律， 为后面双曲线与抛物线的学习奠定基础。(6)自学例6例：自学课本47页例6点M(x,y)与定点F (4, 0)的距离和它到定直线 x=4/25的距离的比是4: 5, 求点M的轨迹。(7)自学小结(教师)时间：4分钟【设计意图】使学生感受椭圆的第二定义，教学时要注意控制难度，不要对学生提出第二定义的概念， 更不要提出建立圆锥曲线统一方程的要求。奖励：

11、100 .班币环节五：趣味探究22如图1,过椭圆，+J=1(a>b>0)的左焦点Fi作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问 a b题。图1图2几何画板演示：打开趣味探究1拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运 动的动画按钮，跟踪点 M ,得到点M的轨迹是一个小圆。如图2.【轨迹2】 如图3,求弦AB中点P的轨迹方程。”几何画板演示：打开 趣味探究2,拖动主动点A,得到点P的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段 OFi即半焦距£。如图4。2【轨迹3如图5作AOAB的重心G,其轨迹也是一个椭圆。”【自主探究】 在弦AB上任意取一点Q,跟踪点Q,自主观察点 Q的轨迹是怎么样的？几何画板演示： 打开趣味探究3在弓玄AB上任取一点Q,跟踪点Q,拖动主动点 A,取到各种几何 图形（例如，如图68所示）：图6图7图8时间：6分钟【设计意图】前面探究活动的几何画板素材是“课外兴趣小组”的作品，而在这环节，让学生自己画出垂线、中点等，得到动点的轨，具有挑战性。一个重要目的是帮助