时间序列的指数平滑预测技术

1、第五章时间序列的指数平滑预测技术本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方 程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔 特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平 滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。5.1 常用模型的指数平滑法5.1.1 基本公式与预测方程利用时间序列前t期的观察值Xi,X2，湎测第t+1期的值Xt + i时，设赋予第i期的权重为Wt+i-i (i=1,2 - t), 1>W2>>wt，计算 诸观察值的加权平均：1Xt ' 2Xt 一 1 -.二沱 txi Wt =12 . 't并取第t+1期预测值

2、为这就是所谓加权平均法。加权平均法的缺点：?t 1 = Wt(1)权重不易确定(2)要记忆的数据太多(3)计算较繁权重不易确定自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降， 即第t期，第t-1期的权重依次为一I ,、工 1：1,、工 1：, 2 ,.(:工 >0,0 <-:二 1 )由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。我们使这一条 件当t趋近-时成立，即使得:工 7 7 2. =1各期权重依次为上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。为此，我们考虑t充分大时的情形，这时得到：2Tt =二 X 二(1 - : )xt -1 : (1

3、 - : ) X-2将滞后一期拿出：Tt -1 = ： xt _1 一 ：工(1 - ? )xt _2 ：工(1 - : )2xt -3 .得到即：上式称为指聂平息”甫健Tt公'：口铁个公式是用递推公式给出?t iTtTt 二 xt(1 - ： )T t _i的，口叫做平滑常数，0 < % <1,其值可由预测者任意指定。Tt称 为T的(实际上也是x的)第t期的指数平滑值。指数平滑法的预测 方程是：即把第t期的指数平滑值作为第t+1期的预测值。指数平 滑法的基本做法用公式的形式表述出来就是：新的估计值=平滑常数X利用当前期资料的估计值+(1平滑常数)X只利用 历史资料的估计值

4、xt 1 = xt (1 -二)xt指数平滑法优点：既继承加权平均法重视近期数据的思想，又能克服以上三个缺点。例5-1某经济变量前5期的观察值是5, 6, 4, 6, 3取二=0.2, =5进行预测。利用公式(5-5)和(5-6)逐期计算：解题过程：=5?2=5T2 = "2 (1-1)=0.2 6 0.8 5 =5.2 ?3 = 5.2T3 =j3 (1-1)T2 =0.2 4 0.8 5.2 =4.96 ?4 = 4.96把计算结果列入下表5.1中：表5.1指数平均法预测1155265.25344.965.2465.1684.96534.73445.16864.73445.1.2

5、 平滑常数对预测结果的影响a越小，对数据的平滑能力越强，但对数据变化的敏感性越 差，口越大，对数据的平滑能力越差，但对数据变化的敏感性越强。例5-2时间序列前10期的观察值由表5.2中xt列给出，试分别以口 =0.1,05,0.9为平滑常数进行预测，取初值 二5。经计算，把各预测值都列入表 5.2中。表5.2用不同的6进行指数平滑预测1r 51245.05.05.0364.94.54.1475.05.35.8535.26.16.9625.04.63.4754.73.32.1864.74.14.7934.85.15.91074.74.03.35.1.3 基本公式的显式形式反复利用公式（5-5），

6、可以得到5.1.4 初值对预测值的影响及其选择初值只是对前若干期的预测值产生较大影响， 随着t的增大, 它对预测值的影响越来越小。例5-3时间序列前12期的观察值如表5.3中xt歹I所示。取口 =0.2, 试分别用初值Ti=2, Ti=7进行预测。表5.3用不同的初值进行指数平滑预测1225275.0372.66.64.0443.56.73.2563.66.12.6654.16.12.0734.35.91.6854.05.31.3934.25.31.01024.04.80.81163.64.20.71254.14.60.5134.24.70.4我们对初值的选取提出以下建议:(1)如果只有一期数

7、据，没有任何其它任何信息，不妨取Tl=x1c(2)如果已有若干期数据了，可以取T1为前几期数据的平均值。 如果数据很多，可以用前一半数据的平均值取初值，用后一半数据 平滑。(3)如果在应用指数平滑法预测之前，已用其它方法作过预测， 可把用其它方法得到的第1期的预测值作为指数平滑法的初值。(4)对初值的选取，也可以采用专家估计的办法。(5)用逆平滑法取初值。所谓逆平滑法就是：先选定一个初值T1,用指数平滑法逐期平滑，直到数据的最后一期；然后再用所得预测值作为初值， 由后向前逐期平滑，直到第1期。用这时所得的预测值作为真正预 测时正式的初值。(5)如果数据不多，对口的选取信心不足，可以采取观望态度

8、， 也就是说，前几期预测结果暂时不要用于决策，等看到预测值可以 相信的迹象时再用。(6)如对初值的选取把握不大，开始时可选取较大的0c以减轻预测值对初值的依赖；过一段时间后，再把 0c的值降下来。5.1.5 基本公式的误差校正形式F面公式称为指数平滑法的误差校正式。Tt =(% et)(1 -二)Tt -i=：(Tt -i et)(1 - ： )Tt -i=Tt _i 7工 et或写成：习题：1 .下列时间序列中，哪些适合于用简单指数平滑法预测?100110105103959798100103105;(2)15161823222829353338;100958093756059625554;(

9、4)100150100150100150100150100150.2 .用简单指数平滑法对下面的时间序列进行预测，取 =0.2,T1 二x1，并计算 MSE 及 MAPE。1101010101-210003100541015510226102173 .用简单指数平滑法预测，取 =0.2,利用误差校正式填写下表中 的空白处：1028.5529-0.451128.0028.91-0.911230.3228.7281.592134 .对第1题(1)中的时间序列,取初值T1 = 100,分别用% =0.2和0.5 作简单指数平滑预测，并在同一直角坐标系中把实际观察值和两种 预测值都画出来，分别以折线连

10、结。这两条预测线中，哪一个波动 较小，哪一个对数据变化更加敏感？ 本节需要注意的问题：本节讲 的指数平滑法只适合常数模型，为了和以后要讲的其它模型的指数平滑法相区别，本节讲的常数模型的指数平滑法为简单指数平滑法。5.2线性模型的指数平滑法本节所要研究的是线性模型，即xt= Tt bRt t(加法模式)或 xt . = (Tt b )Rt t(乘法模式)这里，t表示当前期，Tt表示第t期(当前期)的趋势值。b=Tt Tt-1称为趋势增量，它表示每过一个时期趋势值的增加量。5.2.1霍尔特指数平滑法(1)基本公式与方程Tt ”xt (1 - : )(Ttbt ,i) (5 -14)bt = : (

11、Tt -Tt -1) (1 - - )bt _1(5 -15)预测方程：其中各符号的意义：t：当前期E：预测超前期数(或称预测步长)Tt, Tt_1：利用第t期或前t，期数据对第t期或第t 一1期趋势的估计。bt, bt利用前t期或前t，期数据对趋势增量b的估计xt：第t期的实际观察值?t +E利用前t期数据对t +7期的预测值% B：平滑常数0 <% P <1利用公式(5-14)和(5-15)计算时，除两个平滑常数外需先指定两个初值和b1。例5-4 时间序列前 4期的观察值为 2, 4, 3, 6取=0.2,=0.05,T1=2, b1=7,用霍尔特方法对第2期-第4期作步长丁

12、=1的追溯预测，并对第5期至第7期分别作步长的预测。反复利用公式(5-14)-(5-16)，得T1 =2 b1 =0?2b1 = 2 0 =2T2 = h (1-二)(T1 b1) =0.2 4 0.8 (2 0) =2.4b2 二 B(T2 -T1) (1 - 1 )b1 =0.05 (2.4-2) 0.95 0 =0.02详细结果列于表5.4中，为了对第5期一第7期作预测，表5.4霍尔特方法预测1220242.40.022332.5360.02582.42463.24940.00022.561853.309663.369873.4300（2）关于初值的研究例5-5 我国1978-1987年

13、间各年的棉布产量如表 5-5中xt所示（单位:亿米）,试预测1988年的产量。画出散点图（图5-4）。从图中看出，这些点大致分布在一条直线 的附近。取 =0.2, P =0.05。表5-5我国棉布产量的预测T1 (1978年)110.3116.65.62121.5122.25.593122.23134.7129.15.6635127.74142.7136.35.7432134.75153.5144.45.8576142.16148.8149.95.8435150.27137.0152.05.6558155.88146.7155.55.5161157.79164.7161.85.5818161.

14、010(1987 年)173.0168.55.6394167.311(1988 年)176.2174.1MSE=84.9725,MAPE=5.164%(3)误差校正式et = xt - X =xt - T t_i -b t_i故 xt = T t _1b t _1et将此式代入(5 -14)中，T t = ：- (T t _1b t _1et)(1- : )( T t _1 bt _1)二T t .1bt et - t t .1 - b t .1 - ? t t .1 - : bt=Ttbt：吹 et(5 -19)再将此式代入公式(5 - 15)中bt = P(Tt bt _1 ;工 et -

15、 Tt)(1 - - )bt ,1二 bt _1 ； et(5 - 20)上式是由公式(5-16)得出下一步预测误差。5.2.2布朗二次公式(5-19)(5-20)便是霍尔特法的误差校正式指数平滑法1、基本公式与预测方程布朗二次指数平滑法就是为了弥补这种缺陷的一种方法.所谓二次指数平滑法，就是对一次指数平滑后的序列再作一次指数平滑 ，使序 列反映出线性趋势，建立线性方程进行预测的方法。2、误差校正式5.2.3布朗适应性平滑法例5-7 对2, 4, 3, 6四个数据，用布朗适应性平滑法，取 r=0.9,Ti=2,bi=0.利用公式逐期计算Ti=2bi=0?2 =Ti bi =2 0=2 2_ T

16、2 =Ti bi (I r)e2 = 2 0 0.19 2 =2.382一_ _ _ _ _b2 =b1 (i=)et =0 0.01 2 = 0.02?3 =T2 b2 =2.38 0.02 =2.4e3 =X3 -?3-2.4 =0.6详细结果见表5.8。表5.8布朗适应性平滑法预测r1220242.380.0222332.5140.0262.40.6463.19740.06062.543.4653.25863.318673.37925.2.4各种方法间的关系1、应性平滑法与二次指数平滑法的等价性2、应性平滑法与二次指数平滑法都是霍尔特指数平滑法的特 殊情形5.3比例模型的指数平滑法5.3

17、.1缪尔指数平滑法例5-8时间序列前5期的观察值为：2.2,2.4,272.9,3.3试用缪尔指数平滑法预测第6期和第7期的值。取 =0.2,P=0.05,Ti=2.2, n = 1。利用公式逐期计算：Ti =2.2r1 =1?2 =Tir1 =2.2 1 =2.2T2 72 （1 _ 二）一 1r1 =0.2 2.4 0.8 2.2 1 =2.24 一 .224r2 =（1 一）r1 = 0.05 0.95 1 = 1.000012.2?3=T2r2 =2.24 1.0009=2.242详细结果见表5.11。表5.11缪尔指数平滑法预测绘12.2234562.42.72.93.32.22.2

18、42.33362.45242.63241.00001.00301.00541.00872.22.2422.34052.46552.65552.6787这里，预测值比实际值低得较多，主要原因是r的初值取为n=1太低, 而且P =0.05较小，数据个数又太少。5.3.2线性化目前，缪尔指数平滑法应用还不十分普遍，因为比例模型(乘 法模式)可以通过简单的变换转化为线性模型，然后利用线性模 型的预测方法预测。例5-10利用例5-9中的数据，采用比例模型，再线性化，预测 我国1988年客运总量。首先把10个原始数据分别取对数，得出x； = Inxt的10个观察值。用霍尔特方法。取 =0.2, = =0.05o初值用与上例类似的办法选取(即用公式(5-18), k=5):详细计算见表5.13。1=13.7512，故1988年我国客运总量预测值为?11 =e137512 =937721 （万人）MSE=1.3004X109MAPE=7.3188%表5.13比例模型线性化方法t1 （1978年）12