高中三角函数常考知识点及练习题

1、函数常考知识点及练习题1 .任意角的三角函数：(1) 弧长公式：l=|aRR为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。(2) 扇形的面积公式：S = llRR为圆弧的半径，l为弧长。2(3) 三角函数(6个)表示：a为任意角，角a的终边上任意点 P的坐标为(x, y),它与原点的距离为r (r>0)那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：yx. ysin a = , cosa=-, tana =,rrx， xrrcota=, seca=-, csca=.yxy(4)同角三角函数关系式：倒数关系： tana cot a =1 c o a c oa =si,a 1 -cosa a

2、 1 cosasin = ±J, cos- 二 ±J2222I, a 1 - cosa ,tan:.2, 1 cosasin a 1 - cos a1 cosa sin asina商数关系：tana =,cosa平方关系：sin2 a cos2a=1(5)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)k-n/2+a所谓奇偶指的是整数 k的奇偶性函数2 .两角和与差的三角函数：(1)两角和与差公式：tana - tan :tana(a ± F)=-1注：公式的逆用或者变形1 - tan a tan -(2)二倍角公式：2 tana-tan 2a =2从二倍角的余弦公式里面可得

3、出1 -tan a降募公式：cos2 a = 1+cos2a ,(3)半角公式(可由降募公式推导出)：3.三角函数的图像和性质：(其中 kz)三角函数定义域(-OO, +OO)(-OO, +OO)值域-1,1-1,1(-OO, +OO)最小正周期奇偶性奇偶奇单调性单调递增 单调递减单调递增 单调递减单调递增对称性零值点最值点x = 2kn ,ymax =1 ；x=(2k +1)打，无4.函数y = Asin(cox +中)的图像与性质:(本节知识考察一般能化成形如y = Asin(8X +中)图像及性质)2 二(1) 函数y = Asin(cox +呼)和y = Acos(eox +中)的周期

4、都是T= 忖(2) 函数y = Atan(国ix十平)和y = Acot(6x十邛)的周期都是T =-制(3) 五点法作y = AsinQx十中)的简图，设t=®x十中，取0、三、冗、之、Zr来求22相应x的值以及对应的y值再描点作图。(4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看 “变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。(附 上函数平移伸缩变换)：函数的平移变换：y = f (x) t y = f (x±a)(a >0)将y = f (x)图像沿x轴向左(右)平移 a个单位(左加右减)y = f

5、(x)T y = f (x) 士b(b >0)将y = f (x)图像沿y轴向上(下)平移 b个单位(上加下减)函数的伸缩变换：1y=f(x)T y = f(wx)(w>0)将y = f (x)图像纵坐标不变， 横坐标缩到原来的 一 w倍(w >1缩短，0 < w <1伸长)y=f(x)T y=Af(x)(A0)将y = f (x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A >1伸长，0 < A<1缩短)函数的对称变换： y=f(x)Ty = f (-x)将y = f (x)图像绕y轴翻折180° (整体翻折)(对三角函数来说：图像关于

6、x轴对称) y = f (x)T y = _f (x)将y = f (x)图像绕x轴翻折180° (整体翻折)(对三角函数来说：图像关于y轴对称)y = f (x) t y = f ( x)将y = f (x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)y=f(x)T y=|f(x)保留y=f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕 x轴翻折上去 (局部翻动)5 .三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。(1) 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、

7、删除 角的恒等变形(2) 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：asin日 +bcos6 =%'a2 +b2sin(日+邛)其中 cos.：- a 四一一 b.a2 -b2a2 - b2(3) 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“ 1”。(4) 募的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降募处理，有时需要升募例如：Ji +cosa常用升募化为有理式。(5) 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。(6) 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整， 或重新分组，或移项,或变乘为除

8、，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。(7) 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法(8) 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。(9) 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sina + cosa , sinacosasinacosa,已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。6 .函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法)：y =asinx +b (或acosx +b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论y =asinx+bcosx型：引进辅助角化成

9、 y =Ja2 +b2 sin(x +平)再利用有界性y = a sin2 x + b sin x + c型：配方后求二次函数的最值，应注意 sin x W 1的约束asinx +by=型：反解出 sinx,化归为 sinx三1解决csinx +d y =a(sin x+cosx)+bsin x cosx+c型：常用到换元法：t = sinx + cosx,但须注意t的取值范围：t三五。（3）三角形中常用的关系:sin A =sin(B +C),cos A = cos(B + C),sin公B C二 cos2sin2A = sin2(B +C) , c o 2A = c o 2(B+C)练习题

10、:1. (08全国 6) y = (sin x cosx)2-1 是()A.最小正周期为 2冗的偶函数B.最小正周期为 2兀的奇函数C.最小正周期为 冗的偶函数D.最小正周期为 冗的奇函数* 一 （.冗上_. 一一2. （08全国一 9）为得到函数 y=cos x+ I的图象，只需将函数y=sinx的图像（）,3,. 万A.向左平移个长度单位6C.向左平移且个长度单位6,. 万B.向右平移,个长度单位6D.向右平移5?个长度单位63.（08 全国二 1）若 sin a <0且 tana >0是，则 口 是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角4. (08 全

11、国二10).函数 f (x) =sin x - cosx 的最大值为()A.1 B .J2C .33D . 25. （08安徽卷8）函数y =sin（2x+）图像的对称轴方程可能是（）JTJEJIJEA x =B. x = - C. x= D, x =一612612JI6. (08福建卷7)函数y=cosx(x 6 R)的图象向左平移 一个单位后，彳#到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7. (08 广东卷 5)已知函数 f (x) =(1+cos2x)sin 2 x, x w R ,贝ij f (x)是()A、最

12、小正周期为 冗的奇函数 B 、最小正周期为的奇函数2nC、最小正周期为 冗的偶函数 D 、最小正周期为一的偶函数28. （08海南卷11）函数f （x） =cos2x+2sin x的最小值和最大值分别为（）A. -3, 1B. -2, 2C. -3, -D. -2, 3229. （08湖北卷7）将函数y =sin（x 日）的图象F向右平移 一个单位长度彳#到图象F',若F'3的一条对称轴是直线x = 土，则日的一个可能取值是（）1八5A. 一 二12B.-7：C. 7： D.121211-n1210. （08江西卷6）函数f（x）=sin x。.x sin x 2sin2A.以

13、4n为周期的偶函数B.以2n为周期的奇函数C.以2n为周期的偶函数D.以4冗为周期的奇函数11. 若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x） = cosx的图像分别交于 M , N两点，则MN的最大值为（）A. 1B. J2C. J3D. 247712. （08 山东卷 10）已知 cos |a 一一 f+sina =一底,则 sin la + I 的值是（）65.6A. 一型 B " C. -4月 11 D叵22, 2255513. （08 陕西卷 1） sin330口等于（）2.14. （08 四川卷 4） （tanx+cotx ）cos x = （ ） a. tanx B

14、.sinx c . cosx d. cotx15. （08天津卷6）把函数y=sinx（xw R）的图象上所有的点向左平行移动二个单位长度，再3，一一，一，一，一，1 ，乙一一，厂把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是2）A . y =sin 2x -一，x u R3,. xB. y =sin , 一 十 , x 二 R2 6八. i八，n. _C. y =sin . 2x + , x u RI 3 JD. y=sin .2x+，xc RI 3 /16.（08天津卷9）5.5 二,设 a = sin7 , b =cosx2-、c = tan，贝I（）a

15、. a : b :二 cb. a : c :二 bC.b : c :二 a d. b : a :二 c2 一17. （08浙江卷2）函数y = （sin x+cosx） +1的最小正周期是（）二八3 二cA. B .C. 一 D. 2 ：18. （08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数 y =cos（x +3（xw 0,21）的图象和直小 1.一一线丫=一的交点个数是()A.0B.1C.2D.4219. (08北京卷9)若角a的终边经过点 P(1, 2),则tan2a的值为冗,其中缶> 0 ,则切=521. (08辽宁卷16)设x10|；则函数,2_22sin x 1+y 二的最小值

16、为sin 2x22. (08浙江卷12)代.、3,右 sin( +8)= ，则 25cos21二2+x)的最大值是(口)令 g(x) = f .x+ I 3J，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.23. (08 上海卷 6)函数 f(x)=43sin x +sin(24. (08四川卷17)求函数y = 74sin xcosx+4cos2x4cos4 x的最大值与最小值。25. ( 08 北京卷 15)已知函数 f (x) =sin2 cox + J3sincoxsin Lox +I(coa0)的最小正2周期为 葭(i)求 的值；(n)求函数 f(x)在区间 °,红上的取值范围.一

17、 3226. (08 天津卷 17)已知函数 f(x)=2cos c x + 2sin w xcosw x +1 (x=R,6 > 0)的最JI小值正周期是一. ( I)求缶的值；2(n)求函数 f (x)的最大值，并且求使f (x)取得最大值的 x的集合.JIJIJI27. (08安徽卷17)已知函数f (x) =cos(2x-)+2sin(x-7幅访汽+ 7(I )求函数 f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程兀 JI(n)求函数f (x)在区间-,-上的值域12 228. (08 陕西卷 17)已知函数 f (x) =2sin'cosx2j3sin2 冬十 J3 .444

18、(i)求函数 f (x)的最小正周期及最值；练习题参考答案:1 .D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A2 1.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C19 . 4 20.10 21.3322. _L 23 232524. 解：y =74sin xcosx +4cos2 x4cos4 x2,i由于函数z =(u 1 ) +6在111 中的最大值为最小值为 故当sin2x = 1时y取得最大值10 ,当sin2x =1时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角

19、公式降募，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键;25.解：(I)f (x)=1 - cos 2 x 、3 . c sin 2 x =22卷sin2.xcos2.x222=sin因为函数f (x)的最小正周期为 久,且切A 0 ,-2兀所以=九，斛得0=1.2(n)由(I)得 f(x) = sin i 2x -1 .622九因为0W x W，3九zc 冗77冗所以一W 2x W ,666所以 一1 < sin 12x -1 ，2.6因此0 0 sin 12x - 1十1 0 ° ,即f (x)的取值范围为 62226.解：2由题设，函数 f(x)的最小正周期是 万，可得羡=万，所以。=2.(n)由(I)知，f(x ) = <2 sin 4x +，卜2