简谐荷载作用下饱和土体中圆形衬砌隧道三维动力响应分析

1、1148岩土力学2021 年对于地铁运行引起的环境振动问题，目前已经提出了许多分析模型和计算方法。Chua 等1建立了 有限元分析二维模型，考虑了地铁-地基土-结构的相互作用，计算分析了一幢银行建筑在地铁振动环境下的动响应；Sheng 等2利用离散波数法建立了 一个预测模型，用以计算成层土中的圆形衬砌或无衬砌隧道在固定或移动简谐荷载作用下引起的土体动力响应；Gardien 等3开发了隧道振动的三维有限 元模型，模型中包含 3 个子模型，考虑了从振动产生到向外传播的整个过程；Forrest 等45首先提出了 Pipe-in-pipePiP模型，并结合双梁无砟轨道 模型，用解析的方法研究了全空间中

2、隧道的动力响应问题，考虑了轨道系统、衬砌结构与地层三者的耦合；Degrande 等6建立了三维模型用于计算地铁 列车引起的自由场振动，用有限元和边界元方法分别模拟隧道和土体，研究了隧道和土体的动力相互作用问题；Gupta 等7比拟了 PiP 模型和周期性有限 元-边界元耦合模型，两种模型在分析全空间中衬砌隧道的响应问题时，结果具有较好的一致性；刘维宁等8建立车辆-轨道根底-衬砌结构-地层系统的 三维有限元振动响应分析模型，对地铁引起地面振动响应进行计算分析；谢伟平等9利用有限元分析了地铁运行引起的土的波动特性，对列车荷载进行 了简化，并且考虑了地基土不同性质的影响；和振兴等10将轨道、隧道结构

3、和列车荷载简化后建立三维有限元动力分析模型，计算了列车引起的地面振 动，以分析隧道地基弹性模量和隧道埋深对地面振动响应的影响。以上的研究无论采用数值模拟还是解析方法，都是用单相介质模拟土体进行研究的。 然而，很多时候地铁隧道埋深较大，在富水地区一般位于地下水位以下，把土体视为饱和两相介质更接近于实际情况。已有的关于移动荷载动力响应的 研究说明，当荷载移动速度接近地基 Rayleigh 波波速时，将饱和土体简化为单相介质将带来较大的误差，无法准确预测荷载引起的振动11。 目前已有一些学者用饱和多孔介质模型模拟土体，考虑流-固两相的耦合作用，研究隧道与土体的动力相互作用。通过 Laplace 变换

4、，Senjuntichai等12得到了无限饱和多孔弹性介质中无限长隧道无衬砌内外表作用轴对称荷载和流体压力条件 下的瞬时响应解答；刘干斌等13引入一种黏弹性本 构模型来描述介质的流变和松弛性质，研究了无限黏弹性饱和多孔介质中圆柱孔洞有衬砌外表受轴对称简谐荷载和流体压力作用下的频域响应问 题；文献14研究了移动的空间轴对称荷载作用下饱和土中无衬砌隧洞的动力响应，并讨论了移动荷载的移动速度对隧洞动力响应的影响；考虑衬砌与 周围饱和土体的不完全连结，Hasheminejad 等15研究了轴对称环形移动荷载作用下的无限长圆形衬砌及周围土体的动力响应，并重点分析了衬砌与土体 不完全连结的影响；通过引入势

5、函数，黄晓吉等16研究了饱和土中带有衬砌的圆形隧洞在移动环形荷载作用下的动力响应，计算并比拟了 3 种隧洞模型单相弹性土体隧洞、饱和土体隧洞和饱和土衬砌 隧洞的动力响应。以上研究中虽然将土体视为饱和多孔介质，但都是在平面应变或者轴对称情况下 进行分析，无法研究地铁运行引起的振动及孔压等沿隧道轴向或环向的空间分布和传播规律。显然，采用三维模型模拟地铁荷载作用下的隧道动力响应 和土体波动更贴近实际。本文用无限长圆柱壳来模拟衬砌，用 Biot 饱和多孔介质模型1718来模拟土体，研究了全空间饱和 土中圆形衬砌隧洞在径向单位简谐点荷载作用下的 三维动力响应。引入两类势函数来表示土骨架的位 移和孔隙水压

6、力，并利用修正 Bessel 方程来求解各 势函数，结合边界条件，得到频率-波数域内位移和 孔隙水压力的解答，最后进行 Fourier 逆变换得到时 间-空间域内的动力响应。计算了隧道周围土体中一 点、隧道仰拱及其下方土体的动力响应，并根据计 算结果分析了荷载振动频率和土体渗透性对土体和 衬砌位移响应及土体孔压的影响。2 控制方程及求解 衬砌结构振动方程本文采用无限长圆柱壳模拟衬砌，衬砌的三维 模型以及所采用的圆柱坐标系统如图 1 所示，衬砌 在轴向 x、环向 y、径向 z 的振动方程如下4：xy, u, qyiwtF=ex, u, qxhz, w, qzaq图 1衬砌结构的三维模型Fig.1

7、 Three-dimensional model for lining第 4 期曾 晨等：简谐荷载作用下饱和土体中圆形衬砌隧道三维动力响应分析1149¶2u1 - v ¶2u1 + ¶2u¶wüïïïïïïïïïïïïïýïïïï矩阵A中各元素表达式可参见文献4中附录A.1。2.2饱和土体运动方程假定衬砌周围土体为均质饱和多孔介质，引入Biot 波动方程1718：a+

8、- v+¶x22a ¶q 2 2 ¶q 2 ¶xh2 æ 1 - v ¶2u¶3 w 1 - v ¶3 w ö+ -÷ +ç12 è 2a3 ¶q 2 ¶x32a2 ¶x¶q 2 ø1 - v21 - v2 ¶2uaq - ra= 0xE¶t 2Eh+ (l + a M + m )u2mu+ a Mw= r u& + r w&üj , ji b i f i ïi , jj

9、j , ji1 + v ¶2u1 - v ¶2u1 æ ¶2u¶w öýïþa Mu j , ji + Mwj , ji = rf u&i + mw&i + bw&i+ a+- ÷ +ç2 ¶q 2 a è ¶q 2 ¶q ø2 ¶x¶q5式中：ui、wi 分别为土骨架位移分量和流体相对于 土骨架的位移分量；ui、wi 上的“·表示对时间 t 求导； l 、 m 为土骨架的 Lam&

10、#233; 常数； a 、M 为土颗 粒和孔隙流体压缩性的常数； b = h / kd 为反映黏性 耦合的参数，h 、kd 分别为流体的动力黏滞系数和h2 é 3(1 - v) ¶2u3 - v ¶3w ù1 - v2+ú + aq -ê¶x22a ¶x2¶q ûy12 ë 2aEh1 - v2 ¶2ura= 0E¶t 2ïh2 æ ¶4 w2 ¶4 w1 ¶4 w ö¶u1 æ

11、82;uö÷ - ïv+- w ÷ - ç a+ç12 è ¶x4a ¶x2 ¶q 2 a3 ¶q 4 ø ï¶xa è ¶qøï土的动力渗透系数； r = n r + (1 - n )r ，n0 为土h2 æ ¶3u1 - v ¶3u3 - v ¶3u2 ¶2 w ö1ïb 0 f0 s-+ w +÷ +ïç体的孔隙

12、率， r 、 r 分别为流体密度和土骨架密12 è ¶x32a2 ¶x¶q 2 2a ¶x2¶qa3a3 ¶q 2 øf s度； m = rf / n0 。均质饱和多孔介质的本构方程为s ij = ldij e + 2meij - adij pfïï1 - v21 - v2 ¶2 waqz - ra= 0ï2¶tþ1EhEüïýïþ6式中：E、 r 、 分别为衬砌的弹性模量、密度、泊松比；a 为衬砌壳体中面

13、的半径；h 为衬砌厚度；环 向角度q 见图 1；u、u 、w 为衬砌中面沿 x、y、z方向的位移；qx、qy、qz 为衬砌中面沿 x、y、z 方向的净应力，等于作用在衬砌内、外外表荷载所产生 应力的差值。位移分量及应力分量见图 1。当作用在无限长圆柱形衬砌的荷载为简谐荷载，并且荷载作用线位于q =0°平面内时，各应力 分量为p = -a Me + M zf式中： z = -wi ,i ； s ij 为土体单元总应力； e = ui ,i 为土骨架的体积应变； eij = (ui , j + u j ,i ) / 2 为土骨架应变； d ij 为 Kronecker 符号；pf 为孔隙

14、水压力。根据 Helmholtz 矢量分解定理，可以把式5中土骨架位移 u 和流体相对于骨架的位移 w 用标量 势和矢量势分别表示为u = Ñj + Ñ ´y ，w = Ñc + Ñ ´ 7q = Q%cos nq ei (wt +x x ) ü式中：j 、y 分别为土骨架局部的标量势函数和矢量势函数； c 、 分别为流体局部的标量势函数和 矢量势函数。在稳态情况下，将式7代入波动方程5，x xnïýïïþq = Q%sin nq ei (wt +x x )cos nq ei

15、 (wt +x x )2y ynq = Q%z zn式1中的各位移可表示为it并将时间因子 e代入计算中，可以得到两组耦合方程：u = U%cos nq ei (wt +x x )sin nq ei (wt +x x)üïn%u = V3ýncos nq ei (wt +x x ) ïél + a 2 M + 2m a M ù éÑ2j ùé- r w 2- r w 2ùúûw = W%bfú êú = êï

16、4;êënMÑ2 c-r w 2 -mw 2 + iwba Mû ëûëf式中：i = -1 ；w 为角频率；x 为波数；Q% 、Q% 、xnyn´ éj ùQ% U% 、 V 、 W 为应力位移在环向模态zn n n n数 n 下的量n 为不小于 0 的整数，而上标“表明这 6 个变量为频率-波数域内的量。 将式2、3带入式1，写成矩阵形式为%8ê úë c û0ù éÑ 2y ùé-r w 2 -r w

17、 2é mù éy ùú = êbf9êëú êú ê ú- r w2 -mw 2 + iwb000û ëûû ëûëfìU% ünìQ% üxn2式中：Ñ 为 Laplace 算子。为公式推导简便起见，ï % ï-a(1 - v2 ) ïïíQ% yn ý A íVn 

18、3; =4it这里及下文变量中的时间因子 e均被省略。由式8、9得到如下的 Helmholtz 方程19：Ehï % ïï % ïïîWn ïþïîQzn ïþ1150岩土力 学2021 年22Ñjf,s + kf,sjf,s = 01011将式7展开，再利用式14有土骨架沿 r、z 方向的位移分量表达式为2 2Ñ y + kt y = 0式中：kf、ks 和 kt 分别代表饱和土中快纵波P1 波、慢纵波P2 波和横波S 波的复波数，并且有ü&#

19、239;ïïýïïï¶j¶j1 ¶y¶ys + z - qu = +fr¶r¶rr ¶q¶z1 æ ¶jf¶js ö¶y r¶y z2= B m B - 4 AC17uq =+ ÷ + -çk 212r è ¶q¶q ø ¶z¶rf,s2 A= ¶jf + ¶js + 1 ( ry q ) - 1

20、¶y r¶k 2 = Cu13zï¶z¶zr¶rr ¶qþtD其中： A = (l + 2m )M ， B = (l +a 2 M + 2m ) ×为了求解 Helmholtz 方程10、11，设势函数具备如下形式：(mw2 - ibw) +r w2 M - 2r w2a M ， C = r w 2 (mw 2 -bfb2 42ibw) - rf w ， D = m(mw - ibw) 。利用式813，经推导整理，各势函数可表达为j = f (r )cos(nq )eix züf 1ï

21、j = f (r)cos(nq )eix z ïs 2ïy = g (r )sin(nq )eix z18ýr rj = jf + js ，c = mf jf + msjs ， = m ty其中：14y = g (r )cos(nq )eix z ïïïþqqy = g (r )sin(nq )eix zz z(l + a 2 M + 2m )k 2 - r w2r w2f,s bm=，m = -f。将式15、16、18代入式10、11，f,stmw 2 - ibwr w 2 - a Mk 2ff,s有r 2 f ¢

22、;+ rf ¢ - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 f = 0衬砌周围的全空间饱和土体三维模型及所采用的圆柱坐标系统如图 2 所示，土体模型的内径为 a与图 1 中衬砌相匹配，外径无穷大。在圆柱坐标 系统 (r, q , z) 下，式10、11中 Laplace 算子可表达为4üïïïýïïïþ1 1f1r 2 f ¢+ rf ¢ - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 f = 02 2s2r 2 g ¢ + rg ¢ - (x 2 - k

23、 2 )r 2 + n2 + 1g + 2ng = 0qr rtrr 2 g ¢ + rg ¢ - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 + 1g + 2ng = 0qqtqr222= 1 ¶jf,s + ¶ jf,s +¶ j f,s + ¶ jf,s1r 2 g ¢ + rg ¢ - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 g = 0Ñ 2j15z ztzf,sr ¶r¶r 2r 2¶q 2 ¶z 219Ñ 2y = Ñ 2y - y

24、r -2 ¶y q ö eæ式中的求导符号表示对 r 求导。利用标准变换不变性，可以设 g式19中的第 3 式可得+çr 2 r 2 ÷rr¶qèø= - g ，代入 ry2 ¶y- q +ræöÑ 2ye +Ñ 2y e16çq÷ qz zr 2 r 2¶qèør gr¢ + rgr¢ - (x - kt )r +(n + 1) gr = 0222 2220式中：er、eq 、ez 分别为沿圆柱

25、坐标系主方向 r、q 、z 的单位向量；y r 、y q 、y z 是y 的分量。可见式19中的第 1、2、5 式为 n 阶修正 Bessel方程，式20为 n+1 阶修正 Bessel 方程，它们的 解具有如下形式：zf1 = A1 I n (a1r) + B1 K n (a1r )f 2 = A2 I n (a 2 r ) + B2 K n (a 2 r )üïïe , uq qez , uzr21er , urýg r = - gq = Ar I n +1 (b r ) + Br K n +1 (b r) ïqïg z = Az

26、 I n (b r ) + Bz K n (b r )þaR®¥222 222222式中：a1 = x - kf ， a 2 = x - ks ， b = x - kt ；In、Kn 分别为第 1、2 类 n 阶修正 Bessel 函数；A1、B1、A2、B2、Ar、Br、Az 和 Bz 为待定系数。将式18中各势函数代入式17中，并注意到 g = - gr ，各位移分量可进一步表达为图 2饱和土体的三维模型Fig.2 Three-dimensional model for saturated soil第 4 期曾晨等：简谐荷载作用下饱和土体中圆形衬砌隧道三维动力

27、响应分析1151式26进行整理，可得饱和土体的土骨架位移及总应力的矩阵形式为u = æ f ¢ + f ¢ + ix g + n güïö cos(nq )eix zr ç 1 2z ÷rrèøïìu ü- g ¢ ù sin(nq )eix z ï 22= é- n ( frï) + ix gï+ fuýïïïþu = íu ý = S

28、 × U × Deix zêr z ú27q1 2rëûqï ïîuz þ) - n + 1 g= éix ( f- g ¢ ù cos(nq )eix zu+ fêr r úz1 2rëûìs ürrs = ïï = D eix zís rq ýS × T ×28对本构方程式6中的两项 ui ,i 、wi ,i 进行如下操作：ï 

29、39;îs rz þB10T式中： D = A1écos nqBz ui ,i = Ñ × u = Ñ j = Ñ jf + Ñ js = -kf jf - ks js ，22222，A2 B2 Ar BrAz00ù222wi ,i = Ñ × w = Ñ c = mf Ñ jf + ms Ñ js =S = êú ；U 和 T 均为 3×8sin nq000êêëú22-mf kf j

30、f - ms ks js23cos nq úû将上两式代入式6中，并使用圆柱坐标系下各应变的表达式4，有的矩阵。矩阵U 中各元素的具体表达式为3´8np = (a + m )Mk 2j + (a + m )Mk 2jüïïïïýïïïïþu11 =I n (a1r) + a1 I n +1 (a1r) ，ff f fs s sr¶urs= -a k 2j - a k 2j + 2mnrr f f f s s su =K n (a r ) - a

31、Ka r1 1 n +1 (1 ) ，¶r12r24= m æ 1 ¶ur + ¶uq - uq önsç r ¶q¶rr÷u13 =I n (a 2 r ) + a 2 I n +1 (a 2 r ) ，rqèør= m æ ¶ur + ¶u z öu = n K (nsa r ) - a Ka r) ，2 n +1 ( 2ç ¶z¶r÷rz142èøru15 = ix I n +1

32、(b r ) ， u16 = ix K n +1 (b r ) ，其中： af,s = l + a M (a + mf,s ) 。联立式18、22、24，可得nnu17 =I n (b r ) ， u18 =K n (b r) ；rrp = ëé(a + m )Mk 2 f + (a + m )Mk 2 f ûù cos(nq )eix z ünnff f 1s s 2u 21 = -I n (a1r ) ， u 22 = -K n (a1r ) ，ïïïïïïrr+ 2m ( f &

33、#162;+ f ¢) + 2mix g ¢ +s= éë-a k 2 f - a k 2 frrf f 1 s s 21 2rnnu = - I (a r ) ， u= - K (a r ) ，2m n g ¢ - 2m n g ù cos(nq )eix z23n 224n 2rrz úzr 2rûu25 = ix In +1 (b r) ， u26 = ix Kn +1 (b r ) ，ïnrnén( f1¢ + f2¢) + 2m 2 ( f1 + f2 ) + mi

34、x gr¢ - ïs rq = ê-2mu27 = - I n (b r) - b In +1 (b r ) ，ïýïïïïïïïïrërnn2n + 1mùu= -K (b r ) + b K + (b r ) ；mixgr - m g z¢ + g z¢ - m 2 g z ú sin(nq )errix z28nn 1rrûu31 = ix In (a1r ) ， u32 = ix Kn (a1r )

35、 ，u33 = ix I n (a 2 r ) ， u34 = ix Kn (a 2 r ) ，u35 = -b I n (b r ) ， u36 = b K n (b r) ，u37 = 0 ， u38 = 0 。矩阵T 3´8 中各元素的具体表达式为if ¢+ f ¢ - m g ¢ - m n 1 g ¢ +é(2 )s = ê2m xrz1rrrëm1 - x 2 g + mix n gcos(nq )eix zn +ùæö ç÷ rz úr 2&

36、#239;rèøûþ25é æ n - nö ùt = 2m+ a 2 - a k 2 I (a r) -2修正 Bessel 函数具备如下递推关系4êëçè1 ÷øf f ú n 1û11r 2In¢ ( z) = (n / z)In (z) + In +1 (z)Kn¢ ( z) = (n / z)Kn ( z) - K n +1 (z )In¢ ( z) = In -1 ( z) - (n / z )

37、I n (z)üïïýa12mI n +1 (a1r ) ,r26é æ n - n ö ùt = 2m+ a 2 - a k 2 K (a r ) +2ïêëçè1 ÷øf f ú n 1û12Kn¢ ( z) = - Kn -1 ( z) - (n / z)K n (z) ï2rþm a1a1r ) ,2K n +1 (将式21分别代入式22、25中，利用r1152岩土力学2021 年

38、3;æ n - nöùt = 2m+ a 2 - a k 2 I (a r ) -2各分量为êëçè÷ú132øs s n 2ûr 2ìU%ìT%üürnrrnï % ïï % ï2m a 2 I(a r) ,íUq n ý = U × D ，íTrq n ý = T × D29n +1 2ï % ïï % ï

39、;rîU zn þîTrzn þéæ n - nöùt = 2m+ a 2 - a k 2 K (a r ) +2êëçè÷ú2.3衬砌结构与饱和土体的相互作用为了研究隧道衬砌与土体的相互作用，考虑衬 砌与土体之间的边界条件为1衬砌壳体的应力等于衬砌内、外外表荷载 所产生应力的差值；2衬砌与土体接触面处位移、应力均连续；3衬砌与土体接触面完全不透水；4土体在无限远处的位移衰减为 0。如图 1 所示，假设衬砌内外表 x = 0、q = 0°仰 拱处

40、作用一个沿径向 z 的固定单位简谐点荷载， 它在 x、y、z 方向产生的应力分量为142 s s n 2øûr 22m a 2 K(a r) ,n +1 2rt = 2mixb I (b r ) - 2mix n + 1 I(b r) ，15nn +1rt= -2mixb K (b r ) - 2mix n + 1 K(b r ) ，n +116nrn2 - nnt17 = 2mI n (b r ) + 2mb I n +1 (b r ) ，rr 2n2 - nnt18 = 2mK n (b r ) - 2mb K n +1 (b r ) ；rr 2n2 - nnt21 =

41、 -2mI n (a1r) - 2m a1 I n +1 (a1r ) ，rd (x)d (q )r 2n2 - niwtpx = py = 0 ， pz =e30ant22 = -2mK n (a1r ) + 2m a1 K n +1 (a1r) ，rr 2n 2 - n式中：d (g) 为狄拉克 d 函数。该荷载在频率-波数域内的各应力分量为4nt23 = -2mI n (a 2 r ) - 2m a 2 I n +1 (a 2 r) ，rr 2n2 - nn = 0= ì1/ 2a,P%= P% = 0 ，P%n31ít24 = -2mK n (a 2 r ) + 2

42、m a 2 K n +1 (a 2 r) ，rxn ynznî 1/ a,n > 0r 2t= mixb I (b r ) - 2mix n + 1 I(b r ) ，根据第 1 个边界条件，由式4有衬砌与土体接触面处为25nn +1rt= -mixb K (b r ) - 2mix n + 1 k(b r ) ，ìU%ìQ%ìP%ìT%26nn +1üüüürnxnxnzxn- Ehïïïïïï ïïæ22

43、öbV%Q%P%T%n - n=-32 Aín ýyn ýyn ýzyn ýííít27 = ç -2mè- mb ÷ I n (b r ) + 2mI n +1 (b r ) ，ra(1 - v2 )ïïïïïï ïïr 2ïW%øïQ%ïP%ïT%ïïïïîn þî zn &

44、#254;î zn þ î zzn þoutside2æ2 öbn - nt28 = ç -2mè- mb ÷ K n (b r ) - 2mK n +1 (b r ) ；r% %式中： Tzxn 、 Tzyn 、 Tzzn 为土体作用在衬砌外外表的应力分量。注意到图 1、2 所采用圆柱坐标系的主方向并不 完全一致，根据第 2 个边界条件，比拟两图可得r 2ønt31 = 2mixI n (a1r ) + 2mixa1 I n +1 (a1r ) ，rnt32 = 2mixK n (a1r )

45、- 2mixa1 K n +1 (a1r ) ，ru º u z , u º uq , w º -urüïýïþn33t33 = 2mixI n (a 2 r ) + 2mixa 2 I n +1 (a 2 r ) ，sº -s , sº -s , sº srrqzz rrzxrz zyn式中：s zx 、 s zy 、s zz 为图 1 坐标体系下的应力，它们各自在频率-波数域内对应的量即为式32中t34 = 2mixK n (a 2 r ) - 2mixa 2 K n +1 (a

46、2 r ) ，rt= -m n b I (b r ) - m (x 2 + b 2 ) Ib r ) ，nn +1 (%的、。Tzxn Tzyn Tzzn文 献 4 已 经 说 明 当 r ® ¥ 时 ， In (g) ® ¥ 而 Kn (g) ® 0 ，根据第 4 个边界条件，式27、28 中 In 和 In+1 的系数应为 0，即35rt= m n b K (b r ) - m (x 2 + b 2 ) Kb r ) ，nn +1 (36rnnt37 = mixI n (b r ) ， t38 = mixK n (b r ) 。rrA1 =

47、 A2 = Ar = Az = 034比拟式27、28与式2、3可知，环向模态数 n 下位移 u 和应力s 在频率-波数域内的同时利用式33、34，可得衬砌与土体接触第 4 期曾晨等：简谐荷载作用下饱和土体中圆形衬砌隧道三维动力响应分析1153面处的位移、应力为ìU% üì U%ün zn- ì P%ìB üü1ù ï1ïé - Eh xnïï A × U ¥ + T¥ ïP% ïïB ï

48、;2 ê 2ý = F = a(1 - v )r = a úúr = aï % ïïïyn ýíí%íVn ý = í U n ý=êP%Bï r ïr = aï zn ïêúGï % ïï- % ïëûîWn þU rn þr = aïB ïï ï

49、î0î z þî þ40ì B1 üé uuuuuuuùïï32343638ïB2 ï = Uê uú再通过式35、38第 1 式，得到不同环向模态数 n 下 r = R (R a) 处的位移、孔压为ì U% üzn× F íB ýê28 ú222426¥r = aï r ïê-u-u-u-uúë1218 û

50、 r = a ïB ï14 16î z þ35ï U% ïéU ùïn ï F ¥%r = R41=×ìTzxn üì-Trzn üí-U%ýê G úêë 0r = R úûï % ïï ïï rn ï%íTzyn ý= í-Trn ý=ï P%

51、ïî fnþr = Rï % ïïïþr = a%îTzzn þoutsideî Trrn最后，进行 Fourier 逆变换，可得饱和土体中点(r, q , z) 处在时间-空间域内的土骨架位移分量、 孔压表达式为ìB1 üé-t32t34t36t38ùïB ïï2 ï = Tê-tú× F -t-t-tíB ýê28 ú¥22

52、2426r = aïr ïê tútttë 1218 û r = a ïB ïìU% cos nq ü örnìu r üæ1416î z þçï ÷ïï ï%ïuq ï =ïUq n sin nq ï ÷ eix z dx × eiwt1¥ç36¥å í42ò

53、; - ¥ çí ýý÷%ïu z ïïî pf ïþ2ç n = 0 ïU zn cos nq ï ÷将式35、36代入式32中，有çï Pfn cos nq ï ÷î %þ øè%ìPxn ü-Ehï % ï注意当 r = a 时，ur、u 、uz 同时也表示衬砌中 AU ¥ × F = 

54、37;Pyn ý - T¥ × F 37qa(1 - v2 )r = ar = aï ï面的位移。%ïîPzn ïþ算例和分析在本文算例中的荷载振动频率 f = w /(2)，取单3结合式34，展开式25中 pf 的表达式得= G × F × cos(nq )eix züïýpf 0738位点荷载的最大振动频率为 80 Hz 。计算结果中¶pf= G × F × cos(nq )eix zïUr、U 、Uz 和 Pf

55、 分别表示式42中土骨架的径¶rþq向、环向、轴向位移和孔压的幅值。为验证本文模型的正确性，将饱和土体退化为式中：环向模态数 n 下孔压 pf 在频率-波数域内的%量为 Pfn ； G0 及 G 均为 1×4 的矩阵。矩阵G0 1´4 、 G1´4 中各元素的具体表达式为单相介质土体 r 、b、a 、M、m 取 10-4，其余f参数同文献4，计算点r = 20 m，q = 90°，z = 0处的位移与文献4中相应点的位移进行比照，比照 结果见图 3。从图可以看出，二者结果吻合较好，验证了本文方法的正确性。= M (a + m ) k

56、2 K(a r ) ，g011f f n 1= M (a + m ) k 2 K(a r ) ，g012s s n 2g013 = 0 ， g014 = 0 ；16= M (a + m ) k 2 é n K(a r)ù ，g(a r ) - a K4f f ê rn 1 1 n +1 1ú11qrëû12F= M (a + m ) k 2 é n K(a r) - a K(a r)ù ，g8s s ê rn 2ú122 n +1 2ëûg13 = 0 ， g14 = 0 。

57、根据第 3 个边界条件，即 ¶pf4= 0 ，有0¶rr = a010 2030 4050 607080荷载频率/HzG × F = 0394图 3本文与 Forrest 等 的结果比照r = aFig.3 Comparisons between present workand Forrests work联立式37、39，有位移/(10-6 mm/kN)本文结果 Uq本文结果 UrForrest 等 结果 Uorrest 等4结果 U1154岩 土力学2021 年接下来的算例中所采用的各模型参数见表 1，其中衬砌参数从文献4选取，局部饱和土体参数从 文献20选取。

58、图 4 给出了土体 b 值不同时，衬砌周围饱和土体中 A 点r = 20 m，q = 90°，z = 20 m的位移幅值随荷载振动频率 f 变化的曲线。为了比拟，图 4中还给出了单相弹性土体泊松比取 中对应的 位移曲线。表 1 模型计算参数Model parameters for calculationTable 1衬砌参数饱和土体参数r /(g/cm3)r f / (g/cm3)r s / (g/cm3)M/MPa b/(N·s/m4)E/MPava/mh/ml /MPam /MPan0a5×1045×10310610102.50.330.253020

59、1.002.600.41.0重合。而当频率 f 超过最大峰值频率后，随着土体b 值的增大土体渗透性变差，各位移分量均有所 增大，但增大的趋势逐渐减小。b = 108 N·s/m4 时的各分量曲线与 b = 1010 N·s/m4 时的各曲线根本接 近，假设 b > 1010 N·s/m4，各曲线将不再随 b 值增大而增大，这说明当衬砌周围土体为渗透性较差的黏性土时，b 值的变化对土体位移响应的影响很小。A点的位移分量Uq 要明显大于分量 Ur、Uz。比拟图4(a)、(c)，Ur、Uz 曲线表现出的变化规律非常相似，数值大小也较为接近，这可能与 A 点距离荷载作用 点的轴向和径向距离相等r = z = 20 m有关。频率 f > 20 Hz 之后，饱和土中 A 点的位移分量曲线均出现有规律的波动，波动周期都接近 6 Hz， 产生这种波动的原因是土体中弹性波的干预。衬砌各断面的振动都