《空间直线与直线之间的位置关系》教学设计(优质课)

1、空间中直线与直线之间的位置关系(一)教学目标1 .知识与技能(1) 了解空间中两条直线的位置关系；(2)理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角公理；(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。2 .过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3 .情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣(二)教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2 、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.(三)教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平向内，两条直线有几种位置

2、关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答 生1:在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的1.空间的两条直线位置关系：'相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，I没有公共点共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线师（肯定）：这种位置关系我们把 它称为异面直线，这节课我们要 讨论的是空间中直线与直线的位 置关系.师：根据刚才的分析，空间的两 条直线的位置关系有以下三种： 相交直线一有且仅有一个公共 点平行直

3、线一在同一平面内，没 有公共点.异面直线一不同在任何一个平 面内，没有公共点.积极性.探索新知培养学生分类的能力，加深学生对空问的一条直线位置关系的理解随堂练习:如图所示P50-16是一个正 方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB, CQ EF, GH&四条线段所在直线 是异面直线的有对.现在大家思考一下这三种位置关 系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将 三种位置关系分成两类：一类是 平行直线和相交直线，它们是共 面直线.一类是异面直线，它们不 同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征 可说成“既不平行，也不相交”答案：4对，分别是H-EF, AB与 CD A

4、B与 EF, AB 与HG.(1)公理4,平行于同一条 直线的两条直线互相平行(2)定理：空间中如果两 个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补 例2如图 所示，空间 四边形ABC冲，E、F、G H 分别 是AB BC. CD DA的中点. 求证：四边形EFGK平行 那么“不同在任何一个平面内” 是否可改为“不在一个平面内呢” 学生讨论发现不能去掉“任何” 师：“不同在任何一个平面内” 可以理解为“不存在一个平面， 使两异面直线在该平面内”师：现在请大家看一看我们的教 室，找一下有无不在同一平面内 的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4:平行于同一条直线的

5、两 条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否 可以推广，它有什么作用.培养学生观察能力语言表达能力和 探索创新的 意识.通过分析和 引导，培养学 生解题能力.生：推广空间平行于一条直线的 所有直线都互相平行.它可以用四边形.证明：连接BD因为EH是4ABD的中位线,所以EH/ BD且EHBD .21同理 FG/ BD 且 FG =-BD .2来证明两条直线平行.师(肯卜面我来看例子们定)观察图，在长方体ABCD_ A B'C D'中，ZADCW/A' D' C ,因为 EH/ FG 且 EH= FG,所以四边形EFGH；平行四 边形./AD*/A'

6、B' C'的两边分 别对应平行，这两组角的大小关 系如何？生：从图中可以看出，ZADC= /A' D' C', /ADC+ /A' B' C' =180° 师：一般地，有以下定理： 这个定理可以用公理4证明，是 公理4的一个推广，我们把它称 为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图， 在作图的基础上猜想平行的直线 并试图证明.师：在图中EH FG有怎样的特 点？它们有直接的联系吗？引导 学生找出证明思路.探索新知3.异面直线所成的角(1)异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b,经 过空间点O作直线a'/ a,

7、 b' / b,我们Si a'与 b'所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分 析，得出如下结论.两条异面直线所成角的大小，是由这两条异向直线的相互位置 决定的，与点。的位置选取无关； 两条异面直线所成的角加深对平向直线所成角的理解，培养空间想象能 图力和转化 化归以能力.(或夹角).(2)异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这 两条直线互相垂直.两条互 相垂直的异面直线a、b,记 作 a±b.例3如图，已知正方体ABCD-A BC.(1)哪些棱"8所在直线与直线B

8、A是异面直线？(2)直线BA和CC的火 角是多少？(3)哪此棱所在的直线与直线AA垂直？解：(1)由异面直线的定义 可知，棱 AD DC CC、DD、 D' C'、B C'所在直线分 别与直线BA是异面直线.(2)由 BB' C CC 可知， /B' BA'为异面直线B A 与CC的夹角，/B' BA'=睚(0,;因为点。可以任意选取，这就 给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为 了简便，我们可以把点。选在两条异面直线的某一条上；找出两条异面直线所成的角， 要作平行移动(作平行线)，把两 条异面直线所成的角转化为

9、两条相交直线所成的角；当两条异面直线所成的角是直 线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线 a和b互相 垂直，也记作a±b;以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的， 也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习(3)直线 AR BC CD DAA B'、B' C'、C' D'、D' A分别与直线AA垂 直.1.填空题:(1)如图，AA是长方体 的一条棱，长方体中与AA 平行的棱共有 条.(2)如果 OAI O' A , OB/ O' B',那么 / AO

10、BffiA A O B'答案：(1) 3条.分别是BB , CC , DD ； (2)相 等或互补.2 .如图,已知长方体ABCDA B' C' D'中，AB=25 AD=2而，AA =2.(1) BC和A' C'所成的角学生独立完成答案：.2. (1)因为 BC/ B' C',所以 /B' C' A是异面直线A C' 与BC所成的角.在 RtAAz B，C'中，A B=2V3,B' C'二2而，所以/ B C A = 45° .(2)因为AA' / BB ,所以

11、/B' BC是异面直线AA'和 BB所成的角.在 RtABBz C'中，B' C = AD =2<3 , BB = AA =2,所以 BC = 4, /B' BC = 60° . 因此，异面直线AA'与BC所成 的角为60° .是多少度？AA 和BC 所成的角是多少度？归纳总结1 .空间中两条直线的位置关系.2 .平行公理及等角定理.3 .异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归 纳总结能力， 加深学生对 知识的掌握， 完善学生知 识结构.作业2.1第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1“a、b

12、为异面直线”是指：an b = 0, Ja/ b； a 二面o（, bu 面 P,且 anb = 0 ；a二面 o（, bu面 P ,且 a n P=0 ；a二面a, biz面o（；不存在面0（,使au面a, b匚面0（成立.上述结论中，正确的是（）A.正确B.正确C.仅正确D.仅正确【解析】 等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；等价于a、b不 同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D例2如果异面直线a与b所成角为50° , P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.【解析】如图所示，过定点 P作a、b的平行线a'、b',因 a、b成 50° 角，a'与 b'也成 50° 角.baP'a%B，b O 过 P作/ A/ A' PO= / B' PO= 25 0 .、/APA>A'PQ过P作直线l与a'、b'成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD已知AD=1 , BD= J3 ,且ADL BC,对角线BD=学，AC= 求AC和BD所成的角。【解析】取AR AD DC BD中点为E、F、G M,连EF、FG GM MEEG2-BCPB'的平分线，取较小的