【侯亚君版本《概率论与数理统计》】1-3章习题解答

1、1 .写出下列随机试验的样本空间S.一枚硬币掷两次，观察朝上一面的图案.向蓝筐投球直到投中为止，记录投篮的总次数.公交车五分钟一辆，随机到车站候车，记录候车时间.解 S = ie正，正反，反正，反反；样本空间为 S2 =1,2,3，；样本空间为S - It 0 -t _5"2 .设A, B,C表示三个事件，试用A, B, C表示下列事件.A与B都发生，而C不发生；A, B,C至少有一个发生；A, B,C都发生；(4) A, B,C都不发生；A, B,C不都发生；A, B,C至少有两个发生；A, B,C中最多有一个发生.解 ABC; Au B = C ; ABC; ABC; ABC ；

2、 (6) ABu BCuCA; ABuBCuCA或 ABu BC l> CA.3 .设A, B,C是三个事件，计算下列各题.若P(A) =0.4, P(B) =0.25,P(A B) =0.25，求B发生，但A不发生的概率.若P(A-B) =0.2,P(B) =0.6,求A, B都不发生的概率.若P(A=B) =0.7,P(B) =0.3,求A发生，但B不发生的概率.若 P(A) = P(B) =P(C) =0.25,P( AB) = P(BC) =0,P(AC) = 0.125，求 A, B,C 至少有一个发生的概率；A, B,C都不发生的概率；C发生，A, B都不发生的概率.111若

3、P(A) = ,P(B| A) = ,P(A| B)=,求A, B至少发生一个的概率. 432若 P(AB) =0.2, P(B| A) =0.5, P(B | A) =0.6，分别求事件 A,B 的概率.解 P(A_B) =P(A) P(AB)= P(AB) =0.15, B发生，但A不发生的概率:P(BA) =P(B) -P(AB) =0.1 ; P(AB) =1 -P(B) P(A-B) =0.2; P(AuB) =P(A) +P(B) -P(AB) , A 发生但 B 不发生的概率：P(A-B) = 0.4 ;P(AB)=0= P(ABC)=0, A, B,C至少有一个发生的概率:P(

4、A 一 B C) = P(A) P(B) P(C) -P(AB) - P(BC) - P(AC) P(ABC) = 0.625A, B,C 都不发生的概率：P(ABC) =1 P(A= BuC) =0.375;C发生，A, B都不发生的概率：P(CAB) =P(C) -P(AC 一 BC) =P(C) -P(AC) -P(BC) P(ABC) = 0.125 ；心P(AB)1 P(B|A)P(AB)=-,P(A)12，八-、一、1A, B 至少发生一个的概率：P(Au B) = P(A)十 P(B) P(AB)=;3P(A) -P(AB) P(B | A)P(A) =0.4,P(A)4.从0,

5、1,2，,9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率.三个数字中不含 0和5；三个数字中不含 0或5;三个数字中含 0但不含5.解 设事件 A, B分别表示三个数字中不含 0和5,则三个数字中不含 0和5的概率：C3 C3-C；14C13015'P(AB) *C10715，三个数字中不含0或的概率:P(A - B) = P(A) P(B) - P(AB);三个数字中含 0但不含5的概率：P(AB) = P(B) P(AB)=C93 - C837C13)- 305.把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少.解 设事件A,B,C分别表示有

6、球最多的杯子中球数是1,2,3 ,则有球最多的杯子中球数是1A434的概率是：P(A) = 3 =；有球最多的杯子中球数是3的概率是：P(C)=438431一；有球16一 . .一 .、一_ _9最多的杯子中球数是 2的概率是：P(B) =1 P(A) P(C) = ；96.12个球中有4个是白色，8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个，求下列事件的概率.取到两个白球；取到两个红球；取到一个白球，一个红球.C2解 取到两个白球的概率：P( A)= =C1221一;11C214取到两个红球的概率：P(B) = = = 22 C1；33C1C1取到一个白球，一个红球的概率：P(C)=-y8C2

7、216O337.有50件产品，已知其中有4件次品，从中随机取5件，求(结果保留三位小数)恰有一件是次品的概率；没有次品的概率;至少有一件是次品的概率C1C4C解 恰有一件是次品的概率:P(A) = CC46 定 0.308 ；C50没有次品的概率：P(B)C5苫定0.647；C50至少有一件是次品的概率:P(B)=1 P(B)=0.353。8.从1,2,9这九个数字中，有放回地取三次，每次取一个，试求下列事件的概率(结果保留三位小数).三个数字全不同三个数字没有偶数6；三个数字中最大数字为三个数字形成一个严格单调数列三个数字之乘积能被10整除.解 三个数字全不同的概率:A3 P(A) V =0

8、.691 ； 93三个数字没有偶数的概率:P(B) =53 : 0.171;9363-53三个数字中最大数字的概率：P(C)= 3 =0.125;2C3三个数字形成一个严格单调数列的概率：P(D) = =0.230 ;9三个数字之乘积能被10整除的概率：P(E) =13_ 28 (C4 3! 4 3) (4 3) 1一93156729= 0.2149 .掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率解 设事件A, B分别表示两颗骰子点数之和为7,两颗骰子中有一颗为1点，则所求概率:10 . n个人排成一排，已知甲排在乙的前面，求甲乙相邻的概率解 设事件A, B分别表示甲排在乙的

9、前面，甲乙相邻，则所求概率：P(B A)=P(AB)P(A)(n -1!)/n! 21/2 n11.已知在10件产品中有2件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样 ，求下 列事件的概率.两件都是正品；两件都是次品；一件是正品，一件是次品；第二次取出的是次品.解 两件都是正品的概率:2845;C；P(A)C10.C21两件都是次品的概率：p(B)= 一 ；Cio 45一件是正品，一件是次品的概率：P(C)=c2c816Cw -45'设事件 A,A2分别表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式，8 2 2 11P(A2)=P(A)P(A2 A)+P(A)P(A2 A) =103+

10、历9 =5.12.袋中有5个红球，4个白球，从中取3次，每次取1个球.如果作不放回抽样，求前2次取到红球，后1次取到白球的概率；如果取到红球，将红球拿出，放回2个白球，否则不放回，求前2次取到红球，后1次取到白 球的概率.解 设事件A，i =1,2,3表示第i次取出红球，前 2次取到红球，后1次取到白球的概率:544 10P(AA2A3)=P(A)P(A2 A)P(A3AA2) =98 =63定 0.1587；前2次取到红球，后1次取到白球的概率:13. 8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支步枪中

11、任取一支，求击中靶子的概率；若 已知中靶了，求所使用的枪是校准过的概率解 设事件A表示击中靶子，事件 B表示校准过步枪，则P(A B) =0.8,P(A B)=0.3,53P(B)=5,P(B)=3, 88BA)、”40495349P(A) =-0.80.3 =-888014 .现有6盒粉笔，其中的3盒，每盒有3只白粉笔,6只红粉笔，记作第一类；另外2盒，每盒 有3只白粉笔,3只红粉笔，记作第二类；还有1盒，盒内有3只白粉笔，没有红粉笔，记作第三类. 现在从这6盒中彳J取1只粉笔，求取到红粉笔的概率；如果知道取到了红粉笔，求红粉笔取自第一 类的概率.解 设事件A表示取到红粉笔，事件 Bi，i

12、=1,2,3表示在第i类取出的，则P(A)=3 6 2 3 1 06 9 6 6127； P(B A)工2315 .若事件A, B,C相互独立，证明：C与AB相互独立；C与A= B相互独立；A与BC相互独立.证明： P(C(AB) =P(CAB) = P(C)P(A)P(B) =P(C)P(AB), C 与 AB 相互独立； P(C(A B)=P(CA CB)=P(AC) P(BC) - P(ABC)= P(C) 1P(A) +P(B) P(AB)=P(C)P(A，j B) , C 与 Au B 相互独立； P(A(B -C) =P(ABC) =P(AB) -P(ABC) =P(AB)(1 -

13、P(C)= P(A)P(B)P(C) = P(A)P(BC) = P(A)P(BC), A 与 B C 相互独立.16 .若事件 A, B相互独立，P(A)=0.5,P(Au B) =0.8，计算： P(AB); P(A B).解 P( A_. B) = P( A) P( B)- R A) R E)P( B P(AB) =P(A)P(B)=0.2; P(A= B) =1 P(AB)=1 P(A)P(B) = 0.7.17 .证明：若事件A的概率P(A) =0,则A与任意事件独立；若事件A的概率0 < P (A K 1则事件A, B相互独立的充分必要条件是P(B | A) =P(B| A)

14、.证明 设B是任一事件，则 ABUAn P(AB) = 0,得P(AB) = P(A)P(B) , A与任 意事件独立；必要性：若事件 A, B相互独立，则P(AB) = P(A)P(B),有P(B|A) = P(AB) =P(B), P(B| A) = P(AB)= P(B),因此，P(B | A) -P(B| A)P(A)P(A)充分性：若 P(B | A) = P(B| A),则 P(AB) _ P(B) P(AB) = P(AB) = P(A)P(B), P(A) 1 - P(A)因此，事件A,B相互独立。111、，18 .三个人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为 一，一，一.

15、问能译出此密码的概率5 3 4解设事件A，i =1,2,3表示第i个人独立地破译了密码，则能译出此密码的概率：19 .当危险情况发生时，自动报警器的电路即自动闭合而发出警报，我们可以用两个或多个报警器并联，以增加可靠性.当危险情况发生时，这些并联中的任何一个报警器电路闭合，就能发出警报，已知当危险情况发生时，每一警报器能闭合电路的概率为0.96.试求：如果两个警报器并联，则报警器的可靠性是多少 ？若想使报警器的可靠性达到0.999 9,则需要用多少个报警器并联？解 设事件A,i =1,2，,n表示第i个自动报警器能闭合电路两个警报器并联，则报警器的可靠性是：P(A = A2) =1 -P(A1

16、) P(A2) = 0.9984 ；nn _ P(一 A)=1e.I P(A) =1-0.04n _0.9999= n=3.i 1i 1若想使报警器的可靠性达到0.999 9,则至少需要3个报警器并联20 .设甲盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球；乙盒子中装有 2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球.求至少有一只蓝球的概率；求有一只蓝球一只白球的概率；已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率3 2 32 5解 至少有一只监球的概率：P(A) = 十 = 7 9 7 9 934 2 2 16有一只蓝球一只白球的概率：P(B)；79 79 6316已知至少有一只蓝

17、球，则有一只蓝球一只白球的概率:P(B勺背。356分钟，问在同21 .一大楼装有5台同类型的供水设备，调查表明在一小时内平均每个设备使用 一时刻,恰有2台设备被使用的概率是多少至少有2台设备被使用的概率是多少1 o 9 q解 恰有2台设备被使用的概率：B(2) =C；(记)2(布)3 =0.0729；至少有2台设备被使用的概率：1 _F5(0)+F5(1) = 0.08146。习题二1.将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记X为正面出现的次数，求X的分布律.,、1 31PX =0=(R -球 28,、一1 1 1 2PX =1 =C32(2)一 一 _ 2 1 2 1PX =2=C3(

18、2) 23:一，838，PX =3=(1)3=i 282 .有4个小球和两个杯子，将小球随机地放入杯子中，随机变量X表示有小球的杯子数，求X的分布律.一 一 2一 解 PX =1 = =0.125, PX =2 =0.875,23 .一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，随机变量 X表示取出的3只球中的最大号码，求X的分布律.21一一 .C5一一一 一解 PX =33 =0.1, PX =4 = W =0.3, PX =5 =0.6.C5C54 . 一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为p = 0.5 ,记X表示球队结束比赛时的比赛次数，求X的分布律.解

19、 PX =1 =0.5, PX =2 =0.5 =0.25, PX =3 = 0.5 , PX =4 = 0.125.5 .进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律(此时称X服从参数为p的几何分布).将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律(此时称Y服从参数为r, p的负二项分布分布或巴斯卡分布).-k4解(1) PX =k= pq ,k=1,2, ；r 1 r k _r PY =k =Ck：pq，k =r,r 1,6.设离散型随机变量 X的分布律为求A的值及概率 P1 <X <

20、;3.一 二 2 k1解 AZ (-) =1= A =,327 .一大批电子元件有10%已损坏，若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路，问这线路能正常工作的概率是多少？解 设随机变量X表示线路中电子元件损坏的个数，则 X B(20,0.1),线路能正常工作20的概率：PX=0=(0.9) =0.12158。8 .某高速公路每周发生的汽车事故数服从参数为3泊松分布，(1)求每周事故数超过 4个的概率；(2)求每周事故数不超过 3个的概率.解 设随机变量 X表示事故数，则 XP(3) , (1)每周事故数超过 4个的概率：4PX >4 =1 -Z PX =i =0.1847 ,i W3(

21、2)每周事故数不超过 3个的概率：PX <3 P X =i = 0.6472。9 .某城市在长度为t (单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：(1)某天中午12时至下午15时发生火灾；(2)某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.解 (1) X P(1.5),中午12时至下午15时发生火灾的概率：(2) XP(2),中午12时至下午16时至少发生两次火灾的概率：10. 一工厂有20台机器，每台机器在某日发生故障的概率是0. 05,每台机器是否发生故障相互独立。(1)用二项分布计算其中有2台机器发生故障的概率；(

22、2)用泊松分布近似计算 2台机器发生故障的概率。解 设随机变量 X表示机器发生故障的个数，则 X B(20,0.05) , (1)有2台机器发生故.,2218障的概率：Ptx =2；=C20(0.05) (0.95) =0.1887.1(2)用泊松分布近似计算 2台机器发生故障的概率：Px=2fc： e =0.1839.211 .若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005 ,现有10000个人参加这类人寿保险,试求在未来一年中在这些保险者里面，有40个人死亡的概率；死亡人数不超过70个的概率.解 设随机变量 X表示死亡人数，则 X B(10000,0.005),40409960(1)

23、有 40 个人死亡的概率 pX =40 = C10000(0.005) (0.995)0.0214；70 kk10000 _k(2)死亡人数不超过70 个的率 pXE70二£ C10000(0.005) (0.995) 也 0.997k=012.设随机变量 X的分布律为0240.040.320.64求随机变量X的分布函数0, x <00.04,0 <x <2F (x)二0.36, 2Mx :二 31, x-313.设随机变量X的概率密度IVi -x2, -1 <x <1 f(x)=n、0,其他求随机变量X的分布函数F(x).0,x <-1。x<

24、; -1解 F (x) = < f h -x2dx,-1 < x < 1 = Vi -x2 + arcsinx + -, -1 < x < 11 二二二21,x - 11,x -114.已知随机变量 X的概率密度f (x)=0 :二 x ：二 10,其他(1)确定常数c;(2)求分布函数F(x)；(3)求概率 PX & 0.5和 PX=0.5.111 c -dx =1= c =一 ；0 - x20,x<0L /、x 1. C,F(x)dx,0 < x ： 1°2.x1, x _10,x ： 0=« Vx,0 W x<1

25、；1, x >1PX < 0.5 PX <0.5 =F(0.5) = , P X=0.5=0.215.设随机变量 X的概率密度 (1)确定常数A;(2)求分布函数F(x)(3)求概率 P(0.5 <X <1).12一解(1) o xdx (A -x)dx =1= A =2 ；F(x)=0, x 二 0xxdx, 0 - x 10，1 xoxdx，！ (2 - x)dx, 1 m x : 21, x -22x,0 < x <1=22-+ 2x-1, 21, x>2 P(0.5 X <1) =F(1)-F(0.5)16.设连续型随机变量 X的分

26、布函数为 F (x) = A+B arctanx.求:(1)常数 A, B；(2)随机变量 X的概率密度f (x).丘 小F(二)T解')=F(-二)=。31A B =12nA - - B =02A4，B1；JI12- 二(1 X ).11.(2) f(x) = F (x) =( arctanx)=2 二17 .设随机变量X在2, 5 上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次 观测值大于3的概率.2解 随机变量X在2, 5 上服从均匀分布，px a3 = ;3、一、，.一一 一. 2、设随机变量Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则Y B(3,1)2 2 2 12 3

27、20至少有两次观测值大于 3的概率：PY至2 = C3 ()一十(一)=03 332718 .设某类日光灯管的使用寿命X (小时)服从参数为1/2000的指数分布,(1)任取一只这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率;(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上，求还能使用 1000小时以上的概率. 一.二 1解(1) px >1000= e1000 20001X2000,dx = e122 % 0.607;r1 px>200。 PX A2000X 之 1000= Vpx >1000e12e1-2= e 0.607(这是指数分布的重要性质：无记忆性”).19 .从

28、某地乘车往火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间XN(50,100)；第二条路线走环线，路程较远，但意外阻塞少，所需时间YN(60,16).若有70分钟时间可用，问应走哪条路线？若只有65分钟时间可用，问又应走哪条路线?.7050解 P(X E7O)=6(0 ) =6(2) =0.9772,P(Y < 70)=中(70-60) = ：，(2.5) -0.9938,4若有70分钟时间可用，走线路一赶到的概率是0.9772,走线路二赶到的概率是 0.9938,应走第二条路线.65 5 5010= (1.5) = 0.9332,65-60 P(Y E65)=9

29、() =6(1.25)=0.8944,4若只有65分钟时间可用，走线路一赶到的概率是0.9332,走线路二赶到的概率是0.8944,应走第一条路线2x20 .设X U (1,2 ),求Y =e的概率密度fy(y).2x -1 dx 124解 y=e =x= lny,=,e <y<e；2 dy 2y21 .设随机变量X的概率密度 求随机变量Y = 2X +1的概率密度fY(y).y -1 dx1 . 一斛 y =2x+1= x=, =,1<y<3;2 dy222.设随机变量 X的概率密度(1)求随机变量 Y =eX的概率密度fy( y)；(2)求概率 P(1 <Y

30、<2).= x=lny/=ly>1；dy yln y 11fy(y)=e= ) ,y"y y2 1(2) P(1<Y E2) = 2 dy =0.5. 1 y23.设随机变量 X与Y相互独立，且服从同一分布，X的分布律为PX = 0 = P X = 1 )= 1/2,求:Z = max X, Y 的分布律.解习题三1 .设随机变量 X在1,2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能取一整数值。试求(X,Y)的分布律.解(X,Y)的分布律:11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162.若

31、甲袋中有3个黑球2个白球，乙袋中有 2个黑球8个白球。现抛掷一枚均匀硬币，若 出现正面则从甲袋中任取一球，若出现反面则从乙袋中任取一球，设求：(1) (X,Y)的联合分布律；(2)判断X与Y是否彳虹：._,_1 84解 (1) p(x =0,Y =0) =P(X =0)P(Y =0 X =0)=一，(X,Y)联合分布律:210 10X0104/102/1011/103/1041 33一2 2) P(X =0,丫=0)= 。P(X =0)P(Y=0)=X 与Y 不独立.1025 103 .将一枚均匀硬币抛掷三次，以 X表示在3次中出现正面的次数，以 Y表示在3次中出现 正面的次数与出现反面次数之

32、差的绝对值 求：(1) (X,Y)的联合分布律;(2)判断X与Y是否独立.解 Y =|X (3X) =|2X 3 , Y 的取值有 1 和 3.P(X =0,Y =0) =P(X =0,X =2X =2) = 0 ,1P(X =0,Y =3) =P(X =0,X =05X =3) = P(X =0) = ,8(X,Y)的联合分布律：4.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为84 32求：(1)常数 A、B、C ；(2) (X,Y)的概率密度f(x, y);边缘分布函数Fx(x), Fy(y).F(gy)=A(B+)(C+)=1/2,解(1)F(0, q)=AB(C1")=0, A =

33、1/n2,B = C =HTF50) = A(B_y=0c2F(x, y) = f(x,y), ex 一 y1f(X, y) = 2-22二(1 x )(1 y )LL1 二(3) Fx(x)=F(x,二)二二(万 arctanx)，FyO = F(二，y)arctany).5.设二维随机变量 X,Y的联合概率密度为求:常数k;(2)概率 P X < 1,Y <3;概率P X +Y < 4.24一 1(1) k dx (6 -x-y)dy=1= k= ,0281133PX ：1,Y 二3=8 0dx 2(6-x-y)dy =33/8,124f2PX Y ：4=-0dx2 (6

34、-x-y)dy = -.836.设二维随机变量 X,Y的联合概率密度f(x, y)Je4x4y),x>0,y >0 。，其它求：(1)随机变量 X和Y的边缘概率密度 fX (x)和fY (y)；(2)概率 P(X <Y).%尸 Yx y)re dy,x 0fX x)：=700,x<0-xe ,x 00, x < 0 ,f -beefYy =04x -y)dx, y 00,y M0-ye ,y 00,y -0 P(X :二Y)=l0 dxe-(x4y)dy =0.57.设二维随机变量X ,Y的联合概率密度求：(1)随机变量 X和Y的边缘概率密度 fX (x), fY

35、 (y)；(2)随机变量X与Y独立是否独立?6e fX(x)= 02x3y)dy,x 00,x<02ex 0，0,x < 0fY(y)(2x 3y)I ! 6e dx, y 00,y<03e，y,y 00,y <0(2) f (x, y) = fX (x) fY (y) , X 与 Y 独立。8.设随机变量 X ,Y的联合概率密度函数为f(x, y) ne-y,0 <x < y0,其他求:边缘密度函数fX(x), fY(y)；概率P (X +Y <1);(3) X,Y是否独立？-xe ,x 00,x<00,x < 011二/2P(X Y _

36、1) = o2dx x e dy = 1 e -2ef(x, y) = fX(x) fy(y) , X,Y 不独立.9.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都 不需要等候码头空出的概率(结果保留使三位小数解 设甲船到达的时刻是 X ,乙船到达的时刻是 Y ,则X ,Y独立同分布均匀分布U (0, 24),任何一艘都不需要等候码头空出D： X -Y >1,Y -X >2 ,任何一艘都不需要等候码头空出的概率:pQx,y) d)= D1222 12322dxdy =222 定0.879。24224210 . 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解 设负责人到达办公室的时间是X ,秘书到达办公室的时间是Y ,则X,Y独立，X U (8, 12),Y U (7,9M门到达办公室的时