专训三角形三种重要线段应用

1、专训2三角形的三种重要线段的应用名师点金：三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为 我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段.昌至魏圣.三角形的高的应用类型1：找三角形的高1 .如图，已知AB XBD于点B, AC LCD于点C, AC与BD交于点E,则4ADE的边DE上的高为边AE上的高为.（第1题）类型2:作三角形的高2 .（动手操作题】画出图中 ABC的三条高.（要标明字母，不写画法）（第2题）类型3:求与高相关线段的问题3.如图，在 ABC 中，BC=4,AC = 5,若BC边上的高AD

2、=4.求:（1）AABC的面积及AC边上的高BE的长;(2)AD : BE 的值.类型4：证与高相关线段和的问题4 .如图，在 ABC 中，AB=AC, DEXAB , DF ± AC, BG ±AC ,垂足分别为点 E, F, G.求证：DE + DF=BG.（第4题）类型5:求与高有关的面积BD=±BC,点G是AB边上一点，点D. 6（第6题）（第7题）&A匕I)A. 40B. 46C. 50D. 565.12016淄博】如图， ABC的面积为16,点D是BC边上一点，且H在4ABC内部，且四边形 BDHG是平行四边形.则图中阴影部分的面积是A. 3

3、B. 4 C. 5建裳三角形的中线的应用类型1:求与中线相关线段的问题6 .如图，AE是4ABC的中线，已知 EC = 4, DE = 2,则BD的长为（A. 2 B. 3 C. 4 D. 624,则 ABC的周长为（）7 .如图，已知 BE = CE, ED为4EBC的中线，BD=8, AEC的周长为8 .在等腰三角形 ABC中，AB=AC, 一腰上的中线 BD将这个三角形的周长分成 15 cm和6 cm两部分，求这 个等腰三角形的三边长.类型2:求与中线相关的面积问题9 .操作与探索:在图中，ABC的面积为a.（1）如图，延长 含a的式子表示）；H CABC的边BC到点D,使CD = BC

4、,（第9题）连接DA,若4ACD的面积为Si,则Si =（用（2）如图，延长ABC的边BC到点D,延长边 CA到点E,使CD = BC , AE = CA ,连接 DE,若 DEC的面积为S2,则S2 =（用含a的式子表示），请说明理由;（3）如图，在图的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD , FE,得到 DEF ,若阴影部分的面积为S3,则 S3 =（用含a的式子表示）.遨逾裳三角形的角平分线的应用类型1:三角形角平分线定义的直接应用10 . (1)如图，在 ABC中，D, E, F是边BC上的三点，且/ 1 = /2=/3= / 4,以AE为角平分线的三角形(2)如图，已知 AE

5、平分/ BAC ,且/ 1 = /2=/4=15°,计算/ 3的度数，并说明 AE是 DAF的角平分线.类型2:三角形的角平分线与高相结合求角的度数11.如图，在 ABC中，AD是高,AE是/ BAC的平分线，/ B= 20°, / C=60°,求/ DAE的度数.A(第11题)类型3:求三角形两内角平分线的夹角度数12.如图，在 ABC中，BE, CD分别为其角平分线且交于点 O.(1)当/A = 60°时，求/ BOC的度数;(2)当/人=100°时，求/ BOC的度数;(3)当/ A= "时，求/ BOC的度数.答案一 -1 一

6、 1、，3.解：(1)S/bc = 2BC AD =2*4X4=8.11因为 Sabc =AC BE= 2* 5X BE= 8,所以be = 16.516 5 (2)AD : BE = 4 ： 57 = 4.4.证明：连接 AD ,因为 Saabc = Saabd + Saadc ,1 11所以 AC BG = AB DE + AC DF.又因为AB = AC ,所以 de + df= bg.点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决.5 . B点拨：设4ABC的边BC上的高为h, AAGH的边GH上的高为h1， CGH的边GH上的

7、高为h2，则有h=h1+h25ABc =，C h=16, S阴影=字agh + Sygh =GH h+GH h2 = 2GhH- (h1 + h2)= 2GhH h.丁四边形bdhg是平行四边形，且 bd = ；bc,gh = bd='；bc.446 . A7 . A点拨：因为AEC的周长为24,所以 AE +CE+AC = 24.又因为be = ce,所以 AE +BE+AC = AB +AC = 24.又因为ED为丁 ebc的中线，所以 BC=2BD = 2X8=16.所以 ABC 的周长为 AB + AC + BC = 24+16=40.故选A.8 .解：设 AD=CD=x cm

8、,则 AB=2x cm, BC = (21 4x)cm.依题意，有 AB+AD=15 cm 或 AB+AD=6 cm,则有 2x+x= 15 或 2x+x = 6, 解得x = 5或x= 2.当x = 5时，三边长为 10 cm, 10 cm, 1 cm;当x = 2时，三边长为 4 cm, 4 cm, 13cm,而4+ 4< 13,故不成立.所以这个等腰三角形的三边长为10 cm, 10 cm, 1 cm.9 .解：(1)a2a理由：连接 AD ,由题息可知 Szabc = S/acd = Szaed = a,所以 Sa dec= 2a,即 S2= 2a.(3)6a10 .解：(1)4

9、ABC 和 ADF(2)因为AE平分/ BAG,所以/ BAE =Z CAE.又因为/ 1 = Z 2= 15°,所以/ BAE =Z 1 + Z 2= 15°+ 15° = 30°.所以/ CAE = Z BAE = 30 ,即/ CAE = Z 4+ Z 3=30°.又因为/ 4=15°,所以/ 3=15°.所以/ 2=Z 3.所以AE是4DAF的角平分线.11 .解：在4ABC 中，Z B= 20 ； Z C=60 ,所以/ BAC = 180 -Z B-Z C= 180 -20 -60 = 100 .又因为AE是/

10、BAC的平分线，所以/ BAE = 2Z BAG =-X 100 =50 . 22在 ABD 中，Z B + Z BAD + Z BDA = 180 .又因为AD是高，所以/ BDA =90 ,所以/ BAD = 180 -Z B-Z BDA = 180 20 90 = 70 .所以/ DAE = Z BAD - Z BAE = 70 - 50 = 20°.点拨：灵活运用三角形内角和为 180°,结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法.12 .解：(1)因为/ A = 60°,所以/ ABC +Z ACB = 120 .因为BE , CD为AABC的角

11、平分线，11所以/ EBC = j/ABC, Z DCB =Z ACB.所以/ EBC + Z DCB = ABC +；/ACB =2(Z ABC + Z ACB) =60°,所以/ BOC = 180 -(Z EBC+Z DCB) = 180 -60 = 120 .因为/ A =100 ,所以/ ABC +Z ACB =80 .因为BE, CD为AABC的角平分线，1_ 1_所以/ ebc = /abc, /dcb = /acb.1 11所以/ EBC + Z DCB =22ABC 十万/ACB =2(ZABC +Z ACB) = 40 ,所以/ BOC= 180 (/ EBC + / DCB) = 180 -40 = 140°.(3)因为/ A= a,所以/ ABC +/ ACB = 180 - a .因为BE, CD为ABC的角平分线，所以/ EBC = 1/ABC, /DCB=1/ACB.2