二次函数中考专题复习

1、5A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现 .考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标2二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-,顶点坐标是(-,4ac-b 2a2a 4a例1已知，在同一直角坐标系中，反比例函数 y=勺与二次函数y = X2+2x + c的图像交 X于点 A(-1, m).(1)求m、c的值;(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.分析：要求m的值只要将点A (-1 , rnj)的坐标代入y=勺即可.要求c的

2、值，则只要把点A x的坐标代入y=-x2+2x+c即可.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标，可以直接代入计算公式， 也可以利用配方法进行计算.解答：(1)把x=1, y=m代入y= 5 ,得m=-5,所以点A的坐标为(-1, -5).把x=-1 , y=-5 x代入 y=-x2+2x+c,得 c=-2.(2)因为y=-x2+2x-2=- (x-1) 2-1,所以二次函数的对称轴是直线 x=1,顶点坐标是(1, -1).点评：本题主要涉及二次函数图象的对称轴和顶点坐标的计算，解决问题的方法有两种, 可根据表达式的特点灵活选择计算方法考点2.抛物线与a、b、c的关系抛物线y=ax2+bx+c中，当a

3、>0时，开口向上，在对称轴x=-b的左侧y随x的增大而减2a小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.例2已知y =ax2+bx的图象如图1所示，则y=ax-b的图象一定过C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限分析：通过观察图象可以知道 a喝b的符号，从而可以判断出y=ax-b的图象一定过的象 限.解：由图，可知a<0,又由对称轴，可知-上> >0,b>0.2a.y=ax-b的图象一定经过第二、三、四象限.应选C.点评：求解本题时，一定要认真分析题目提供的图象，

4、从图像中捕捉对求解有用的信息.考点3.二次函数的平移当k>0 （k<0）时，抛物线y=ax2+k （aw0）的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移 |k|个单位得到；当h>0 （h<0）时，抛物线y=a （x-h） 2 （a*0）的图象可由抛物线y=ax2向右 （或向左）平移|h件单位得到.例3把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A.y=3 （x+2） 2B.y=3 （x-2） 2C.y=3x2+2D.y=3x2-2分析：因为将抛物线向上平移，表明抛物线沿 y轴向上.解：把抛物线y=3x2向上平移2个单位，平移后的抛物线的表达式应为 y=3x2+

5、2.应选C.点评：抛物线在左边平面内实施平移变换，其位置发生了改变，但其形状和开口不变, 即a不变.专题练习一1.对于抛物线y=-x2+-x-,下列说法正确的是（）333A.开口向下，顶点坐标为（5, 3）B.开口向上，顶点坐标为（5, 3）C.开口向下，顶点坐标为（-5, 3）D.开口向上，顶点坐标为（-5, 3）2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0,-3）,则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为-4图2D.抛物线与x轴交点为（-1, 0）, （3, 0）3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位

6、长度后，所得图象的函数表达式是 .4.小明从图2所示的二次函数y = ax2 + bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息： c<0;abc0;ab+c>0;2a3b = 0;c 4b>0,你认为其中正确信息的个 数有.(填序号)专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函 数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式DC图1墙/例1如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边 靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园 ABCD,设AB边长为x 米，则菜园的面积y (单位：米2)与x (单位：米

7、)的函 数关系式为 (不要求写出自变量x的取值范围).y=x x - (30-x) =- x2+15x.22分析：依题意利用图形的面积公式求解.解：依题意AD=- (30-x),所以由长方形的面积公式得 2点评：本题主要考查从实际问题中建立函数模型求二次函数表达式，这里应注意30米的篱笆只需围三个面，另一面靠墙，不需要篱笆.考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1 .若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c (aw0);2 .若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式： y=a (x-h) 2+k (aw0);3 .若已知抛物线与x轴

8、的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a (x-xi) (x-x2)(a w0).例2已知抛物线的图象以A (-1, 4)为顶点，且过点B (2,-5),求该抛物线的表达式. 分析：可用顶点式求解.解：设抛物线的表达式为y=a (x+1) 2+4,因为抛物线经过B (2,-5),所以-5=a (2+1) 2+4,即a=-1.所以抛物线白表达式为y=- (x+1) 2+4=-x2-2x+3.点评：求抛物线的表达式的常用方法是待定系数法.给定的条件不同，所设的表达式的形 式也不一样.例3已知一抛物线与x轴的交点是A (-2, 0)、B (1, 0),且经过点C (2, 8).(1)求该抛物线

9、的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标.分析：由于该抛物线经过三点，故可用一般式求解，又该抛物线与x轴的两个交点已知, 所以也可以用交点式求解.解：(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (aw0).由题意，得4a -2b c =0, a =2,*a+b+c=0, 解得 4 b =2,4a +2b +c =8,c =，J所以抛物线白解析式为y = 2x2 2x -4.1 c 9(2)因为 y = 2x +2x4=2(x+-)-,2 2所以抛物线的顶点坐标为(,-9).22点评：用“待定系数法”求抛物线的表达式是最基本、最重要的方法之一，同学们一定 要牢固掌握，同时，要灵活运用二次函数的

10、三种表达式，如本题选用交点式 y =a(x -x1)(x -x2)也较方便.专项练习二1 .由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击 .为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为()A.y=2a (x-1) B.y=2a (1-x)C.y=a (1-x2)D.y=a (1-x) 22 .如图2,在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、 B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C,且 tan/ ACO= 1 , CO=BO , AB=3

11、 ,则这条抛物线的函数解析式是 .2图23 .对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点(0,-2),且x=1时，y=3; x=-1时y=1,求此抛物线的关系式4 .推理运算：二次函数的图象经过点 A(0-3), B(2,-3), C(-1,0).(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最.少平移 个单位，使得该图象的 顶点在原点.专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方 程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.

12、考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0 （aw0,a,b,c,为常数）的一个解x的范围是（）x6.176.186.196.20_2, ,jy = ax +bx +c-0.03-0.010.020.04A. 6cx<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<xc6.20分析：本题用表格的形式提供了部分信息，

13、对函数、方程之间的关系进行针对性的考查， 即方程ax2+bx+c=0 （aw0,a,b,c,为常数）的解就是函数y=ax2+bx+c值为零时对应的自变量 x的取值.解：由于x轴上表示实数的点是连续的，因此，可以估计方程的解必然在某负数函数值 与某正数函数值之间，故由表格提供的数据可选择C.点评：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的思路是通过表格观察 函数值在什么范围内由负数变为正数，这个服务就是对应的方程的根的范 围.考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数 y=

14、ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交 点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.的一元二次方程例2 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x-x2+3x+m=0 的解为.分析：二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的角度的横坐标即为方程-x2+3x+m=0的根.观 察图象，可知图象与x轴的一个交点为（4, 0）,且对称轴为x=3,根据图象与x轴两个交点关于对称轴x=3对称，所以另一个交点的坐标为（-1,0）,由此可得到方程的两个根.2解：因为y=-x2+3x+m与x轴的一个交点为（4, 0）,且图象的对称轴为x=-,所以图象2与x

15、轴的另一个交点为（-1, 0）.所以方程-x2+3x+m=0的两根为xi=-1, x2=.2点评：本题已知图象的一部分，求相应方程的根，解决问题的关键是根据图象与x轴两个交点关于对称轴对称，求到图象与 x轴交点的坐标.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元 二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然

16、.例3在平面直角坐标系中，抛物线y =x2 -1与x轴的交点的个数是（A.3B.2C.1D.0分析：要求与x轴的交点个数，可转化为一元二次方程根的情况来解决解：由题意得当y=0时，即为x2-1=0,b2-4ac=4>0,x2-1=0有两个不相等的实数根，:抛物线与x轴有两个交点.故选B.点评：二次函数中，当涉及到图象与坐标轴的交点时，注意要考虑与一元二次方程的联系.专项练习三1 .抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是2 .已知二次函数y = -x2+2x + m的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程 -x2 +2x +m = 0的解为3 .已知函数y =

17、ax2+bx+c的图象如图3所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根7图3C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4 .二次函数y =ax2+bx+c(a¥0)的图象如图4所示，根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c = 0的两个根.(2)写出不等式ax2+bx+c >0的解集.(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(4)若方程ax2+bx+ c = k有两个不相等的实数根，求 k的取值范围.专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问

18、题, 能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题 .解决实际问题的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数 表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合 理性，对问题加以拓展等.例 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国 家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施 .调查表明：这种冰箱的售价每降 低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y元，请写出y与x之间 的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销

19、售中每天盈利 4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰 箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？七+4父区I,50分析：首先利用利润=(销售单价-成本)X销售量这个公式算术 y与x的关系；再解一 元二次方程；最后利用二次函数的性质求出最大值即可.解：(1)根据题意，得 y =(2400 2000x)22即 y = x +24x +3200 .2522(2)由题思，得 x + 24x +3200 =4800 .25整理，得 x2 -300x+20000 =0 .解这个方程，得 Xi =100, X2 =200 .要使百姓得到实惠，取x = 2

20、00.所以，每台冰箱应降价200元.22(3)对于 y=X +24X+3200,2524当 x = ； =150 时，c22-,25150y 最大值=(2400 2000 150) 8+4 义 1=250x20 =5000.50所以，每台冰多!的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是 5000元.点评：本题是一道构建二次函数解决实际问题的决策题，是中考的重要考点.对于第(3)小题的最大利润问题，除了用顶点公式来确定答案外，也可以利用配方法将二次函数的表达 式化成顶点式.专题训练四1 .小李想用篱笆围成一个周长为 60米的矩形场地，矩形面积 S (单位：平方米)随矩形 一边长x (单位：

21、米)的变化而变化.(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2 .某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租 金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少 6问，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时， 客房日租金的总收入最高？3 .一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示)，拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距 离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 2所示)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下地平面

22、是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由.专题练习一1 .A 解析：由 y=-Ixx _16 二 一1 (x-5) 2+3, / -<0,开口 向下，顶点坐标为(5, 333333)2c 解析：因为a=1>0,所以开口向上，A正确；把(0,-3)代入y=x2-2x+c中，解得 c=-3,所以抛物线为y=x2-2x-3= (x-1) 2-4,所以抛物线的对称轴是直线 x=1, B正确；因为 a=1>0,所以抛物线有最小值，且当 x=1时，最小值为-4,故C错误；由x2-2x-3=0得

23、x=1, x=3,所以抛物线与x轴交点为(-1, 0), (3, 0), D正确.3 .y= (x+1) 2-2解析：二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度所得图象的表达式为 y= (x+1) 2,再向下平移2个单位长度后，所得图象的表达式为 y= (x+1) 2-2.4 . 解析：因为抛物线开口向上，可知a>0再由对称轴x=-b ,所以b<0.又2a-=3,得3b=-2a,所以2a+3b=0,所以错误；由抛物线与 y轴交于负半轴，可知c<0,2a所以abc>0,所以、均正确；观察图形可知 x=-1时，y>0,即a-b+c>0,所以正确；因 为 x=2

24、时，y>0,即 4a+2b+c>0,将 3b=-2a 代入 4a+2b+c>0,得-4b+c>0,即 c-4b>0,所以 正确，所以、正确.专题练习二1 .D 解析：第一次降彳/T后的价格为a (1-x),第二次降价后的价格为a (1-x) (1-x) =a(1-x) 2,所以 y=a (1-x) 2.2 .y=x2-2x-2解析：依题意，结合图象，当x=0时，。，即OC皿又tan/ ACO=；, CO=BO,所以 OB=OC=|c|, OA=-|c|,而 AB=3 ,所以 1 |c|+|c|=3,所以 c=-2,所以点 A 的坐 22标为(-1, 0),所以b=

25、-1.使用这条抛物线的函数表达式为 y=x2-x-2.3 .解析：设该抛物线表达式为y=ax2+bx+c.把(0,-2)、(1, 3), (-1,1)分别代入上式， 并解得a=4, b=1, c=-2.所以该抛物线的表达式为y=4x2+x-2.4 .解析：（1） & y =ax2 +bx - 3 ,4a 2b -3 = -3,把点（2,3） , （1,0）代入得a-b-3 = 0.a = 1.2二 y =x -2x -3 ;解方程组得a I' b = -2.(2) y =x2 _2x_3 = (x-1)2-4 .二函数的顶点坐标为(1,一4).(3)要由(1,-4)变为(0,

26、0),则应左移1个单位后，再上移4个单位，故应最少平 移5个单位，才能使得该图象的顶点在原点.专项练习三1.2-7且 20解析：抛物线与x轴有交点，即kx2-7x-7=0有实数根，所以(-7) 2-4 4x (-7) x k>0,解得 k> -且 kw0.42 .x1=-1, x2=3 解析：同例 3.3 .D解析：因为抛物线y=ax2+bx+c+2是由抛物线y=ax2+bx+c向上平移2个单位所得的 图象，而抛物线y=ax2+bx+c的最低点的纵坐标为-3,所以抛物线y=ax2+bx+c+2的最低点的 纵坐标为-1,故抛物线y=ax2+bx+c+2与x轴有两个交点，且都在 y轴的右侧，所以方程 ax2+bx+c+2=0有两个同号不等实数根.4 .解析：(1)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交