人教版高数必修二第3讲：空间几何体的表面积和体积(教师版)

1、空间几何体的表面积和体积云身作业完成情况)坛教学目标能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积; 用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题.电知识梳理)一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.二、特殊几何体的定义1 .直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.2 .正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.3 .正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 正棱锥的性质：(1)正棱锥的侧棱相等；(2)侧面是全等的等腰三角形；(3)侧棱、高、底面构成直角三角形

2、.4 .正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台.正棱台的性质：(1)正棱棱台的侧棱长相等(2)侧面是全等的等腰三角形；(3)高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形.三、侧面积与表面积公式1 .正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式(1)设直棱柱高为h,底面多边形的周长为 c,则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧=ch,即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.(2)设正n棱锥的底面边长为 a,底面周长为c,斜高为h；则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧一一.即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.(3)设正n棱台下底面边长为 a、周长为c,上底面

3、边长为a'、周长为c；斜高为h',则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧=-=-.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积 (或全面积)等于底面积与侧面积的和，即$表=$底+S侧.2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式(1)S圆柱侧=(r为底面半径，l为母线长).(2)S圆锥侧=(r为底面圆半径，l为母线长).(3)S圆台侧=(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长).(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表=$底+$侧.(5)若圆锥底面的半径为 r ,侧面母线长为l ,侧面展开图扇形的圆心角为日则， r =；|_3603 .由球的半径R计算球表面积的公式：$球=

4、.即球面面积等于它的大圆面积的4倍.四、体积1 .长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a、b、c,长方体的体积 V长方体=abc2 .棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S和高h的积，即V柱体=Sh.(2)底面半径是r,高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱=.3 .棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S,高是h,那么它的体积 V锥体= -Sh.(2)如果圆锥的底面半径是 r,高是h,则它的体积是 V圆锥=-.4 .棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S'、S,高是h,则它的体积是 V台体=-(2)如果圆台的上、下底

5、面半径分别是r'、r,高是h,则它的体积是 V圆台=-5 .球的体积：如果球的半径为 R,那么球的体积 V球=.6 .祖附I原理：哥势既同，则积不容异.这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.应用祖附I原理可说明：等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等.7 .球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离.，槎典例讲练)类型一表面积例1:已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面面积之和，

6、则该正四棱台的高是()5A. 2B.2-一 7C. 3D.2解析：如图，设 O、O分别是正四棱台上、下底面的中心，则OO是正台 ABCD ABQD的高，日、E分别是 AD、AD 的中点，连接 OE OEi,作EiH/ OO,则EH= OO,由题意 得，回号国X4=9+36, EE = 5.» 一- 一 2 工 2259在 RtEHE中，EH2= EE-EH= -=4,44EH= 2,OO- 2.答案：A正任）视图恻（左）视图侧视图练习1:某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）4B. 16+16啦D. 16+32 寸2A . 32C. 48 答案：B练习2:若一个圆锥的轴截面

7、是等边三角形，其面积为.3,则这个圆锥的全面积是（A. 3兀B. 3、/3兀C. 6无D. 9兀答案：A练习3: 3.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）兀A3兀B.4兀C.2D.兀答案：C例2:用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为8A. 8B.一兀C. D兀448斛析：设围成圆枉的底面半径为r,则2 71r = 4,，2r =，圆枉的轴截面面积为 S= X2=1.兀兀兀或 2 71r = 2, 1- 2r =1,兀 28，圆枉的轴截面面积为S= - X4=.兀兀答案：B练习1:某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 （）A . 90cm

8、2B. 129cm2C. 132cm2D. 138cm2答案：D练习2: （2014河南洛阳高一期末测试）已知圆锥的表面积为 12兀cn2,且它的侧面展开图是一个半圆, 则圆锥的底面半径为（）A. yJ3cmB . 2cmC. 2/3cmD . 4cm答案：B练习3: （2014 浙江理，3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A . 90cm2B. 129cm2C. 132cm2D. 138cm2答案：D练习4:长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是.答案：50兀类型二体积淄，侧棱长为2,则其体积为（例3:正三

9、棱锥底面三角形的边长为1 A.43 C.4解析：如图，作 POL底面ABC.正三角形 ABC勺边长为 小,. A0=坐 x m=1,3,P0= .PAAO = ,41 =杂,B.2D.9VP-ABC= -x(艰)2x a/3= 2344答案：C练习1:已知正四棱锥 P-ABCD的底面边长为6,侧棱长为5,求 四棱锥P-ABCD的体积和侧面积.答案：连接AC BD AC与BD的交点为 0取BC的中点E,连接0EPE P0则PM正四棱锥 P- ABCD勺高，PE为斜高. 由已知得 0E= 3, 0A= 32,P0= -PA0A =42518 =市,PE=尸0+ 0E= .7+9=4.11，四棱锥P

10、-ABCD勺体积V=WX、X6X6X小3 2 = 6 7.1 四棱锥 P-ABCD勺侧面积S= 2X6X4X4= 48.练习2:某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. 35B. 2C. 3D. 1答案：D.由三视图可知，该几何体的体积例4：将长为a,宽为b（a>b）的长方形以所得柱体的体积为 V2,则有（）A . V1>V2C. V1 = V211.V= 3Sh= -x 3x 3= 1.由二视图找出垂直关系是关键.a为轴旋转一周，所得柱体的体积为 5,以b为轴旋转一周,B. Vi<V2D . Vi与V2的大小关系不确定解析：以a为旋转轴时，所得几何体的体积V

11、1 = ab2兀,以b为旋转轴时,所得几何体的体积V2= a2b 兀. V1 V2= ab 7t b a）, . a>b,V1-V2<0,V1<V2,故选 B.答案：B练习1:如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6 .39 .312 318 3答案：由三视图知，该几何体为平行六面体,由图知高h=，22-12 =3.底面积：S= 3X3=9,所以其体积V= 9 3.左视图俯视图1、一，练习2: 一个圆枉的局缩小为原来的底面半n得的圆柱的体积为原来的 .答案：n倍.例5:在球面上有四个点 P、A、B、C,如果FA、PB

12、、PC两两垂直且径扩大为原来的PA=PB=PC=a,n倍，则所求这个球的体积.解析：由、PB、答案： PA PB以 PAPC为棱构造正方体，进而求出球的直径，从而得到球的体积.PC两两垂直，且 PW PB= PC= a,PB PC为相邻的三条棱可以构造正方体.P、A B、C四点是球面上的四个点, 球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径, - 2R= 3a,R= -23a,.43 4V= Q兀R = Q兀 33,3=*兀a3.练习1:体积为8的一个正方体，其全面积与球 答案：设正方体棱长为 a,球半径为r.。的表面积相等，则球 。的体积等于- a = 8, .a=2)又.4兀=6a).=6

13、7.,V二昌=区. 3兀）兀练习2:平面a截千。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为 小，则此球的体积为（A.乖兀B . 443兀C. 4乖氏D. 673 71答案：B 本题考查球的截面性质，考查利用公式求球的体积.设球O的半径为R则 R= "+（两=® 43._故 V 球=3 兀 R = 4yj3 a .而»当堂检测）1 .将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A. 6a2B. 12a2C. 18a2D. 24a2答案：B2 .正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为)B. .3

14、2,3D.三A. .2C避C. 2答案：B3 .正四棱柱的体对角线长为 6,侧面对角线长为33,则它的侧面积是答案：36 23、3、2的三角形，则该圆锥的侧4 .若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示）是边长为面积为.32主视图答案： 3兀5.已知某几何体的俯视图是如图所示矩形.主视图是一个底边长为 图是一个底边长为 6、高为4的等腰三角形.8、高为4的等腰三角形，左视（1）判断该几何体形状；（2）求该几何体的侧面积 S.答案：（1）这个几何体是四棱锥.（2）作出该几何体的直观图，如图,E、F为AB BC的中点,AB= 8, P0= 4, BC= 6.12在 RtAPOF, PF= #1

15、6+ 16 =4啦，-1 . . S»a pab= 2*8X5= 20,SLpbc= 2X 6X 4 J2= 12/2,在 RtA POE343, PE= 116+ 9 =5, 所以侧面积为 2(12也+ 20) = 24-72+ 40.6 .若长方体的三个面的面积分别为 J2, J3, J6 ,则长方体的体积为 ；其对角线长为答案：.6, ,67 .若圆锥的侧面展开图是半径为 1的半圆，则这个圆锥的体积是 。答案：招二248 .正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14cm3,则棱台的高为 答案：2cmf9当堂总结）家庭作业基础巩固1.如果圆锥底面半径为r ,轴截面

16、为等腰直角三角形，那么圆锥的全面积为（）A 、J2nr2B、（J2+1）nr2 C 、1（，2+1）兀2D 、2nr233答案：B2、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32冗，则母线长为（）A 、2 B 、2 短 C 、4D、8答案：C3、轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（）A .1:2 B 、2:3 C 、1:3 D 、1： 4答案：B4 . （2014山东威海市高一期末测试）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）俯褪用A . 2C. 4答案：AB. 3D. 6A . 9 V55C. 3倔答案：C7t7tB. 955D, 37556. （2014重庆文，

17、7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为)左视图正视困5 .已知圆锥的母线长为8,底面周长为6为则它的体积是（）B.D.i830A . 12C. 24答案：C7.将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为 答案：24 R38.已知 ABCD AiBiCiDi是棱长为a的正方体, EBFDi的体积.答案：如图所示，E、F分别为棱AAi与CCi的中点，求四棱锥 Ai VAiEBFDi = VAi EBF+VAi EFDi = VF AiEB + VF AiEDi_i £ i a!_a!=3 a 4 + 3 a 4= 6.能力提升9.正过球面上三点 A、B、C的截面到球心的距离

18、是球半径R的一半，且AB=6, BC=8, AC=i0,则球的表面积是（）B. 300 兀400D.W兀3A . i00兀i00兀C.-3答案：设球的半径为R,正方体的棱长为a,则4 a3,a=p3R S正方体=6a2 =6X43 2R2= 3/i6 兀 2X24F2,_2 3 3 2 3 2_2S球=4 兀 R = y_4 兀3R =、y16 兀 2><4 兀 R, . S 土t<S正方体，故选C.10. 一圆锥的底面半径为 4,用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的（）63 A.；641 C.41 B.161 D.总 64一 ，一 ,-P

19、O OD 1答案：轴截面如图，由题意小PO OB 4兀16V圆锥PO=可 PO, V圆锥pa-；兀- PO 33.V圆台OO= V圆锥PO V圆锥PO16兀16兀163=-71 - PO- PO = Tt - PO- PO - % - PO 333341263兀, POVK 台 OO 12 兀 PO 63V 锥 po 16643（或由：截得小圆锥底半径为1,原来底半径为积比为1: 64, 截得圆台与原来大圆锥的体积比为 11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 何体的全面积为（）4, .相似比为1: 4,故小圆锥与原来大圆锥体63: 64）.1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几情镀用3兀A.y