圆知识点总结及归纳

1、第一讲圆的方程知识清单（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）标准方程(x a)2 + (y-b)2=r2(r>0)圆心：（a, b）,半径：r方程x2+/+ Dx+ Ey + F= 0 (D2+E24F>0)圆心：（一D -f）半径：2Jd2+E24F1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程（x-a）2+ （y- b）2= r2 展开并整理得 x2+y2-2ax- 2by+ a2+b2r2 =0,取 D = 2a, E=-2b, F=a2+b2r2,得 x2+y2 + Dx+ Ey+F = 0.（2）将圆的一般方程 x2+y2+Dx + E

2、y+F=0通过配方后得到的方程为：D 2 E 2 D2 + E2-4F（x+2）+（y+2）=4当D2+E24F>0时，该方程表示以（2, 2）为圆心，2D2+E2-4F为半径的圆；当D2+E24F=0时，方程只有实数解x=- 2, y=-E，即只表示一个点（一去一2）；当D2+E24F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ,没有xy的二次项.3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（二）点与圆的位置关系点 M.(xby0)与圆(x a)2+(y- b)2 = r2(1)若

3、M(xO, yo)在圆外,则(x°a+(yOb)2>，.(2)若 M(xO, yo)在圆上，则(xoa)2+(y°b)2= r2(3)若 M(xo, yo)在圆内,则(x°a)2+(yob)2<r2(三)直线与圆的位置关系方法一：方法(四)圆与圆的位置关系1外离2外切3相交4内切5内含(五)圆的参数方程(六)温馨提示1、方程Ax2+Bxy+ Cy2+Dx+Ey+F = 0表示圆的条件是：(1) B=0; (2) A = CWQ (3) D2+E2-4AF>0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算.(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上

4、.(2)圆心在任一弦的中垂线上.(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2, y2),点M(x, y)是线段AB的中点，则x= x1 ；x , y= y1 2 y2 .二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法( 【例1】J| (x +a 2 +(y+bf =m2(m#0)的圆心是,半径是.【例2】点(1,1)在圆(x a)2+(y+a)2=4内，则实数a的取值范围是()A. (-1,1)B. (0,1)C ( OO, - 1) U (1 , +8)D. (1, + 8)【例3】圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)

5、的圆的方程为()A. x2+(y 2)2=1B. x2+(y+2)2=1C. (x-1)2+(y-3)2=1D. x2+(y-3)2=1【例4】圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0,0)对称的圆白方程为()A. (x- 2)2 + y2=5B. x2+(y-2)2=5C. (x+2)2+(y + 2)2= 5D. x2+(y+2)2=5 【变式1】)已知圆的方程为(x1/x2)+(y 2；(y + 4)=0,则圆心坐标为【变式2】已知圆C与圆(x1 2 +y2 =1关于直线y = x对称，则圆C的方程为【变式3】 若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x- 3y= 0和x轴都相切，则该

6、圆的标准方程是()A. (x- 3)2+ !y-|/=1B. (x2)2+(y1)2=1c. (x-1)2+(y-3)2= 1d. x-2/ + (y-1)2=1【变式4】已知AABC的顶点坐标分别是 A(-1,5), B(5,5), C(6,2 ),求&ABC外接圆的方程.方法总结：1 .利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a, b, r的方程组.2 .利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.考点二、有关圆的一般方程的求法【例1】若方程x2+y2+4mx2y +5m=0表示圆，则m的取值范围是（）B. m<1 或 m>1

7、C. m<144【例2】 将圆x2+y22x4y+1 = 0平分的直线是（）A. x+y-1 = 0B. x+ y+3=0 C. x-y+1 = 0D. x-y+3=0【例3】圆x2 2x+y23=0的圆心到直线x+43y 3=0的距离为【变式1】已知点P是圆C : x2 + y2+4x + ay -5 = 0上任意一点，P点关于直线2x + y-1 =0的对称点也在圆 C上，则实数a =【变式2】已知一个圆经过点 A（3,1）、B（1,3）,且圆心在3x y 2 = 0上，求圆的 方程.【变式3】平面直角坐标系中有 A（0,1）,B（2,1）,C（3,4）,D（1,2）四点，这四点能否

8、在同一个圆上？为什么？.,【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0), A(0,15), B(8,0),则它的内切圆方程为方法总结:1 .利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于2 .熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化D, E, F的方程组.考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的2倍，则动点 P的轨迹方程为()A . x2+ y2 = 32B.x2+y2=16C. (x1)2+y2=16D. x2+(y1)2=16【例2】方程y = J25 - x2表示的曲线是()A. 一条射线B. 一个圆 C.两条射线D.半个圆【例3】 在AABC

9、中，若点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则 点A的轨迹方程是()A. x2y2 = 3B. x2 y2 = 422_22_C. x y =9y = 0 D. x y=9x = 01 一【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0), A(3,0)距离的比为2的点的轨迹.求这个曲线的方程，并画出曲线.【变式1】方程x 1 =41 (y 1 )2所表示的曲线是()A. 一个圆 B.两个圆C. 一个半圆D.两个半圆【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A . x2+ y2 = 32B.x2+y2=16C. (x1)

10、2+y2=16D. x2+(y1)2=16【变式3】 如右图，过点 M( 6,0)作圆C: x2 + y2-6x-4y+9= 0的割线，交圆 C于A、B 两点，求线段 AB的中点P的轨迹.【变式4】 如图，已知点A( 1,0)与点B(1,0), C是圆x2+y2=1上的动点，连接 BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然 后化简.(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程.(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入

11、法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.考点四：与圆有关的最值问题【例1】 已知圆x2+y2+2x 4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则 ab的取值范围【例2】已知x, y满足x2+y2=1,则匕2的最小值为x- 1【例3】 已知点M是直线3x+ 4y2=0上的动点，点 N为圆(x+1)2+(y+1)2= 1上的动点，则|MN|的最小值是()B.A.5【例4】已知实数x, y满足(x2)2+(y+1)2=1则2xy的最大值为 ,最小值为【变式1】P(x, y)在圆C： (x 1)2+(y1)2= 1上移动，则x2+y2的最小值为 .【变式2】由直线y=x+ 2上的点P向圆C: (x 4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点 P的坐标是()A. (-1,1)B. (0,2) C. (2,0)D. (1,3)【变式3】 已知两点A(2,0), B(0,2),点C是圆x2+y22x=0上任意一点，则 ABC面 积的最小值是.【变式4】已知圆 M过两点C(1 , 1), D(-1,1),且圆心 M在x + y2=0上.(1)求圆M的方程；(2)设 P是直线 3x+ 4y+8= 0上的动点，PA、PB是圆 M的两条切线，A, B为切 点，求四边形PAMB面积的最小值.方法总结：解决与圆有关的最值问题的