复合函数[知识点总结、例题分类讲解]

1、完美格式整理版复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y是u的函数，u又是X的函数，即y = f (u) , u = g(x),那么y关于x的 函数y = f (g(x)叫 做函数y = f(u)(外函数)和u=g(x)(内函数)的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函 数值为y o 例如：函数y=2x2*是由y=2u和u=x2+1复合而成立。说明：复合函数的定义域，就是复合函数 y = f(g(x)中x的取值范围。x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。f (g(x)与g(f(x)表示不同的复合函数。2 .求有关复合函数的定义域

2、已知f(x)的定义域为(a, b),求f(g(x)的定义域的方法：已知f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x)的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即u( (a, b), g(x)w(a, b)。通过解不等式a < g(x) <b求得x的范围，即为f(g(x)的定义域。 已知f(g(x)的定义域为(a, b),求f(x)的定义域的方法：若已知f(g(x)的定义域为(a, b),求f(x)的定义域。实际上是已知直接变量 x的取值范围，即xw(a, b)。先利用a < x < b求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f(x)的定义域。3 .求有关复合函数的解析

3、式已知f(x)求复合函数fg(x)的解析式，直接把f (x)中的x换成g(x)即可。已知fg(x)求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在f g(x)中把关于变量x的表达式先凑成g(x)整体的表达式，冉直接把g(x)换成x而得f (x)0换元法：就是先设g(x) = t，从中解出x(即用t表示x),再把x(关于t的式子)直接代入f g(x)中消去x得到f(t),最后把f (t)中的t直接换成x即得f (x)04.求复合函数的单调性若 u = g(x)y = f(x)则 y = fg(x)增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.

4、复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例 1 设函数 f(x) =2x+3,g(x)=3x5,求 f(g(x),g(f(x).例 2 已知 f (2x +1) =x2 -2x ,求 f (2U2 +1)例 3 已知 f(x) =x2 +1，求 f(x1)；已知 f (x1) =(x+1)2 +1,求 f(x) .例4若函数f (x)的定义域是0,1,求f(1 - 2x)的定义域；若f (2x-1)的定义域是-1 , 1,求函数f(x)的定义域;已知f(x+3)定义域是 1-4,5), 求f(2x-3)定义域.1 . 一例 5 已知 f(x-1)=x+，求 f(x

5、);x一.1 o 1已知 f(x) = x2,求 f(x+1) .x x例 6 已知 f(x)是一次函数，满足 3f(x+1) -2f(x-1) = 2x + 17 ,求 f(x)；1已知 3f (x) +2f() =4x ,求 f (x). x二、复合函数单调性及其值域初等函数复合求单调区间与值域x2 2x 5例1已知函数y= 口 I ,求其单调区间及值域。3变式练习121 .求函数f (x)=0.51的单调区间及值域1.-x -T.2 .求函数y =4 2 +3 2x +5的单调区间和值域.例2 求f (x)八5-4x-x2的单调区间及值域变式练习2/2求函数f(x)= 2、1"

6、的单调区间及值域例3 求y =(log 1 x)2-110gl x+口区间2,4上的最大值和最小值 22变式练习31 .求函数f (x) =log2(5 4x x2)的单调区间及值域2 .求函数y=log2 x log2x (xl,8)的最大值和最小值. 24含参数的复合函数单调性与值域问题例4 已知函数f(x)=loga(3x2+5x-2) ( a>0Ha#1)试讨论其单调性。例5求函数y = log a (2 -ax-a2x)的值域。变式练习41.讨论函数y =loga(ax -1)的单调性其中a >0,且a#1.根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例6设函数f (x) =l

7、g(ax2+2x+1)，若f(x)的值域为R，求实数d的取值范围.例7已知y =loga(2-ax)在区间0,1上时减函数，求a的取值范围.1例8 若函数y=loga(x2-ax+3)在区间(,1a上为减函数，求实数a的取值范围. 2变式练习52已知函数y =2'在区间(-叼3)上是增函数，求a的范围.解:令u =x2+ax-1,则原函数是由u =-x2+ax-1与y = 2u复合而成.丁原函数在区间(-%3)上是 增函数，而外层函数y=2u始终是增函数，则易知内层函数u = -x2+ax-1在区间(比,3 也是增 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 :巴1,由(-叫3)J匚8,1

8、得自之3,即a之6.'2*<2J 2【过关检测】1 .未下列南黝的定义域、本球及存单调区间：(1) f (x) = x -5x 4 ； g (x) = (1)x 4(1)x 542, 6:：；x-2x2 1 、,2 、， 2 .求下列函数的单调递增区间：(1) y=i；(2) y=2x<2J3 .已知函数f (x) =loga x(a >0,a =1),如果对于任意xw3,+w )x都有f(x)至1成立，试求a的取值范围4 .已知函数f (x) =loga(x2axa) f (x) =log 2(x 2-ax-a)在区间(-00,1-，3上是单调递减函数.求实数a的取

9、值范围5求函数y = 1,l0go.5(X2的单调区问-2x -3）1. （2008山东临沂模拟理,5分）若a >1 ,且a - log a x < a-y - log a y ,则x与y之间的大小关系是x = y>0 C . y > x >0 d ,无法确定2.函数y =e11nx1-|x-1|的图象大致是（3.(2008 江苏南通模拟，5 分)设 f (x) =g a x( a >0且 a #1),若 f (x1)十 f (x2)+十 f (xn) =1 ( xi w R+,333i =1,2，n),贝U f (Xi ) + f (x2 )+. + f (xn )的值等于4 .（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log 2（kx2+4kx+3）的定义域为R,则实数k的取值范围是 5 . （2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：函数y=ax（a>0且a=1）与函数y = log a ax（ a a 0