基本不等式训练题

1、基本不等式训练题、题点全面练x2-2x+1-111.已知f（x）=,则f（x）在b，3 上的最小值为（4B.一3xI21A. - 2C. - 1D. 0x x x xx 2x + 11解析：选 D f(x) = =x+x-2>2-2=0,711 e 2，3，r ,1 rr，-r当且仅当X = x，即X=1时取等号.又所以f（x）在2,3 I上的最小值是0.2. （2018 哈尔滨二模）若2、+2=1,则x+y的取值范围是（）A 0,2B. -2,0C. -2,+°°）D. （ 一- 2 V 、， 一 1解析：选D由1=2 +2yl2M2x 2y,变形为2 yw4，即x

2、+y<- 2,当且仅当x时取等号.则x+y的取值范围是（一8, 2.1 23.右头数a, b满足a+b=yOb,则ab的取小值为（）A. 2B. 2C. 2 2D. 41 2解析：选C 因为一+=4五，所以a>。，b>0, a b所以ab>2/（当且仅当b= 2a时取等号），所以ab的最小值为2卷.3 1 m . . 一.4.已知a>0, b>0,右不等式一 +工:二恒成立，则 m的取大值为（）a ba+ 3bA.9B. 12_Jm_a+ 3bC.18D. 24解析：选B,3 1由一十1>a b得(a+ 3b)b+6.+ 6= 12,p 9b a又1-

3、丁+6、2、/9a b,9b a,当且仅当一=匚，即a= 3b时等号成立, a bme 12,m的最大值为12.5.正数a, b满足1+9=1,若不等式 a+b>x2+4x+18 m对任意实数 x恒成立, a b则实数m的取值范围是()A. 3 , +oo)B.(巴 3C.(巴 6D. 6 , +8)解析：选 D 因为 a>0, b>0, ：+ b=1，所以 a+ b= (a+ b) l_+ r ：= 10 + -+ ->10+ 2f9= 16,当且仅当 »=等，即 a= 4, b =ab a ba b12时，等号成立.由题意，得 16> - x +4x

4、+ 18一m即x2-4x-2>- mt任意实数x恒成立，令 f (x) =x2- 4x-2= (x-2) 2- 6,所以f(x)的最小值为一6,所以一 6> rn,即 m6.11 ,6. (2019 青岛模拟)已知 x>0, y>0, (lg 2) x+(lg 8) y= lg 2 ,则一 十 看的最小值 x 3y是.1111解析：因为(lg 2) x+ (lg 8) y= lg 2 ,所以 x+3y=1,则1 + 药=0+ 而J(x+3y) = 2+曳+告>4当且仅当=-, IP x = , y=J时取等号，故的最小值为4.x 3yx 3y26x 3y答案：42

5、27 .右正数x, y满足4x+9y + 3xy = 30,则xy的取大值为 .解析：30 = 4x2+ 9y2+ 3xy > 2 36x2y2 + 3xy ,即 30>15xy,所以 xy<2,当且仅当4x2=9y2,即x=3, y = 2p时等号成立. 3故xy的最大值为2.答案：28 .规定：“ ？”表示一种运算，即 a?b=>/ab+a+b(a, b为正实数).若1?k=3,则kk?x 一一的值为,此时函数f(x)=-j=的最小值为 x解析：由题意得 1?k=qk+1 + k=3,即 k+Jk2=0, 解得水=1或你= 2(舍去)，所以k=1,故k的值为1.又

6、f (x)=阜=市+;+1 = 1 +/> 1+ 2=3, x ，x x1r当且仅当5 =再，即x= 1时取等号, 故函数f(x)的最小值为3.答案：1 39 .已知 x> 0, y>0,且 2x+8y xy=0,求:xy的最小值；10 ) x + y的最小值.5,82解：(1)由 2x+8yxy = 0,得x+y= 1.又 x>0, y>0,8t,得 xy > 64, xy8 2当且仅当8寸即x=16且y=4时，等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由 2x+8y xy=0,得x+y=1，则 x + y= g + 2 (x+y) x y2x 8y2x 8

7、y= 10 + + >10+ 2一 , 一=18.y x. y x2x 8y当且仅当一,即x=12且y=6时等号成立，y x所以x+y的最小值为18.10. (1)当xv3时，求函数 y = x+ 8二的最大值; 22x3(2)设0vxv2,求函数y= x/x4- 2x 的最大值.183解：(1) y= 2(2 x3)+2 + 232x83、2 -3 2x 广2.一3 一 ，当 x<2时，有 3-2x>0,3-2x8>223- 2x3-2x8 = 4,23 2x3-2x 81当且仅当丁=序,即x=-2时取等355于是yw 4+2=2,故函数的最大值为2.（2） 1-0&

8、lt;x<2,2-x>0,- y= >/x_42x- =啦 jx_2 x-< y2 + 2 = V2 当且仅当x=2-x,即x= 1时取等号，当x= 1时，函数y=qx4 2x 的最大值为 力.二、专项培优练（一）易错专练一一不丢怨枉分11 .已知 a>b>1,且 2log ab+3log ba= 7,则 a+b21的取小值为（）A. 3B. 3C. 2D. 23 一一 1解析：选 A 令 log ab = t ,由 a > b> 1 得 0 v t v 1,2log ab+ 310g ba=2t+f=7,得 t=2，1一一；+ 1=3,当且仅a

9、 1.1.21.1. 一,即 log ab= 2, a= b ,所以 a+b2 = a- 1 + + 22 a-1,，一1 ，一 ，一当a= 2时取等号.故a+可的最小值为3.心 1 2212.右正数a，b满足：a+b=1，则k的取小值为()A. 2C.2解析：选A 由a, b为正数，且1+1=1,得b=-2a->0,所以a- 1 >0, a ba-1所以2 +a- 1a- 1笆二口 口 a-1当且仅当2a 1a-i 1 2 一一=和a+b=1同时成立，即a = b=3时等号成立，一 21 一所以一的最小值为2.a- 1 b-2一33 .函数v=12x(x<0)的值域为x解析

10、：x<0,，y = 1 2x：= 1 + ( 2x) + I31+2 yj - 2x | -3= 1 +2国 当且仅当x=当时取等号，故函数 y=1 2x x(xv0)的值域为1 +2、/6,十).答案：1 +2#,+8)(二)交汇专练一一融会巧迁移4 .与函数交汇已知函数f (x) = log a(x+4) 1(a>0且aw 1)的图象恒过定点 A,若.x y直线mn=-2(m>0, n>0)也经过点 a 则3nun的最小值为()A. 16B. 8C. 12D. 14解析：选 B 由题意，函数 f (x) = log a(x + 4) 1( a>0 且 aw1)

11、,令x + 4= 1,可得x=3,代入可得y = - 1,图象恒过定点N3, 1).，八 x y,.,直线 不=- 2(m> 0, n>0)也经过点 A,.-.3+- = 2,即女 + =1.m n 2m 2n八 、 319 13n 3m_3n 3m 一1- 3m+ n=(3m+ n)不十不 |=二十二+丁+丁 >2 %/丁 丁+ 5= 8(当且仅当 n=m= 2 '，2m 2n 2 2 2m 2n , 2m 2n'时，取等号)3mU n的最小值为8.5.与数列交汇已知首项与公比相等的等比数列an中，若m nCN*,满足ana2=a2,A. 13C. 2解析：

12、选A根据题意，设an的公比为q, 则 a qm, an= qn, a4=q4.由a®n= a2得mm- 2n= 8,2n-8-=1.*又 m, nC N ,8m2n 1 n m 1 1+= + + - + >一 + 28n 4 2m 8n 4 2当且仅当2m £ 即 m= 2n= 4 时取:2 1 , 一，一 + 一的取小值为1.m n6.与解析几何交汇若直线m- ny+2=0(m> 0, n>0)被圆(x+3)2 + (y+1)2=1所截得的弦长为2,则常的最小值为()A. 4B. 6C. 12D. 16解析：选圆心坐标为(一3, 1),半径为1,又直线被圆截得的弦长为2,所以直线过圆心，所以一1 3 1一 . 3m- n+ 2=0, 3m n=2,所以 m+ n=-(3n) -+1 31 i=- 6+ +m n2 一127.正数a,m。9nm r *当且仅当与线性规划交汇已知n 9m .心-=一时取等号x,因此m+n最小值为6,故选b.x+2y-3W0, y 满足 Sx+3y 3>0, 1y，z=2x+y的最大值为m若b满足a+b=3则a+b的最小值为解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,工+3广3=0z=2x+ y的几何意义为直线 2x+yz=0在y轴上的截距，由