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1、x 3 x-3limx3 x 3高等数学第一章函数与极限第一节 函数函数基础(高中函数部分相关知识)()邻域(去心邻域)()第二节 数列的极限数列极限的证明()K题型3已知数列 &n,证明limxn = ax一 .K证明3君N语言1 .由Xn -a| < g化简得n > g(名)，N - g ；2 .即对V名：>0, 5N = g(名当n >N时，始终有不等式 Xn -a <右成立，lim 乂 = aX ”二第三节 函数的极限 X T X0时函数极限的证明()K题型3已知函数f(X ),证明lim f(X )= AX >X0K证明3 E6语言1 由

2、|f (x)-A < 8化简得 0< X Xo| <g(E ), .、. =g ;2,即对 Vs >0 , 36 =g(z ),当 0<xx0 <6 时，始终有不等式 f (x )A <名成立，lim f x = Ax )x0 X T g时函数极限的证明()K题型3已知函数f (x ),证明lim f (x )= AX .K证明3 e-X语言1 .由 f(X ) A < &化简得 XAg(a),X = g ；2 .即对V名A 0 ,三X = g (当X A X时，始终有不等式f(X ) A < W成立，lim f x = AX ”二

3、第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质()函数f (x )无穷小=lim f(x)=0函数f (x )无穷大 w lim f (x )=°°无穷小与无穷大的相关定理与推论()(定理三)假设 f(x)为有界函数，g(x )为无穷小，则lim | f x g x =0(定理四)在自变量的某个变化过程中，若f(x)为无穷大，则f,(X)为无穷小；反之，若f(x)为无穷小， 且f(X)#0,则f,(X)为无穷大K题型 3 计算：lim -f (x )，g (x )1 (或 xt ) x_Xg -1 .丁 f(x)<M函数 f(x)在x=x0的任一去心邻域U (x0,6 )

4、内是有界的;(' f ( x ) < M ,函数 f (x)在 xw D 上有界；)2 . lim g(x)=0即函数g(x)是xt X0时的无穷小； X )X0(lim g(x)=0即函数g(x)是xt 8时的无穷小；)X :,3 .由定理可知lm f(X ) g(X )= 0(Xmf(x)(x)j=0)第五节 极限运算法则极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式 p(x)、q(x )商式的极限运算p(x )= acxm + a1Xm，+ + am q(x )= b0xn + bXn-1 + + bn卜- n : m则有 lim -p- = a0n

5、= mx >:q xb0n mf x 0(特别地，当lim ="=一(不定型)时，通常分子 xX0 g x 0分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解)x -33求值lim今旦 x 3 x2 -9K求解示例3解：因为xt 3,从而可得x=3,所以原式=lim m = limx B x2 - 9 x )3x-3其中x =3为函数f(x =不一的可去间断点X2 -9倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节)：口. x-3 0 x-311解：lim =二lim= limX )3 X2 - 9 L x >3 2x >32x 6x -9连续函数穿

6、越定理（复合函数的极限求解）（定理五）若函数 f （x属定义域上的连续函数,二则0)那么,K题型3 求值：lim J-x-3 x p x -9K求解示例3 lix 3. x 3x2 -9 一 频 x2 -9第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53） （ ）第一个重要极限：lim sinx =1x Q xVx = 0, , sinx <x <tanx limsinx /二 1 x数a,使得f（x）成为在R上的连续函数？K求解示例3f 0- =e20- = e1 =e1 ,4f （0+）=a +0+=af 0 = a2 .由连续函数定义 lim f（x）= limf（x）= f

7、（0）=e x10 x ）0a = e第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）K题型 3证明：方程 f（x）= g（x）十C至少有一个根 介于a与b之间K证明 3（特别地，limX及S = i)1.（建立辅助函数）函数 中（x ）= f （x g（x ）C在 闭区间1a, bl上连续；单调有界收敛准则x -x0(P57) ( )第二个重要极限:lim1 1xx->: =（一般地，limf (x )(x)= lim f( x)1mgx),其中lim f 仅)>0 )2. 平（a）卬（b）<0 （端点异号）3. .由零点定理，在开区间 （a,b）内至少有一点 使得 巴盯=0,即

8、f（D-gK）_C = 0（0<<1）4. 这等式说明方程f（x）=g（x）+C在开区间（a,b）内至少有一个根K题型2x+3、x*3 求值：lim xB12x +1 JK求解示例3第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）U sinU tanU arcsinU arctanU ln（1 U）1 U e -11 , , 2,2. U 1 cosU2（乘除可替，加减不行）K题型3求值：limx 0In 1 x 广 xln 1 xx2 3x第二章导数与微分第一节 导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83) ( )K求解示例3第八节 函数的连续性函数连续的定义（）间断点的分类

9、（P67）e +1 x < 0-K题型 3已知函数 f(x)=， 一在 x= 0ax + b ' x > 0处可导，求a , bK求解示例30. f 0- =e° 1 =e° 1 = 21 . | 口0)=e =1,' Jf. 0 =a f 0 =bf 0 =e0 1 =2,-f_ 0)=f. 0)=a=12 .由函数可导定义 «'f 0r尸 f 0 = f 0 = b = 2 a = 1,b = 2K题型 3求y=f（x ）在x = a处的切线与法线方程第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）国去间断点（相等）第二类间断

10、点）无穷间断点（极限为8）（或：过y = f （x ）图像上点a, f （a fl处的切线与法线方 程）K求解示例31. y'= f'（x ）, y'|xm= f '（a ）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）3设函数f (x )= *2xex < 0,应该怎样选择x - 02 .切线方程：y f(a)=f'(aj(x a)法线方程： y _f a =_1 x-a f a第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则（）1.线性组合（定理一）：（.工u二l- v） - . u l -v特别地，当a =P =1时，有

11、（u 土丫）=5±2.函数积的求导法则（定理二）：(uv) = u V uv3.函数商的求导法则（定理三）：u v -uv第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）3求函数f，（x ）的导数K求解示例由题可得f（x ）为直接函数，其在定于域 D1单调、可导，且 f （x ）#0; f,（x ） =-复合函数的求导法则（）3 设 y =in(earcsinG +7x2702 卜求 y'K求解示例3第四节 高阶导数 f C %x 产f x )1n(或d_ dx3求函数y =ln（1 +x ）的n阶导数y=(1+x)=(1)Y1+x,第五节 隐函数及参数方程型函数的导数隐

12、函数的求导（等式两边对x求导）（）3试求：方程 y=x+ey所给定的曲线 C :y = y（x旺点（1 -e,1 ）的切线方程与法线方程y = x +ey两边对x求导' + (ey )化简得 y' = 1 +ey yy L1 -e切线方程:法线方程:11 -e1-1 =x -1 e1 - eT = _ 1 -e x 7 , e参数方程型函数的求导设参数方程产）=弋）求立'求 dx2业击JLdx第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）第三章中值定理与导数的应用第一节 中值定理引理（费马引理）（）罗尔定理（）K题

13、型3现假设函数f （x）在0,n上连续，在（0,江）上可导，试证明：3 e（o,jr卜使得 f （U ）cosU + f'（W ）sinU = 0成立K证明31 .（建立辅助函数）令 中（x）= f （x）sin x 显然函数 x（ x ）在闭区间10, n 上连续，在开区间 （0,n）上可导；2,又.邛（0）= f （0）sin0 =0即 003. .由罗尔定理知3 （0,n ）,使得 f （X ）cost + f网nC = 0成立 拉格朗日中值定理（）K题型证明不等式：当 x>1时，ex > e xK证明31 .（建立辅助函数）令函数 f （x）= ex,则对X/x&g

14、t;1, 显然函数f（x ）在闭区间11, x上连续，在开区间（1, x） 上可导，并且f . x =ex；2 .由拉格朗日中值定理可得，三七三【1,x】使得等式 x 1.e e =（x -1 ）e 成立，又 e">>e1,ex e1x 1 ）e1 = e x e ,化简得ex > e x,即证得：当 x a 1时，ex > e xK题型3证明不等式：当 x>0时，ln（1 + x）cxK证明31 .（建立辅助函数）令函数 f（x）=ln（1 + x）,则对 Vx0,函数f（x ）在闭区间0,x】上连续，在开区间一.1（0,H ）上可导，并且f （x）=

15、;1 x2 .由拉格朗日中值定理可得，mt乏0,x使得等式1一in 1 x - in 1 0= x - 0fcz,化简得in(1 +x)=x ,又二已正0,x】，11f ( j )=7 <1 , . ln(1 + x)< 1 x = x,即证得：当x ,1时，ex >e x第二节 罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（1, 等价无穷小的替换（以简化运算）)2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达 法则的三个前提条件取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹

16、凸性连续函数单调性（单调区间）（）K题型a ,属于两大基本不定型（0,2）且满足条件,0 二X试确定函数f （x）=2x3-9x2 + 12x-3的单调区间f x进行运算：limx a g xf x-limx R g x（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B. 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0 笛型（转乘为除，构造分式）K求解示例31 . .函数f（x班其定义域 R上连续，且可导f x）=6x2 -18x 122 .令 f /6x -1 x -2 =）0 ,解得：x1 =1,x2 = 23 .（三行表）K题型3 求值：lim xa In xx_0K求解示例3（一般地，lim x以l

17、n x f = 0 ,其中 a , P w R）8 g型（通分构造分式，观察分母）K题型3求值：lim 一X 0 sin x xK求解示例300dimL x_0x -sin xx201-cosx 0 rlim=limx 0 2x L x 01 -cosxsinx2x00型（对数求极限法）K题型3 求值：lim xx x 0K求解示例3解：设丫 =xx,两边取对数得：ln y =lnxx. ln x= xln x =1 xrQ,一 一In ¥对对数取xr 0时的极限：lim ln y =lim - =limx 0x 01 L x 0x极大值极小值4. .函数f（x ）的单调递增区间为（

18、*,12,十大单调递减区间为1,2R证明：当x>0时，ex > x +11 .(构建辅助函数)设 中(x)=ex x 1, (xa0)2 .(x)=ex -1 >0, ( x> 0)x)"；0)=03 .既证：当 x>0时，ex>x + 1K题型K证明3 证明：当 x>0时，ln（1+x）<x1 .(构建辅助函数) 设中(x)=ln(1 + x)x, (x>0)1_2 . *(x)=-1<0, (x>0)1 x.x)/20i=03.既证：当 x>0时，ln(1 + x)<x1= lim x = Tim x

19、=0,从而有 lim y =lim elny x_0 1x_0x_0,x 02x(4) 1/型(对数求极限法)1X 求值：lim (cosx+sin x F x 0连续函数凹凸性（ )lim ln y=exT=e°二1（对数求极限法）3求值：limx 0ran xK求解示例3运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（ 通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）)233试讨论函数y=1+3x -x的单调性、极值、 凹凸性及拐点2y - -3x 6x - -3x x - 2y = -6x 6 = -6 x-1y - -3x x - 2) = 0x1 = 0,x2 = 22 .令解得：1y y

20、- - 6 x -d = 0 I x = 1/3.(四行表)z/极小值极大值4.又.f(_1)=_2,f (1) = 2,f(3)=1823、4.函数 y=1+3x x单调递增区间为 (0,1),(1,2)Jax +b :令 t =，ax + b ,于是x=、单调递增区间为(-oo,0) ,(2, +oc);_23 .函数y =1 +3x -X的极小值在 X=0时取到，为 f (0)=1,极大彳t在X =2时取到，为f (2 )=5;23 .函数y=1+3x X在区间(口,0),(0,1)上凹， 在区间(1,2) ,(2, 十力)上凸；_23 .函数y=1+3x -x的拐点坐标为(1,3)第五

21、节函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系()设函数f (x )的定义域为 D ,如果三xM的某个邻域U (xM尸D,使得对VxU (xM ),都适合不等式 f (x)<f (xm ),我们则称函数 f (x )在点，。，“乂乂)1处有极大值f (xM )；令 xM ' 'XM 1, xM 2 ,xM 3,，xMn ”>则函数f(x广闭区间 b,b 上的最大值 M满足：M =max" (a ),xM1,xM 2, xM3,xMn, f (b »；设函数f (x )的定义域为 D ,如果三xm的某个邻域U (xm尸D ,使得对 VxU (xm

22、 ),都适合不等式f (x)> f (Xm ),我们则称函数 f (x )在点 xm, f (xm )1处有极小值 f (xm );令 xm - L xm1, xm 2 , xm3 ,., xmn p则函数f(x近闭区间la,b】上的最小值 m满足：m=min(f (a ),xm1,xm2,xm3,xmn, f (b；K题型 3求函数f (x ) = 3xx3在I1,3】上的最值K求解示例31. .函数f (x心其定义域-1,3上连续，且可导f x = -3x2 32,令 f '(x)=_3(x1 /X +1 )=0,解得：X1 = -1,X2 =13f(X)max = f(1)

23、=2,f(XMn = f(3)=-18第六节 函数图形的描绘(不作要求)第七节 曲率(不作要求)第八节 方程的近似解(不作要求)第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念()原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F(x)的导函数为F'(x),即当自变量 xw I时，有F'(x)= f( X或 dF(x)= f(xdx成立，则称 F(x)为 f(x)的一个 原函数原函数存在定理：()如果函数f(x )在定义区间I上连续，则在I上必 存在可导函数 F (x)使得F'(x)= f (x),也就是说： 连续函数一定存在原函数(可导必连续) 不定积分的

24、概念()在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项 C 的原函数称为 f(x)在定义区间I上的不定积分，即表 示为：f x dx = F x C(f称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x则称为积分变量)基本积分表()不定积分的线性性质(分项积分公式)()第二节 换元积分法第一类换元法(凑微分)()(dy = f '(X卜dx的逆向应用) 一 1K题型3求122dxa2 x2K求解示例311111 x 1 x斛： -2dx = 2dx = - 2d =一 arctan- Ca x 1T a1T a a a 1 a1 a一. .1K题型 1求f . dx ,2x

25、 1K求解示例3第二类换元法(去根式)()(dy = f'(x >dx的正向应用)对于一次根式(a # 0,b w R )：则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a >0）：22弋a +x :令 x = atant（<t < 一）,22x1 x ” .八e sin xdx 二万 e sinx cosx）+C第四节有理函数的不定积分有理函数（）对于有理函数,当P（x）的次数小于Q（x）的次x 于是t = arctan ,则原式可化为 asect ； a对于根号下平方差的形式（a>0）：a. Ja2 -x2 :令 x = asint （ - <t <

26、; ）,22mm_jP x p x =a0xaxamnnjQ x q x = b0xnhx -'七 十 bn数时，有理函数P（x）的次数大于x于是t =arcsin ,则原式可化为 a cost ； ab. Jx2 a2 ：令 x = asect ( 0 <t < ),2一 一a于是t =arccos一,则原式可化为 atant ； x,1,K题型 1求i dx （一次根式）,2x 1K求解示例3_P x Q （x ）的次数时，有理函数是假分式有理函数（真分式）不定积分的求解思路（Ei P x将有理函数 Q x因式的多项式的乘积:)的分母Q（x）分拆成两个没有公其中一个多项

27、式可以表示为t -2X-1'-1t2 1'x t 221tdt = dt =t C = 2x 1 C tdx 4dt.一k次因式（x-a）；而另一个多项式可以表示为二次质2l2_因式（x +px + q）, （p4q<0）；一般地:MlNl由待定系数K题型 3求f x/a2 x2 dx （三角换元）K求解示例3第三节分部积分法分部积分法（）设函数u = f（x）, v = g（x ）具有连续导数，则其 分部积分公式可表示为：udv = uv - ： vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、募、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函

28、数排序；就近凑微分：（ vdx =dv）使用分部积分公式：udv = uv- vdu展开尾项Jvdu = Jv udx ,判断a.若 v udx是容易求解的不定积分，则直接计算 出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有 理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若 v udx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易 求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联 立方程求解，但是最后要注意添上常数CK题型 3求Jex x2dxK求解示例3K题型 3 求ex sin xdxK求解示例3即：Q x)= Q1 x Q2 xnmx + n = m.x + I mJ一. b c则参数p , q =一 a a则设有理函数£3的分拆和式为:Q x其中Mi M2参数 A,A2,，Ak, N1 N2法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解,x2一 一3求dx (构造法)x 1K求解示例3第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质定积分的定义（）（f （x ）称为被积函数，f （ x ）dx称为被积表达式，x则称为积分