小升初专项训练-第16讲平面几何五种模型

1、第 16讲 小升初专项训练平面几何五种模型、知识要点1、三角形的等积变形1、两个三角形的底高相等，则它们面积相等。2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;3、推广到平行四边形。2、等分点结论（ 共角模型、鸟头模型或鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角（ 相等角或互补角） 两夹边的乘积之比3、蝴蝶定理1、任意四边形中的比例关系 Si： & =&：& 或 S1XS3 = S2X S4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 、梯形中的比例关系3、长方形或正方形中的比例关系4、相似三角

2、形性质：金字塔模型和沙漏模型。5、共边：燕尾模型（燕尾定理）和风筝模型附：中间桥梁及“差不变”- 1 -二、典型问题【典型问题一1:三角形的等积变形】1、两个三角形的底高相等，则它们面积相等。平行线间的三角形：底等则面积相等。反之,则两线为平行线两个相邻的长方形，对角线间的三角形。正方形或长方形中的三角形一一拉窗帘。2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；S1 : S2 = a : b两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；S1 : S2 = hl : h23、推广到平行四边形。三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形是特殊的平

3、行四边形）；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。练习一：1、如图，ABC电直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）A3BE 6 C2、如图，ABC比直角卞$形，AD=5厘米，DC=3厘米，三角形DOC勺面积是5平方厘米，则阴 影部分的面积是 平方厘米。3、长方形ABCD勺面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB BC CD的中点，H为AD边上 的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？4、右图中AB=3厘米，CD=12!米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE勺面积是 46 方厘米.-27 -【典型问题2:等分点结论（鸟头定理）】

4、鸟头定理：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三 角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上），贝(jSa abc : Saade = ( AB AC)：(AD AE)例2-1 :如图，AB平均分成5份，E是其中一个等分点；AC平均分成4份，D是其中一个 等分点。则三角形 AED的面积占三角形 ABC的面积的几分之几？解:c 5x433 13= nV-20 以 5 4 203答：二角形 AED勺面

5、积占二角形 ABC的面积的20。例2-2:如图在 ABC, D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AA 5: 2, AE EO 3: 2, $ ADE= 12平方厘米，求 ABC勺面积.连接 BE, Saade ：Saabe =AD : AB =2:5 =(2 3):(5 3)Saa b： eS a b A ：E C : t 3 =2 )& ( 33,) K ( 32 )5所以 Sade： 8 abc =(3 M 2)： 5 M (3+2) =6： 25 ,设 S.de =6 份，则 Sa abc =25 份，Saade =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4A

6、BC的面积是50平方厘米.(共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比)例2-3:如图，四边形DEFG勺面积占三角形 ABC勺面积的几分之几?ASC解：方法一：用比来求, 4312先求：ZXAFG的面积占ABC勺面积的工X-=,5420一,一一 一一311再求：ZXAED的面积占4AFG勺面积的二X-=:434一, 一 一 1219可知：四边形DEFG勺面积占 ABC的面积：20 X(1-4 )=20方法二：用份数来求第一求： ABC的面积是4X5 = 20份第二求： AFG的面积是3X4=12份第三求： AED的面积是3X1=3份第四求：阴影面积是12-3 =

7、9份一 _ ,，一. 9可知：四边形DEFG勺面积占三角形 ABC的面积：9+ 20=209答：四边形DEFG勺面积占 ABC的面积:；。练习二：1、如图，AD =DB , AE=EF=FC,已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC勺面积是多少平方 厘米？2、有一个三角形ABC的面积为1,如图，且AD=1AB,2的面积.11BE=BC , CF =CA ,求二角形 DEF 3413、如图，在二角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=1 AB,已知四边形EDCA 3的面积是35,求三角形ABC的面积.【典型问题3:蝴蝶定理】1、任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）字母表示：& ：&=&

8、：&或 S1XS3 = S2XS4文字表示：上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2、梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 S ： & =a2 ： b2左、右部分的面积相等:S2=S4S ： S ： S2 ： 3=a2 ： b2 : ab ： ab 或 S = S 2X &S的对应份数为（a+b） 23、长方形或正方形中的比例关系S1XS2= S3X S4图中长方形被分成4个小长方形，各自的面积如图所示，有:例3-1 :四边形ABCD勺对角线AC与BD交于点O （如图）所示。如果三角形 ABD的面积等1于三角形BCD勺面积的a ,且AO= 2, D0=

9、3,那么CO的长度是DO的长度的侍。3解：延长DB到E,使BD= OD根据三角形等积变形，可知 $ AB巳SA AOD SA CBE= $ COK可知 SAAEO SACE 1: 3,即 AO O谖 1: 3,v A0= 2, a C0= 6,已知 O氏 3,答：CO为OD的2倍。例3-2、两条对角线把梯形ABCS割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示）， 求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）不解：蝴蝶定理可得：SAABO= SACDO= 6平方厘米SAADO= 6X6-12=3 平方厘米答：SA ABC 6平方厘米，SA ADC 3平方厘米。例3-3、如图，大正方形ABC

10、D勺边长为6,依以下条件求三角形BDF的面积。A B解：连接FC,则SABF+ SACDH所以阴影面积是正方形面积的一半。6X 6+2=18答：三角形BDF的面积是18、例3-4、如图所示的长方形被分成了 4个小长方形，每个小长方形内的数字是各自的面 积，求阴影部分的面积。322430解：S 阴=32X30+ 24=40答：阴影部分的面积是40o练习三：1、如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个部分， AOB面积 为1平方千米， BOC0积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？2、如下图，图中BO=

11、2DO阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD勺面积是多少平方厘米?3、如图：在梯形ABCm，三角形AOD勺面积为9平方厘米，三角形BOC勺面积为25平 方厘米，求梯形ABCD勺面积。4、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10厘米和12厘米，求阴影部分 的面积。5、长方形被分成6个小长方形，面积如图的示，求 A、B的值15A124524B6、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分 别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？15 is7、如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.【典型问题-4:

12、沙漏原理（相似三角形性质）】2) Si ： & = a2 ： A）沙漏模型相似三角形：形状相同，大小不同的三角形 （只看形状，不论大小），相似三角形常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.例4-1 :如图，已知正方形 ABCD的边长为4, F是BC边的中点，E是DC边上的

13、点，且解：连接AE ,延长AF , DC两条线交于点M ,构造出两个沙漏,所以有 AB:CM =BF :FC =1:1 ,因止匕 CM =4,根据题意有CE =3 ,再根据另一个沙漏有 GB:GE = AB:EM =4:7 ,4432所以 Sa ABG =Sa ABE （4 4 2）-4 71111例4-2:如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1, E、F是AB、AD的中点，BF交 EC于M ,求ABMG的面积.解：由题意可得,得 EF/BD ,E、F是AB、AD的中点,而 FD: BC =FH : HC =1:2 , EB:CD = BG:GD =1: 2所以 CH :CF =GH :

14、EF 所以BG =GH ,所以 BG:EF =BM :MF=2:3 ,并得G、H是BD的三等分点,=2:3 ,所以BM =又因为BG所以S BMG-BF , SBFD 51 二BD ,31 2 -S BFD3 511 cS ABCD2 2二1 2130例4-3 :如图, 的面积为多少？ABCD为正方形,AM=NB=DE =FC= 1cm且MN =2 cm ,请问四边形PQRS解：由 AB/CD ,有 MP =PCMN所以 PC =2PM ,又 MQ MB EC QC所以MQ=QC所以PQ1 二MC2一 1二-MC -MC23所以SSPQR 占 SAMCF 的一6FA M ND EA MD ED

15、C，所以12.2、SSPQR =- 1 M(1 +1 +2) =一 (cm ).63例 4-4 : AABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD = DF = FB ,则S*A ADE : S9边形 DEGF : S3边形 FGCB =.设S.1份，根据面积比等于相似比的平方,SAADE - 1所以 S- S AD2：AF21： 4，SA ADE: SA AFG- AD:AF- 1： 4Sa ADE ： Sa ABC =AD2： AB2 =1:9 因此S _4份，S _9份,SA AFG - 4SA ABC - 9进而有时边形DEGF =3份时边形FGCB = 5份，所以Sa ADE

16、 : S四边形DEGF ：S四边形FGCB =1：3： 5练习四、1、正方形ABFD勺面积为100平方厘米，直角三角形 ABC的面积，比直角三角形 CDEE勺面积 大30平方厘米，求DE的长是多少？3、如图，正方形ABCD勺面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米。【典型问题-5:共边定理（燕尾模型和风筝模型）】在三角形ABC, AD BE, CF,相交于同一点 Q那么 $ ABO:SACO = $ BDO:S CDO = SAABD:SACD = BD:DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABCft AACO勺形状很象燕子

17、的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之 间提供互相联系的途径.例 5-1:在 ABC中里=2:1, 些=1:3,求 OB=?ft分析：连接CQ根据燕尾定理可解。解：连接CQ根据燕尾定理可知，SAABO（绿色）：S4ACO（黄 + 蓝）=BD C52: 1SA CEO（黄）：SMEO（蓝）=CE A已 3: 1可知：SAABO（绿）：S4AEO（蓝）=8: 1即 BO EO=8 1例5-2:三角形ABC中，C是直角，已知AO 2, CD= 2,CB=3,AM=BM那么三角形A

18、MN阴 影部分）的面积为多少？分析：连接了 BM根据燕尾定理可解。解：连接了 BM根据燕尾定理可知SA ACN（绿色）：S4BCN（黄）=SA AMN（绿色）：SBMN=BMAM= 1: 1SAACN（绿色）：SAMB（红）=CD BD= 2: 1可知：SA AMN= SA ABO 10=0.3答：三角形AMN（阴影部分）的面积为0.3。例5-3:如图，9BC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分 点，那么四边形JKIH的面积是多少？连接 CK、CI、CJ .根据燕尾定理，Sck ：S群k =CD： BD=1：2 ,Sbk : S型k =AG:CG =1:2 ,所以

19、Sck : S幽bk : S型k = 1： 2:4,丑K% o1101a1刈M SACK =1 +2 +4 =7， SAGK =3 SACK 2: 类似分析可得Sagi .N 15又 s逸BJ : s店BJ = AF : CF =2 :1 , s浅BJ : s幽CJ = BD : CD =2 :1 ,1可行 scj = 那么，Scgkj =- - = 4 21 84根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为,84那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为所以四边形JKIH的面积为1-2=包.70 70Scgkj2 Sagi - Sabe17842 -151613 一 70答：所以四边形JKIH的面

20、积为1叟=包70 70练习五：1、如图，写出燕尾定理的内容:A2、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且AADG的面积比AEFG 的面积大6平方厘米。AABC的面积是多少平方厘米？3、一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪.一看到小灵通，王师傅热情地招呼, 说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四 部分（如图）.修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟.请你想一想修剪北部 需要多少分钟？4、如图，面积为l的三角形ABC中，D、 阴影部分面积.E、F、G H、I分别是AR BC CA的三等分点，求【附：中间桥梁及“差不变”】利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。例6-1、如图，正方形ABCD勺边长是4厘米，CG=3E米，矩形DEFG勺长DG为5厘米, 求它的宽DE等于多少厘米？解：连接AG可知SAAD4X4+2= 8所以，矩形DEFG勺面积=8X2=16所以 DE= 16+ 5 = 3.2CM答：宽DE等于3.2厘米。例6-2、左下图所示的U7ABCD勺边BC长10cm,直角三角形BCE勺直角边EC长8cm,已知两 块阴影部分的面积和比 EFG的面积大10cmz求CF的长。解:SBCE=10