数列通项公式常用求法及构造法

1、数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f(n+1)-f(n)=A(其中A为常数)形式，根据等差数列的定义知f(n)是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f(n)的通项公式，再根据f(n)与a。，从而求出an的通项公式。例1在数列an中，4=工，an书=在一(nwN+),求数歹an通项公式.2an3一.3a.解析：由an41=an43行，an+1On=3an+1-3On=0,两边向除以ch+1On行，anian3，设bn=，则bn+1-bn=1，根据等差数列的定义知，数列bn是首项b1

2、=2,公差d=+的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2+3(n-1)=|n+-3333数列通项公式为an=高2例2在数列4中，Sn是其前n项和，且Sn*0,a1=1,an=(n>2),求Sn与an2,一no2解析：当n2时，an=Sn-Sn-1代入a=新得，Sn-Sn-仔新，变形整理2snJ_'2SnJ_'得Sn-Sn-1=SnSn-1?两边除以SnSn-1得，'S"-六=2,.$是首相为1,公n°n_1n差为2的等差数列.Sn=1+2(n-1)=2n-1,.Sn=由(n>2),n=1也适合，.Sn=孺(n>1)当n)2时，a

3、i=Sn-Sn-1='2；1：1-'2=-4n2_28no，n=1不满足此式，1 n=1&=_24n2-§n3n_2、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f(n+1)=Af(n)(其中A为非零常数)形式，根据等比数列的定义知f(n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f(n)的通项公式，再根据f(n)与a。，从而求出an的通项公式。例3在数列an中，ai=2,an=an-i2(n>2),求数列an通项公式。解析：=ai=2,an=an-i2(n>2)>0,两边同时取对数得，

4、lgan=2lgan-i.*=2,根据等比数列的定义知，数列lgan是首相为lg2,公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lgan=2n-ilg2=lg22ni数列通项公式为an=22一评析：本例通过两边取对数，变形成logan=2logan形式，构造等比数列logaj,先求出logan的通项公式，从而求出an的通项公式。例4在数列an中，ai=i,an+i=4an+3n+i,求数列an通项公式。解析：设an+i+A(n+i)+B=4(an+An+B),(A、B为待定系数)，展开得3A=3A=i3B-A=ia+i=4an+3An+3B-A,与已知比较系数得.2- '-an+i+(

5、n+i)+2=4(an+n+-|),根据等比数列的定义知，数列ai+n+2是首项为8,公比为q=3的等比数列，an+n+f=-|-x33333n-i- 数列通项公式为an=1-X3n-i-n-反例5在数列an中，ai=i,an+ian=4n,求数列an通项公式。解析：an+ian=4nanan-i=4n-i两式相除得：；：=4,- '-ai,a3,%，与a2,a4,a6,是首相分别为ai,a2,公比都是4的等比数列，又,ai=i,an+ian=4n,a2=4,an=等差等比混合构造法iana»数列有形如f(an，an4，anan=)=0的关系，可在等式两边同乘以，先求出,再求

6、得aan例6.设数列an满足a1=2,an4an、(nwN),求an.an-3解：原条件变形为1an书，an+3，an+=an.两边同乘以，行anan1113=anan1"11、11-3(+)=+-,an2an12-=3nJan2.a=_2_n23n-1四、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列,例7.在数列GJ中，a从而利用这个数列求其通项公式。=1,a2=2,an-221一二an由二an，求an。33解析：在an也2=&an11十an两边减去an4,3得an2-an1=-(an1-an)an1-an是以a2-a

7、=1为首项，以11为公比的等比数列,3；an书-an=（）n，,由累加法得3an=(an-an)(an一an2广''(a2"a1)a11111-(尸31二(弓尸.(一：)心，(:)11=3=H1-(-Hn44(一3)练习*1、在数列Sh中，a1=1,an+1=3an+2n(nN*),求数列an通项公式解：由an+1=3an+2n(nCN*)得，an+1+2n+1=3(an+2n)(nCN*),设bn=an+2n贝Ubn+1=3bn,青=3,根据等比数列的定义知，数列bn是首相b1=3,公比为q=3的等比数歹！J,根据等比数列的通项公式得bn=

8、3n,即an+2n=3n,数列通项公式为an=3n-2n注意：2n+1-2n=2n2、在数列aj中，a1=1,af=an-2n+3,求数列aj的通项公式解：、由a5=an-2n+3得，（an+2n¥）-（an+2n）=3,根据等差数列的定义知，数列a。+2n是首项为3,公差为3的等差数列，所以an+2n=3n,所以an=3n-2n3、已知数列a满足a1=2an+=nan,求an3n1解：由条件知亘土=一,分别令n=1,2,3,.,；（n1）,代入上式得（n1）个ann1等式累乘之，即空空包.=工23；:.n_z!=包=工aa2a3an234nan23n2又“a1=一，an34 .数列

9、an满足a1=1,an=1an+1（n>2）,求数列an的通项公式。2解：由an=anj,+1(n>2)得an2=(an,2),而a12=12=1,221数列an2是以1为公比，一1为首项的等比数列（2产5 .数列A中，a1=1,a2=2,3an七=2an书+an,求数列小的通项公式。2 1斛.由3an七2an书+an行ane一an由an,设an七一kan七一h(an+kan)3 32 11.1比较系数得k+h=-,kh=,解得k=1,h=-一或k=一一,h=13 33311右取k=1,h=二，则有an七an+=：(an书an)33一一1.an1-an是以-为公比，以a2=2-1=

10、1为首项的等比数列3=（一；严3由逐差法可得an=(an-anj)(anJl-an)一-，(a2-a1)a11nNlnl2l=（一3）（飞）匕）匕）一1-(-1广331=3l一(广l4.3；73(n.1二一一(一一)4436.设各项均为正数的数列心口的前n项和为Sn,对于任意正整数n,都有等式:2an解：+2an=4Sn成立，求an的通项an.22an,2an=4Sn=anJ2anJ4Sn，22"cc,an_anJ2an_2an1=4(Sn-SnJ)=4an(an+an)(an-anJ.-2)=0,-an+an¥。，,an的等差数列，且al2-2&=4曰=al=2.

11、-an=2.即Qn是以2为公差an=22(n-l)=2n7.设Q是首项为1的正项数列，且a；-a；-nan-nan=0,(nCN*),求数列的通项公式an.解：由题设得an)(an-an-n)=0.an>0,anA>0,an+an_1>0.an-anA=n皿（a2®-比）缸-皿23n=T8.数列Q中,前n项的和Sn=n2an,求an书.解:22an=Sn-Sn=nan"(n"l)an=/22(n-l)an=(n-l)anan_n-lannlanan.a2n-lan='al=an4an2alnln-2aginln(nl)l''

12、;anl=(nl)(n2)9.设正项数列K>满足21=1,an=2a24（n>2）.求数列除的通项公式.解：两边取对数得：logan=l+2logan:10g2n+1=2(log2n-l),设bn=log；则bn=2bn,&是以2为公比的等比数列，bl=log2+l=l.bn=lM2n"=2nlog；n+l=2n110g2n=2n,l,2nan=2+l，总结而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为：a3=pan+f(n);a=pan+qn(1)通过分解常数，可转化为特殊数列an+k的形式求解。一般地，形如an=pan+q(pwl,pq

13、w0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设an书+k=p(an+k)与原式比较系数可得pkk=q,即k=-、，从而得等比数列an+k。(2)通过分解系数,可转化为特殊数列an-a。的形式求解。这种方法适用于an七=pan书+qan型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列a-an：设an也-kan+=h(an4-kan)，比较系数得h+k=p,-hk=q,可解得h,k3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式

14、.(1)构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.(2)构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.(3)构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简(4)构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.补充一般方法：一、定义法这种方法适应直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,于已知数列类型的题目.例1.等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且

15、为，a3,a9成等比数列,2S5求数列an的通项公式解：设数列为公差为d(dA0)2 a1，染，a9成等比数列,.a3=a1a9,22.即(ai+2d)=ai(a1+8d),得d=a1d d,0,a1=d, S5=a554,、25ald=(a14d) 二2,_3.3a1d由得：5,5333an=-(n-1)-=-n.555二、累加法求形如an-an-1=f(n)(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项，可用累加法，即令n=2,3,n1得到n1个式子累加求得通项。a=a1anan1,、例2.已知数列an中，a=1,对任意自然数n都有n(n+1),求%.1an-anJ=一,-解：由

16、已知得n(n+1),1anJ-an,2=；(n-1)n、1a31a2-34,1a2-a1=23,以上式子累加，利用11n(n+1)nn+1得111111!-11_an-a二23(n-2)(n-1)(n-1)nn(n1)=2n1,三、累乘法咄=f(n)对形如an的数列的通项，可用累乘法，即令n=2,3,n-1个式子累乘求得通项。1例3.已知数列小中，明=3,前n项和G与an的关系是S通项公式an.解：由&=n(2n。得=(n1)(2n3)an两式相减得：(2n+1)an=(2n-3)an，an2n-3an一2n1,a”12n-5a21,an_22n-1a15将上面n1个等式相乘得:an(

17、2n-3)(2n-5)(2n-7)31_3a1-(2n1)(2n-1)(2n-3)75-(2n1)(2n-1)1an一，(2n1(2n-1)四、公式法若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项Sn=1an=*9-&二心2求解。例4.已知数列加)的前n项和Sn满足Sn=2an十(-1,n'1通项公式；解：由a1=S1=2a1-1,彳11al=1.当n之2时，有an=SnSn=2(anan,)+2M(1)n,an=2an2(-1广，am=2an22(-1)n：,n1得到n(2n1)an,求an可用公式求数列右J的,a2=2al-2.&=2n1ai升(-1)2n(

18、-1f2(-1厂=2nj(-1)n(-2尸(-2尸(-2)一n-1_9n1n21-(-2)一2一(冒)302n?+(_y.人an=22心(-1广经验证ai=1也满足上式，所以3Snn=1an=J点评：利用公式1sn-Snn之2求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.五、“归纳一猜想一证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳一猜想一证明”法.例5.若数列.n满足:ai=1自+=耳+3乂2口计算32,33,a4的例,由此归纳出an的公式，并证明你的结论.解：32=2ai+3X2°=2X1+3X2°,33=2(2X1+3X2°)+3X21=22