材料力学内部习题集及答案(2)

1、第二章轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆，其直径d=20mm,长L=40m,材料的弹性模量E=200GPa,容重丫=80kN/m3,杆的上端固定，下端作用有拉力F=4KN试求此杆的：最大正应力；最大线应变；最大切应力；下端处横截面的位移。解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为FN,max二d23二2-F=LF=80100.02404000=5004.8N4444日FN,maxFN,max4FN,max45004.8故最大正应力为：；：.max=:=二万一=2=15.94MPaA二d二d3.140.0246最大线应变为：max=:吧=0=0.79710-E200109当a(久为杆内斜截面与横截面的

2、夹角)为45口时，10t=Imax=5ax=7.97MPa2取A点为x轴起点，Fn='Vx+Fx+F=(25.12x+4000)N4LF.,L2512xu40001故下端处横截面的位移为：:=dx=idx=(12.56x24000x)0=2.87mm0EA0EAEA2- 2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长AL。已知杆横截面面积为A,长度为L,材料的容重为不。解：距离A为x处的轴力为lFn(x)lAxL2所以总彳申长.L=dx=dx=0EA0EA2E3- 3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷载F作用，今通过试验

3、测得两杆的纵向线应变分别为£1=4X104,£2=2X10"，试确定荷载P及其方位角9的大小解：由胡克定律得相应杆上的轴力为取A节点为研究对象，由力的平衡方程得解上述方程组得4- 4图示杆受轴向荷载Fi、F2作用，且Fi=F2=F,已知杆的横截面面积为A,材料的应力一应变关系为e=can,其中c、n为由试验测定的常数。(1)试计算杆的总伸长；(2)如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3)当n=1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？解：(1)轴力图如图(a)所示。Ll口，2F2nFn根据c=c:=c(2F)nd=aClaAA单独作用Fi时,轴力图如图

4、（b）所示。.JiaFn=c()A!iFn=a%单独作用F2时,轴力图如图（c）所示。必2a/F、n=c(A)；：l2Fn=2降（2）采用叠加法。Annn(21)acF则.l=.Ji.12则T（3）当n=1时，上述两解答相同。结论:只有当名与仃成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移,已知两根杆的抗拉刚度均为EAo解：取C点分析受力情况，如图（b）所示，得Fcd=F,Fbc=0因此只有CD杆有伸长IcdCDFLEA变形几何图如图（c）所示，得x=y=FLEA2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E=210GPa,绳

5、横截面面积A=100mm2,荷载F=20KN,试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。解：首先要求绳的内力T。刚性梁ABCD的受力分析如图(b)，由平衡方程：ma=0解得：t=80kn7绳的原长L=242=8m绳的伸长量为TLL=EA803一10387-26=4.35X10工m在F作2101010010用下结构变形如图（c）,可得：题2-6图P再由三角几何关系得：由（1）、（2）式联立可得：又因为：所以，；：LC=2.4910m=2.49mm2-7图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径di=20mm,Ei=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d2=25mm,E2=100G

6、Pa,试求:（1）外力F作用在何处（x=?）时AB梁保持水平？（2）如此时F=30kN,则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：（1）.容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为从而AC杆、BD杆的伸长量若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即&1=四于是,4Fl1l_x4Fl2x二E«l二E2d2l.当F=30kN,x=1.08m时，两拉杆横截面上的正应力分别为2-8图示五根杆的较接结构，沿其对角线AC方向作用两力F=20kN,各杆弹性模量E=200GPa,横截面面积A=500mm2,L=1m,试求：AC之间的相对位移AC,若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移Abd又如何？

7、解：（1）取A节点为研究对象，受力分析如图（b）由平衡方程:行Fab=Fad'、'Fax=0,FCOS45-Fab=0=10.2kN同理，可得：B节点受力分析如图(c)A_.FCDFX=0，FBD=-20kNcos45AB,BC,CD,DA四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应变能相同,可求得整个杆件应变能为：(b)1力F作的功为：W=万FAac由弹性体的功能原理得：W=、.（2）当两力F移至B.D两点时，可知，只有BD杆受力，轴力为F题2-8图从而；：BD2FL2F2L2EA.220103EA-20010950010上2-9图示结构，已知根杆AF、=0.283mmCD、C

8、E的横截面面积均为A=200mm2,E=200GPa试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。解：取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴，故£Fx=0，即Fnd=Fne，£Fy=0,即F+Fna-2Fndsin30'=0,于是得F+Fna=Fnd,£Ma=0,即3X2Fndsin300-6F=0,于是Fnd=2F=210=20KN,解得：Fne=20KN,Fna=10KN所有构件的应变能为由功能原理得，F作的功在数值上等于该结构的应变能r1即：一F二B=V2V,242.5o武所以.汨=3=8.5mm.F10102-10图示结构，已知四根杆AC、CB、

9、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下端B点的位移。解：（1）以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示由£Fx=0得F3=F4得F3=F4=以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示由£Fx=0得F=F2由£Fy=0得F=F2=笛£!F2（2）由于1,2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降（如图（c）由于3,4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d）则1b二岗b%=（4A2Fa2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。（1）如麻绳长为1.7m时

10、，试问此时绳是否会拉断？（2）如改变a角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：（1）取整体作为研究对象，经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知，每根绳子竖直方向受力为F=250N.即Fcos：=250=0.972250则F=257N二290N0.972于是，此时绳子不会被拉断.（2）绳子被拉断时(L)20L其中Fu=290N口"250贝1cos-=0.862=290解得：L-0.789m答：(1)N=417N(2)L=1.988m2-12图示结构，BC为刚性杆，长度为L,杆1、2的横截面面积均为A,其容许应力分别为b1和b2,且b1=2b2

11、,荷载可沿梁BC移动，其移动范围0<x<L,试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A,而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式F=ctmA可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点x的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即Fbd=2Fec此时，对力的作用点求矩得：解得：xL-3此时，由竖直方向的受力平衡得：2-13图示结构，AC为刚性杆,BD为斜撑杆荷载F可沿杆AC移动试问：为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角9应取何值？解：如图所示，取整体为研究对象，对

12、A点取银，由EMa=0得：A而FBD=二ABDAbdlBD二BDBD则,sin2i二2W=ABDlBD要想使重量最轻，应该使sin29最大，即29=90o解得：9=45o2-14较接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力b=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。取整体为研究对象，对A点取银，由MMa=0得：AL八L八八L1LF父2-Fd父6=0解得：FD=F3取D节点为研究对象，由平衡方程得：则可以解得：FBD同理，对于B节点，也有平衡方程：则可以解得：D于是,由许用应力定义得：FCD匚FD2-15圆截面钢杆如图所示，已知材料

13、的E=200GPa,若杆内应变能U=4N-m,试求此杆横截面上的最大正应力。解：各截面压力相同为F_2_2_2应变能U=4.互”.42EA12EA22EA3代入数据可得F=28.36kN二max=90.3MPaAminA2-16图示杆件的抗拉（压）刚度为EA,试求此杆的应变能。Fn图解:如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。其中：U1Fi2L2_2(3F)2a9Fa2EA2EAEA9F2a19F2aEA2EA2EA第三章扭转3-1直彳至d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力tmax=100Mpa,试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。解：法1距圆心P处切应

14、力为0.1阴影部分扭矩Me=。05;（J2二二d。=73.6k。m法2:距离圆心P处切应力为q伊2：max=73.6kN3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为Gb和Ga试分别求出该组合杆承受扭矩MT时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。答：实心杆:GA1PAGaIpaGbIPBIPAMtDA.2,空心管:GBIPBBPBGaIpa'GbIpbMtQ,_2IPB解：设实心杆受扭矩Ma,空心管受扭矩Mb,且两杆的最大切应力出现在外边缘处,由已知得MA+MB=MT；对两杆接触截面的相转角相同，即a=：b；AB且平一WA中=巫

15、.a=b=GaIpaGbIpb所以M_MtGaamMtGbbMb=Mb=GaIpaGbIpbGaIpa'GbIpb则实心杆：mmiax-MAT1PAGaIpaMtDaGaIpaGbIPB1PAMbDb空心管：max一GbIPBIpbGaIpaGbIPBDbmt2_Ipb3-3图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少（用百分比表示）？解：由题意可知，从强度方面考虑,即：.max<!,1;二:p圆截面为圆时,'d3'rI.1Imax圆一'p圆=if=2当截面为正方形时，如图（b）,边长b=j2r查表可得，当m=1

16、时，B=0.208b所以Tmax正W端正后】=0.588r3id所以降低为：1k=62.5°o3-4受扭转力偶作用的圆截面杆，长L=1m,直径d=20mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa,两端截面的相对扭转角小=0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变丫、横截面上的最大切应力°max和扭转力偶矩Meo答：T=1X103,Tmax=80MPa,Me=125.6N?m解:由公式=JML1|gip_.4dp-32得出Me=125.6N?m且=m=125.6maxqWP15710=80MPa,8010"8010”=110,3-5圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受

17、扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86o,如杆长L=300mm试求端截面的扭转角；如果材料的G=2.7MPa,试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。解：=90°-86°=4°-4二rad180所以=1.047rad64max-G'-2.71060.188MPamax18032MeLG二d4=2.367Nm_4,G-d4.:所以Me=Gd=2.367Nm32L3-6一根在A端固定的圆截面杆端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。杆在BC处有一固定指针

18、，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位性臂及指针仍保持水平时，试求md和解：扭矩图如图(a)所示要保证指针及刚性臂保持水平则,AC=用cb=0F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MEoMD和MEo当刚ACJFb-MEMD)a.空山GIp得Fb-ME+2Fb=0(2)(1)、(2)两式联立得Md=4FbMe=3FbGIp=0得2Fb2Me+Md=0(1)3-7图示圆截面杆，其全长受集度为m=T的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为LT的扭转力偶作用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。解：对1-1截面，有三Mx=0,f-m(L-x)=0.T1=(L-x)=TT.1LL对2-2截面，有三Mx

19、=0,与2-m(Lx)T=0.T2=T-(L-x)=TLL作出扭矩图.(2)杆的应变能_2LT(x)dx02GIpL(Tx)2l(T；-T)2dx-IlLdx-22GIpt2l24GIp第四章弯曲应力4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。解：(a)1、计算支反力由平衡方程：£Ma=0即Fb2a+qaa-qa3a=0得FB=qa222YY=0即Fa+Fb+qa-qa=0得Faqa22、列剪力、弯矩方程.qaAC段：FS(x)=qx-2M(x)=CB段：Fs(x)=px.3qa2M(x)2qxqa-x22_qx2.3qa(0:x:a)2x-qa(a:x:二2a)3、作剪力、弯矩图Fs图垣2q

20、aI2tMI+3030Fs图(kN)30(b)1、计算支反力由平衡方程:MMa=0即Fb210/口4-60-6020-20=0得Fb-30kNM£Y=0即Fa+Fb-60+60=0得Fa=30kN2、列剪力、弯矩方程AB段:_._2一一一一Fs(x)=15x-60x30_32M(x)=：5x-30xq=60kN/mM=20kN-mAIdtIti.b”可用日Fa2m2m30x20(0：:x：:4)Fb(b)3、作剪力、弯矩图(c)1、计算支反力由平衡方程:q0£Ma=0即FbLqoL4Lq°L,匹=0得Fb6q°L4£Y=0即Fa+Fbq

21、6;L吐=0得Faq°L4FaL/2q0CBI-L/22、列剪力、弯矩方程2-L,、C|oXAC段：Fs(x)=三q0x+-2CB段：FS(x)=-q0-+q0x3、作剪力、弯矩图(d)1、计算支曲£由平衡方程:4q°L"Tq0LM(x)3qEq0x3LM(x)=23%x,q0Lx42q0x、Ma,aqa4aqa_2qa=0得Fb3qa4ZY=0即Fa+Fbqa=。得Fa23qaq°l2、列剪力、弯矩方程AC段:q=-qxCB段:qx2Fs(x)七3qa喻小眦M-2qx然43、作剪力、弯矩图(c)4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。解：(a)1、计

22、算支反力由平衡方程:ZMa=0即Fb2a+qaa-2qaa-qa(c)(0二x6)q°LxqOL212§:二x二L)3qa4Fs图Faqx23qa口啊，qx3M(x):6a二0得Fb=qaYY=0即Fa+Fbqa2qa=0得Fa=2qa(d)M=qa2/3,C3qa632蜀W2S)2'7qaT2-qa(d)2qaB2a2、列剪力、弯矩方程CA段：FS(x)=-qaFBAB段：FS(x)=-qx+2qaM(x)-qax(0:x:a)22M(x)=-吆2qax-空22(a)3、作剪力、弯矩图(b)1、计算支反力由平Fs图£Ma=0即F跟曲北120父2+51部q

23、aa2qa2二10kNFs图(kN)-55kN2qa5TIT+lUlhi.n-.5kNm50kN/mfk4m5ii-J2m£Y=0即Fa+Fb-5-20=0得Fa=15kN2、列剪力、弯矩方程CA段:AD段:Fs(x)Fs(x)=-5二10DB段:Fs(x)=-10x30M(x)-5xM(x)=10x-15(0:二x：二1)(1：x:二2)M(x)=-5x230x-40(2:二x：:4)3、作剪力、弯矩图(c)1、计算支反力由平衡方程:a23arZMA=0即MA+qa，-2qa-qa，一-qa2a=0得MA22YY=0即Fa+qa-qa-qa=0得Fa=qa2、列剪力、弯矩方程AB段

24、：Fs(x)=qx+qaBC段：Fs(x)=-qx+3qa2qx2M(x)=彳qax-5qa2qx2M(x)=-3qax-4qa(a:x:2a)3、作剪力、弯矩图(d)1、计算支反力由平衡方程：2qaqaqa用图fbi3a川qa箱鸟JHU0阳ifbiuRqa6qa6Fs图Al111qa£Y=0即Fa+Fbqa=071具=器5qa2-q-3qa26嘲6Mmi用血;r.2、列剪力mAC段:Fs(x)qa6M(x)喈(0:二x:二a)CD段:Fs(x)M(x)DB段:Fs(x)5qa6M(x)=2qx7qai=-x265qa5qa2x-Fa2qa2.一，(d).F-i-r-ri-rrrnr

25、</qa25qa26-6-(d)(a:x2a)(2a:二x:3a)-D3、作剪力、弯矩图(e)1、计算支反力由平衡方程:aMMe=0即MC+qa-+qa2a-=0得2qaMe2二-qayY=0即Fc-qa-qa=0得Fc=2qaB2L5qaaa6.2,一qaMcFc2、列剪力、弯矩方程2AB段：FS(x)=0M(x)=qa-(0<x<a)2(e)2BC段：FS(x)=-qxM(x)=-qx-+qa223、作剪力、弯矩图(a:二x：2a)(f)1、计算支反力由平衡方程:Fs图qaR-2qaqa2.IIILIUD口2(kNm)(f)£Ma=0即Fbm4.5_2.5+1.

26、2x4=0得Fb=-0.51kN£Y=0即Fa+Fb=0得Fa=0.51kN2、列剪力、弯矩方程CA段:AD段:DB段:Fs(x)Fs(x)Fs(x)二0=0.51=0.51M(x)-1.2x(0:二x：1.8)M(x)=-0.69x-0.92(1.8:二x<4)M(x)=0.51x3.22(4:二x：6.3)3、作剪力、弯矩图4-3已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图。梁内若有集中力偶，则作用在右端。解:依据剪力与弯矩的微分关系作图解:4-4已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图。依据剪力与弯矩的微分关系作图4-5试作图示简单噂架的内力图。解:(

27、a)1、计算支瓦田州平衡方程:Fs图IIIIIIIIIIrraMA=0即MA-qa一附囿512TTT-A则3a丁Fs图2qa2qL+L”"IlX=09屈乂”叩入理海YY=0即Fav-qa=0得FAqa(a)荷载图(b)1IIIILJ+qL222、列内力方程AB段：Fn(XS图-qaFIT+BC段:f-qa3、作内力图M2、2FL.7Fs(Xi)rqx1f.22kN-m硝Xf二一攻._28kNm(0-<x1<-a)(c)(d)(b)1、计算支反力由平顺程得2、列内力方程BC段：Fn(3、作内力图TV+IIFax-2qaqaFav=qaLil,Fs(x)=-qx+2qFs(x

28、)=qaM(x)qaX)-qax2qx2+2qa一2，一一、x-3qa(0<x<2a)(0<x<Fn图(c)1、计算支反力由平衡方程得2a2、列内力方程AB段:FnqaFs=0M=0BC段:Fn(XS0Fs(x)M二一2岁M(x)CD段:匚/、FnMFn(X)：2aFs(Xi)=0MM2aqa2aM二一x2a重2qa2三"TM*qa2-Hili”.(0:二x：23qa二(0:二a)m图(a:二Xi:2a)MsXftM3、作内力图(d)1、计算支反力由平衡方程得Fax=qaFAv=史FDv=_qaAxAy2Dy22、列内力方程AB段:Fn(x);等Fs(x)-q

29、aM(x)-qax(G:二x:二2a)BC段:Fn(x)-qaFs(x)=-qx3qa2M(x)2qx3qax22qa2(G:二x<2a)CD段:qaFn(x2)=-二2Fs(x2)二qaG(G<x2：a)(a：；x2：:2a)qax2M(x2)2-qa(G<x2:二a)(a：x:二2a)3、作内力图4-6试作图示梁的内力图。解：对系统进彳:亍部解穗*bl)由ZFx=。得：B<J地：Fa=2qh,由：汪0a=G得qa=2qhqa2qaqa因此匿示:布丙图如图sa4-7试法驾矩来考虑，说明为印么双杠的Fn图解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。1、当力F在中间位置时，由对

30、称可知寻奇设计成Fs图Fa=Fb=F/2最大弯矩发生在正中，即MFLmaxi224ZMA=0即FbL+m=G得Fb=m£Y=G即Fa+Fb=G得Fa=mABFALFBKK2、当力F在最边缘位置时，由平衡条件:La乙MA=。即FbLF(L+a)=G得Fb=F-a乙Y=G即Fa+FbF=G得Fa=F-最大弯矩发生在B处，即Mmax2=-Fa所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最佳，即所以AB段：FS(x)=mM(x)=mxmx=G4-9已知悬臂梁及其剪力图如图a、b所示，若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画

31、出其方向和转向。解：由剪力图知AC段受均布力作用，大小为-q；C点受集中力F=qL;BC段受均布力，大小为q则可作出荷载图与弯矩图如下：4-10一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为M(x)=ax3+bx2+c,其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义。解：M(x)=ax3bx2c当x=0时，M(0)=c因此c表示自由端作用的弯矩为co由M(x)=ax3+bx2+c为三元一次函数得知，集中荷载为一元一次函数，令q=ex+f并且以自由端为原点建立坐标系(如图所示)x,、32得M(x)=c+0q(l)(x-l)dl=ax+bx

32、+cx即°(el，f)(x-l)dl田x-bx2所以q=6ax+2b。4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的长度a与梁长L之比。解：1、计算支反力由平衡方程：一一LqL2乙Ma=0即Fb(La)qL，=0FB=22(L-a)£Y=0即fa+FbqL=0得Fa=qL(L-2(L-a)2、列剪力、弯矩方程AB段:Fs(x)=-qxqL(L-2a)2(L-a)M(x)2.,.一、qxqL(L-2a)=x22(L-a)(0:二x:二L-a)BC段：FS(x)=-qx+qL3、作弯矩图4、由弯矩图可知，当qx.

33、qLM(x);-qLx-22(L-a:x:L).222也(L-2a)=旦时，最大弯矩值最小,8(L-a)22解彳ta=0.293L或a=1.707L(舍去)4-12独轮车过跳板，如跳板的支座A是固定较支座，试从最大弯矩考虑，支座B放在什么位置时,跳板的受力最合理？解：如图(a)所示，当F位于AB中点C或者位于跳板的右端点D时，会在跳板上产生最大的弯矩。当F位于C处时：£Fv=。所以Fa+Fb=0yabLx又£MA=0所以-F，J+Fb(L-x)=02所以Fa=Fb=-此时弯矩图如图(b)所示。2当F位于D处时：ZFy=0所以Fa+FbF=0ZMa=0所以Fb(L-x)-FL

34、=0得Fb=-L-因此Fa=FFb=Fx-L-xL-x此时弯矩图如图(c)所示。最合理时Mmaxl=Mmax2，即FX=£(£2，得x=L,因此当X=L时最合理。4554-13开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为h(垂直于纸面)，p为均匀压强，试求此环在任意截面1-1上的弯矩。解：如图，在任意截面1-1处，在1-1截面与开口之间取一小段长为Rd中，宽为h,则所受合力F=pdS=phRd中对截面1-1处的弯矩为m=FRsin中=phR2sin牝邛所以对整段环的合弯矩为m=phR2sin：d。=phR2(1-cos力4-14如图所示，已知bxh的矩形截面杆，其弹性模量为E,承受

35、三角形分布载荷P(x),其方向与x轴夹角为a,试导出杆的内力与载荷的微分关系。解：取坐标为x和dx处的两横截面，设坐标为x处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fn(X)、Fs(X)和M(x)。该处的荷载集度为q(x)，则在坐标为x+dx处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fn(x)+dFN(x)、Fs(x)+dFS(x)和M(x)+dM(x)。梁段在以上所有外力作用下平衡。故£Fx=。，即Fn(x)-Fn(x)dFN(x)-p(x)dxcos:=0,解得：g(x)=_p(x)cosot;dx又工Fy=0,即Fs(x)TFs(x)+dFs(x)p(x)dxsinc(=0,解得：dFs(x

36、)=-p(x)sina；dxdx,.h一再由£MC=0,即M(x)+dM(x)-M(x)-Fs(x)dx-p(x)dxsinct-p(x)dxcosot-=0,22二阶无穷小项得：dM®=Fs(x)+p(x)hcosadx24-15宽为b=30mm,厚为t=4mm的钢带，绕装在一个半径为R的圆筒上。已知钢带的弹性模量E=200GPa,比例极限(rp=400MPa,若要求钢带在绕装过程中应力不超过ap,试问圆筒的最小半径R应为多少？解：由题意钢带的曲率为1=M=9坐即R=且一可知CTp越大R越大；REIEI二pWzp所以RminEI=Eymax一二pW;一二p20010921

37、0、400106=1m1-1上K点处的正应力,并问哪个截面上相应于此K点位4-16空心圆截面梁如图所示。试求横截面置的正应力最大，其值等于多少？3、求该截面上K点处的正应力0KMi-ITFadsin454Fa=3.843d3解：1、求支反力由平衡方程£Ma=0即Fb3a-7Fa-Fa+F2a=0得FB=2F£Y=0即Fa+Fb-F+F=0得Fa=NF_a_2、求1-1截面处的弯矩M11=2F-二Fa一2所以匚三=6_.d。圆形32laJ=0.847644、求仃max由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处，其中MA=7Fa,Mc=7Fa2Fa=5Fa,Md=2Fa,

38、Mb=0所以Mmax=Ma=7Fa,则4-17用相同材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。试求两梁横截面上最大正应力的比值。解：设截面面积为A,圆形截面直径为d,正方形截面边长为a,则有A=血一=a2即d=-2=由公式仃=也得最大正应力分别为4a.二Iz仃上边缘-M0.075-31000.075Iz53.110上Pa=-4.379MPa（"-”号表示压应力）-MyIz0.025dAyu0-My2Iz20.075-MyM0.05dy+M0.15dy解彳寸a=52.6mm0.025Iz4-18T形梁截面如图所示。已知截面上M=3.

39、1kNm,Iz=53.1X106m4,试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上部分截面的正应力构成的总压力及压力作用点的位置。解：根据仃=My得Iz7575/z题4-19图4-19梁的横截面如图所示。如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变£=0.0003,下端纵向纤维拉伸应变£=0.0006。试求截面上阴影部分总的法向内力。已知材料的E=200GPa解：由仃=也及仃=Eg得:IzE；3Iz由于同一截面上E、M及Iz相同，故a与y成正比。由上端0=-0.0003,下端与=0.0006得:3y上二一一450-150mm,9故MIz阴影部分总的法向内力为:M=16kN-m及剪力F

40、s=6kN,4-20矩形截面梁的截面尺寸如图所示。已知梁横截面上作用有正弯矩求图中阴影面积I及口上的法向内力及切向内力。解：分析截面:由对称知中性轴既是形心主轴_*FSSz-S=积分得Izb一*Fni0.075=J*=0.025=AjdA=0.0.075MyT"Fs01M0.0750.1dy=-1025ydy=142.2kN（压力）Iz025Iz0.10.075y0.10.075-y0.1dy=Fs0.1Iz20.075）00250.0752-y2dy=1.556kNFnii0.025M-1-dAn=yAn由Jz0.05dy二0.05MIz0.025oydy=8.89kN（拉力）Fs

41、n0.025=%肮=0Fs0.075yIz0.120.10.075y0.05dy=Fs0.050.0252200.075-ydy=Iz0.723kN4-21为了提高梁的弯曲强度,如图所示在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度较小时，反而会使弯曲强度降低，已知尺寸b、bi、h,试求抗弯强度为最低时的肋板高度h解：梁的正应力强度条件为=Mmax<|maxzhymaxIh1一h,而ymax(h,)=：,所以只需求解Iz(h1,将梁截面分为ABC三部分令色史_)=0得:.hi6h12所以h13=：b-h3=2。.hihibh2b4-22图示圆形截面悬臂梁，受均布荷载q作用，试计算梁横截面上最大切应力

42、、最大正应力及它们两者的比值。解：剪力图，弯矩图如图所示。maxMmaxWzql22=咽!1由圆形截面知rd3所以,4-23矩形截面梁高为h,试问在距中性轴多远处，横截面上的切应力等于平均切应力？*解：距截面中性轴为y处的切应力F=-FsSzIzbSz为截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。则题423图sZ=jybdy=b(匚y2)24平均切应力为反，式中A=bh,要使截面上切应力等于平均切应力，即使AFsbh解彳导y-二一124-24木制悬臂梁受载如图所示。试求中性层上的最大切应力及此层水平方向的总剪力。答：。max=0.3MPaFs*=30kNa40.141_44*43斛：

43、分析截面Iz=一=M10mSz=0.025X(0.1X0.05=1.25X10-m121212则中性层上的最大切应力为*FsmaxSzIzb342101.2510Pa=0.3MPa1100.112此层水平方向的总剪力为Fs=adA=0342f101.25100.1dx=30kN1口100.1124-25T形截面梁如图所示。已知Fs=100kN,Iz=11340X10-8m-试求中性轴及翼缘与腹板交界点处的切应力。解：分析截面Sz中性轴162.594350162.510=6.610m2_*由T=%Sz得Izb中性轴上.=100103竽10“Pa=11.64MPa1134010®0.05

44、奥上柩1001036.2510父界点处.=8Pa=11.02MPa11340100.054-26已知梁横截面上的弯矩M=60kNm,横截面尺寸如图所示。试求此截面上的最大正应力。解：分析截面Iz=X0.24-X0.164=1.012X10m41264所以max3Mymax601001=-071Pa=59.3MPaIz1.012104-27由50a号工字钢制成的简支梁如图所示。试求横截面上的最大正应力和最大切应力。解：1、计算支反力由平衡方程:ZMa=0即FbM6180M0.5180M130父6父3=0得Fb=135kN£Y=0即fa+Fb18018030父6=0得Fa=405kN2、

45、作剪力图与弯矩图405390由图可知FSmax=405kNMFs图3、求最大正应力和最大坟函力max4.5304.5303.75kNm24.5m1354-28试求图示梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并绘出危险截面上正应力和切应力的分布图。M图H(kN-m)丁+303.75梁所受剪力为FSx=q2x=2x103N解：1、计算支反力由平衡方程：£Ma=0即Fb父8+20x4x6-20x4x2=0得FB=40kN£Y=0即Fa+Fb_80+80=0得Fa=40kN2、作剪力图与弯矩图由图可知Fsmax=40kNMmax3、求最大正应力和最大切百440Nm¥i】ii.

46、40.ilaiHili分析截面|z-2|(kN)32020012+182X20X2000l+4°JI121s72210020mm64=39.69310m、-maxMmaxY3401lkM-418Jllll'MPa11llhIz39.69310404、绘出危险截面上正应力和切应力的分布图4-29在图中如以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截取一部分，试求在纵向面mnn'm'上由微内力。dA所组成的合力，并说明它与什么力平衡，用图表示。解：求支反力：由平衡方程XMA=0即FbL-qL=。得2F-生FB一2£Y=0即Fa+FbqL=0得Fa若求合力T：分析小块

47、，在nn处所受切应力为由受力平衡则,x'=.x=当_l-2x4bh所受合力为T=(Tx,dA=j旨/L2x)bdx=它与nn所在横向面所受拉应力平衡。3qxL-x4h4-30从图示梁中取出一脱离体，试求其横截面AA'B'B上:(1)最大、最小正应力；(2)最大、最小切应力；(3)正应力组成的法向内力F/；(4)切应力组成的切向内力Fs*。(5)纵向面上切向应力T”。BB'段上的正应力最大,其值为：Mmaxymax_2_23pl、-Bmax一Iz一bh3一,.2，bh12AA'段上的正应力最小,其值为："-"Amin_Mmaxymin_

48、一Iz一Plh-zX24_2.34-bhy2bh2解：(1)对于横截面AA'B'B来说，(2)AA'段上的切应力最大，其值为:tmax_*FsSzmaxIzbhp-h2ydA4-ZT3bhb123-bhb12h49P_=8bhBB'段上的切应力最小，其值为:?.min*FsSzminIzbFsIzb(3)正应力组成的法向内力为:*MyMFn=a*二dA=A*dAA*ydA=IzIz_pl一万bh312hh2ydA=-46pl33-bh32bh9pl16h(4)切应力组成的切向内力为:Fs=卜TdA=A_*2bdy=Fh2IzbIz.2-b(-y)dypbh312

49、p2一h22b(7-y)dy=5P32(5)纵向面AA'c'c上切应力组成的切向应力4-31一根木梁的两部分用单行螺钉连接而成，其横截面尺寸如图所示。已知剪力Fs=3kN,Iz=113.5X106m4,螺钉的容许剪力为700N,试求螺钉沿梁纵向的间距FCS,解：截面上AA处由剪力Fs引起的切应力为7=上二Izb由切应力互等定律木梁两部分连接面上有切应力T,所以一个螺钉所承受剪力为:容许剪力为700Nf_s-所以F<700-a-700Iz所以距a为42.37mm4-32用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图a所示，每块木板的截面均为150mmx25mm,如每一螺钉的容许剪力为1.1kN,试确定螺钉的间距a。又如改用图b所示的截面形状，其他条件不变，则螺钉的间距a应为多少？55kN=1.375kN4答：(a)a=0.117m；(b)a=0.176m解：(a)由平衡条件£MA=0得FB4F1=0则FB则Fsmax二F-Fb=5.5-1.375kN=4.125kN分析截面(a):由对称知形心主轴即是对称轴则两极连接处Sz*=87.515025mm3=328.125106m所以在两极连接处所受的切应力为由题意