阿基米德三角形性质与高考题

1、阿基米德三角形性质与高考题性质1:阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴即TT）19.（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标翦*占八、C（0,C）任作一直线，与抛物线y=x%相少A,直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y(1)若OAOB=2,求c的值；（5分）(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的以线;yyyB两点.一条弱DCA(5分)xOy中，；(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.（4分）19.本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力.满分向量的数量积、导数的应用、简易逻辑14分.解：（1）设直线AB

2、的方程为y=kx+c,将该方程代入y2,一2一=x得xkxc=0.2令A(a,a),2.B(b,b)，则ab=c.因为OAoB=ab+a2b2=c+c2=2,解得c=2,或c=-1（舍去）.故c=2.一、.ab（2）由题意知Q,2cI，直线AQ的斜率为kAQa2caba_a-ab=2a-a-b2又y=x2的导数为y'=2x,所以点A处切线的斜率为2a,因此，AQ为该抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，证明如下:设Q(x。,c).若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a,aca-aba-ab又直线AQ的斜率为kAQ=,所以=2a,a-x0a-x0a-x02得2ax0=a+ab，因a#0

3、,有x0=2故点P的横坐标为亘上b,即P点是线段AB的中点.2性质2：|AF|-|BF|=|QF|2例7. （13广东）已知抛物线C的顶点和原点，其焦点刀线PA,PB J的最,切B两点.A、X1 :Xi,Xi2x1x - y - x1B', yP = xoxi2x0x - y - xx0xxP=2）和设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条求抛物线C的方程;性质物线（阴（田）3：当点P（xo,y0 ）为直线l上的定点对F当点P在直线l上移动时，求|AFBFQFA -ZQFB（05江西）如图，设抛物线 C :C的两条切线PA、PB,且与抛物建（1）求AAPB的重心 G的轨迹方(2)证明

4、/ PFA=/22 .解：（1）设切点A、切线AP的方程为:切线BP的方程为:解彳P P点的坐标为:PFB.B坐标分别为Q（所以AAPB的重心G的坐标为 xG =x°xi:x y2 = 0的距离为32 .2A = 0上运动，过P作抛2所以yp = -3yG +4% ,由点P在直线l上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为:(2)因为 FA =(x0,x02 -1), FP =('4x112 1 、-,x0x1),FB=(x1,x1)244由于P点在抛物线外，则|FP|#0.cosAFP=FPFA|FP|FA|x0x12,1、,21、x0(x。)(x0)x°xi44221|FP|Jx0+(x°4)|FP|FPFB同理有cosZBFP=|FPIIFB|，1、,21、X1(x0x1)(x1-)44XoXi./AFP=/PFB.性质4:过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为(21)(06年全国卷2)已知抛物过A、B两点分别作抛物线的切线,(I)证明fM.AB为定值;(II)设AABM的面积为S,写出2,212X1(X1