圆锥曲线定义以及相关

1、圆锥曲线定义：圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。分类1）椭圆（ellipse）文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（xA2/aA2）+（yA2/bA2）=1其中ab0,c0,cA2=aA2-bA2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（乂人2巧人2）+&人2佑人2）=1其中ba0,c0,cA2=aA2-bA2。参数方程：X=acos

2、0Y=bsin0（明参数，设横坐标为acos，。是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acos0=r）2）双曲线（hyperbola）文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：（xA2/aA2）-（yA2/bA2）=1其中a0,b0,cA2=aA2+bA2.2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：（yA2/aA2）-（xA2/bA2）=1.其中a0,b0,cA2=aA2+bA2.参数方程：x=asec0y=b

3、tan0（0为参数）直角坐标（中心为原点）：xA2/aA2-yA2/bA2=1（开口方向为x轴）寸2咬2-xA2/bA2=1（开口方向为y轴）3）抛物线（parabola）参数方程x=2ptA2y=2pt（t为参数）t=1/tan0（tan曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=axA2+bx+c（开口方向为y轴，a0）x=ayA2+by+c（开口方向为x轴，a0）圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为p=ep/（1+cos0）其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。焦点到准线的距离等于exia（到最近的准线的距离等于ex-a）圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1F

4、2为左右焦点，P（x,y）,长半轴长为a）离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1,所以所有的抛物线都是相似图形。焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲

5、线P在左支，|PF1|=a-ex|PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=a+exP在下支，|PF1|=a-ey|PF2|=a-eyP在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=-a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程以x0x代替xA2,以y0y代替yA2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y即椭圆:x0x/aA2+y0y/bA2=1;双曲线：x0x/aA2-y0y/bA2=1;抛物线：y0y=p(x0+x)焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。椭圆的焦准距:p=(bA2)/c双曲线的

6、焦准距:p=(bA2)/c抛物线的准焦距:p焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形通径圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。椭圆的通径:(2bA2)/a双曲线的通径:(2bA2)/a抛物线的通径:2p圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(xA2/aA2)+(yA2/bA2)=1ab0(xA2/aA2)-(yA2/bA2)=1a0,b0yA2=2pxp0范围xC-a,aye-b,bxC(-8,-aUa,+8)yRx0,+泊yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,

7、0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)【其中cA2=aA2-bA2】(c,0),(-c,0)【其中cA2=aA2+bA2】(p/2,0)准线x=i(aA2)/cx=aA2)/cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,eC(0,1)e=c/a,eC(1,+)e=1焦半径1PF11=a+ex1PF21=a-ex1PF11=1ex+a11PF21=1ex-a11PF1=x+p/2焦准距p=(bA2)/cp=(bA2)/cp通径(2bA2)/a(2bA2)/a2p参数方程x=acos0y=bsin0,。为参数x=asec0y=btan0,。为参数x=2ptA2y=2pt,t为参数过圆锥

8、曲线上一点(x0,y0)的切线方程(x0x/aA2)+(y0y/bA2)=1(x0x/aA2)-(y0y/bA2)=1y0y=p(x+x0)斜率为k的切线方程y=kx+武3人2)(kA2)+bA2y=kx+”aA2)他人2)4人2y=kx+p/2k圆锥曲线的中点弦问题已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程L联立方程法。用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑)，与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。2.点差法，或称代点相减法。设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2),代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得(x1+x2)(x1-x2)/(aA2)+(y1+y2)(y1-y2)/(bA2=0由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。(使用时注意判别式的问题)求点的轨迹方程在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形