垂直于弦的直径

1、垂直于弦的直径教学设计一、教材依据人民教育出版社九年级数学（上册）第24章圆第一节圆第二课时垂直于弦的直径二、设计思想本节主要介绍圆的垂径定理。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为实行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以垂径定理及其推论是本小节的重点，也是本章的重点内容。垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，所以它也是本节的难点。万事开头难，九年级学生初识圆的性质，必然存有一定的困难，教学过程中一定要注意以下几点：1、创设新颖的导入情境，让数学贴近学生的生活实际。2、通过展图片，制作演示折纸，培养学生动手操

2、作水平，促动学生参与教学意识形式。3、搜集圆在生活中的应用事例，充分利用教材，创造性的使用教材。4、让学生从身边的数学起步，提升兴趣，降低理解难度，体验成功的乐趣，培养自信心。三、教学目标知识与水平 通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性。 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决相关的证明和计算问题。过程与方法经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。情感、态度与价值观 结合本课教学特点，向学生实行爱国主义教育和美育渗透。 激发学生探究、发现问题的兴趣和欲望。四、教学重点垂径定理、推论及其应用。五、教学难点发现并证明垂径定理。六、教法选择讲授法、实验法、演示

3、法、练习法。七、学法指导动手操作、观察、归纳、自主探究。八、教学准备圆形纸片及扇形纸片，赵州桥照片。九、教学过程（一）情景引入（出示图片）你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4m拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m你能求出主桥拱的半径吗？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这个问题。（二）实践探究1、探究：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？学生活动：学生动手操作，观察操作结果，如图1所示，能够发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能

4、够完全重合，由此能够发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.教师活动：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性.2、思考：如图2,AB是OO的一条弦，作直径CD使CtXAR垂足为E.(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？学生活动：(1)按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个O沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD第三步，在OO上任取一点A,过点A作C晰痕的垂线，D得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；如图2第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B,

5、如咳2由此能够得到：AE=BEAC=BCAD=BD(2)证明结论：如图2所示，连接OAOB得到等腰OAB即OXOB因CtUAB,故OAAOBE都是直角三角形，又OE为公共边，所以两个直角三角形全等，则AE=BE.又O。关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合.所以AE=BEAC圮C同理得到AD=BD.教师活动：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的CD为直径条件y-CD±AB直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；AC=BC,>结论<AE=BEAD=BD我们还能够进一步得出：平分

6、弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两C两直径条件'A结论YIAE=BEAE=BE条弧.AC=BCCD±AB(AB非直径)AD=BD垂径定理的推广：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对优弧(5)平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任何两个条件都能够推出其他三个结论.简称“知二推三”。请学生思考：(1)为什么垂径定理的推论中要附加“不是直径”这个条件？你能举例说明吗?(2)利用这个垂径定理的推论你能平分一条弦吗？3、动动手：已知扇请你利用尺规作图的方法作出届的中点，说出你的作法.AB图3分析：根据

7、基本尺规作图能够发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理的推论只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点.作法：(1)连接AB(2)作AB的中垂线，交AB于点C,点C就是所求的点.4、小试身手：赵州桥问题，演示扇形图片。如图3,用AB表示桥拱、AB所在圆的圆心是点O,半径为R,过O作OdAB于点D,OC与AB交于点C,则AD=BDAc=Bc所以CD为拱高，即此实际问题转化为这样一个数学问题：已知CD=7.2m,弦AB=37.4m,求此圆半径.学生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OQAB则有AD=BD且ADO直角三角形，在直角三角形中能够

8、利用勾股定理构造方程.教师活动：方法总结：在学生解决问题的基础上引导学生实行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距(圆心到弦的距离)四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就能够求出来.解答设圆的半径为R,由条件得到OD=R1一7.2,AD=AB=18.7,2在RtADO中AO2OD2AD2即：F2=18.72+(R-7.2)2解得F27.9(m).答：赵州桥的主桥拱的半径约为27.9m.学以致用题目：某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图5所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？图6师生活动：让学生在探究过程中,进一步把实际

9、问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维.解答如图8所示，连接OA过O作OHAB垂足为E交圆于F,则AE=1AB=302cm.令OO的半径为R,贝UOA=ROEOF-EF=R-10.在RtAEO中，0尺=入+0巨，即F2=302+（R-10）2.解得R=50cm.修理人员应准备内径为100cm的管道.（四）总结提升们同学们小结本节课内容：1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。2、垂径定理及其推论内容（知二推三）。3、垂径定理的广泛应用及其与勾股定理联用。4、解决相关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。（五）作业布置课外练习：教材P88练习1、2作业：习题24.1第1题，第8题，第9题.十、教学反思本节课学生对垂径定理的理解有一定困扰，所以在讲解时，协助学生剖析垂径定理的条件和结论。使用垂径定理解决问题，学生感到吃力，所以要增强这方面的应用，同时总结弦长