重力势能和机械能守恒定律

1、“重力势能和机械能守恒定律”的典型例题【例1】如图所示，桌面距地面0.8m, 物体质量为2kg，放在距桌面0.4m的 支架上.（1）以地面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌 面过程中，势能减少多少？（2）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到 桌面过程中势能减少多少？【分析】根据物体相对零势能位置的高度，直接应用公式计算即得.【解】（1）以地面为零势能位置，物体的高度 h1=1.2m，因而物体的重力势能:Ep仁mgh1=2X 9. 8X 1. 2J=23. 52J物体落至桌面时重力势能：Ep2=mgh2=2X 9. 8X 0. 8J=15. 6

2、8J物体重力势能的减少量： Ep=Ep1-Ep2=23. 52J-15. 68J=7. 84J（2）以桌面为零势能位置.物休距零势能位置的高度M =0.4ia因而物体的重力势能：物体落至桌面时，重力势能的减少量【说明】通过上面的计算，可以看出，物体的重力势能的大小是相对的，其数值 与零势能位置的选择有.而重力势能的变化是绝对的，它与零势能位置的选择无 关，其变化值是与重力对物体做功的多少有关. 当物体从支架落到桌面时重力做 功：【例2】质量为2kg的物体自高为100m处以5m/s的速度竖直落下，不计空气 阻力，下落2s，物体动能增加多少？重力势能减少多少？以地面为重力势能零 位置，此时物体的机

3、械能为多少？（ g取10m/s2）【分析】物体下落时，只受重力作用，其加速度 a=g,由运动学公式算出2s末 的速度和2s下落高度，即可由定义式算出动能和势能.【解】物体下落至2s末时的速度为：2s物体增加的动能:2s下落的高度为：h = uOt + | 2 =5X2m + 2 X1°X4m = 30m重力势能的减少量：此时物体离地面的高度为：h' =H h= (100-30) m=70m以地面为零势能位置时，物体的机械能为：【说明】抛出后，由于物体只受重力作用，整个运动过程中只有重力做功，物体 的机械能守恒.刚抛出时，物体的机械能为：Eo 二mgH十gmv： =2X10X1

4、0QJ + l X 2X52J在下落过程中，重力势能的减少量恰等于动能的增加量，即 Ek= Ep【例3】质量为1.0kg的物体，自空中落下，以8.0m/s2的加速度经A点到达B 点，A、B相距0.75m.若物体在B点时的动能为8.0J,那么通过AB的过程中 物体动能的增加量为多少？物体克服阻力做多少功？(取g=10m/s2)【分析】由于下落的加速度avg,在下落时一定受到阻力，根据牛顿第二定律， 可算出阻力，于是即可得克服阻力的功.已知物体在B点的动能，可算出在B点的速度，结合运动学公式算出 A点的速度后，即可算出动能的增量.【解】设下落中物体受到的阻力为f,由mg f=ma得 f=mg-ma

5、=1.0(10-8)N=2N物体克服阻力做功:所臥E=2J物体从A落到B的过程中，动能的增加量为: Ep=EkB EkA=8.0J 2.0J=6.0J【说明】物体从A落到B的过程中，势能减少： Ep=mgs=1 x 10X 0.75J=7.5J它大于物体动能的增加，可见其机械能不守恒.这是由于存在阻力的缘故.势能 的减少与动能增加量之差恰等于物体克服阻力做的功，即 Ep Ek=Wf这也就是从A到B的过程中所减少的机械能.【例4】如图所示，光滑圆管形轨道 AB部分平直，BC部分是处于竖直平面半 径为R的半圆，圆管截面半径rR,有一质量m,半径比r略小的光滑小球以 水平初速v0射入圆管，（1）若要

6、小球能从C端出来，初速v0多大？ （2）在 小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？【分析】小球在管运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，要求小球能从C端射出，小球运动到C点的速度vc>0根据机械能守恒定律即可算出初速 v0 小 球从C端射出时可能有三种典型情况：刚好对管壁无压力；对下管壁有压 力；对上管壁有压力.同理由机械能守恒可确定需满足的条件.【解】（1）小球从A端射入后，如果刚好能到达管顶，贝U vc=0，由机械能守恒因此，要求小球能从C端出来，必须使vc>0,所以入射速度应满足条件（2）小球从C端出来的瞬间，可以有三种典型情况： 刚好对

7、管壁无压力，此时需满足条件联立得入射速度 对下管壁有压力，此时相应的入射速度为 对上管壁有压力，相应的入射速度为【例5】如图所示，劲度系数k1的轻质弹簧两端分别与质量为 ml、m2的物块1、 2栓接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2栓接，下端压在桌面（不栓接）， 整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下 端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了 ，物块1的重力势能增加了【分析】设原来两弹簧压缩量分别为x1和x2,由物体的力平衡知当施力将物块1缓慢上提至下面弹簧刚脱离桌面时，表示下面的弹簧已恢复原 长，物块2升高的高度h2=x2,所以在此过程中，物块2的

8、重力势能增加此时，上面的弹簧受到拉伸，设其伸长量为 x'1,由物块2的力平衡条件知，则物块1在这过程中升高的高度为r,f 血谄,（呵+叫）皿靑11】=勺+牝+叫+ +=呵十叫）卜右b所以，物块1的重力势能增加14-【答】必310 mi （叫十叫）fc2禹幻丿-Ejj1 =尬1妙1 =血1mi +1112)【例6】关于机械能是否守恒的叙述，正确的是A 作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B 作匀变速运动的物体机械能可能守恒C. 外力对物体做功为零时，机械能一定守恒D. 只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒【分析】机械能守恒的条件是除重力对物体做功外，没有其它外力对物体做功， 或其它外力

9、对物体做功的代数和等于零.当物体作匀速直线运动时，除重力对物体做功外，可能还有其他外力做功.如降 落伞在空中匀速下降时，既有重力做功，又有阻力做功，机械能不守恒.物体作匀变速运动时，可能只有重力对物体做功，如自由落体运动，此时物体的 机械能守恒.因物体所受的外力，指的是包括重力在的所有外力，当外力对物体做功为零时， 可能是处于有介质阻力的状态，如匀速下降的降落伞，所以机械能不一定守恒.【答】B，D .【例7】某人以v0=4m/s的初速度，抛出一个质量为 m的小球，测得小球落地 时的速度大小为8m/s,贝U小球刚抛出时离开地面的高度为多少？取 g=10m/ s2.空气阻力不计.【分析】小球从抛出

10、到落地过程中，不受阻力，只有重力做功，由小球的机械能 守恒即可算出离地高度.【解答】设小球抛出时的高度为h，落地速度为vt，取抛出和落地为始、末两状 态，以地面为零势能位置，由机械能守恒定律得：1 2 2 mgh+-mv0t-o 【说明】有些同学直接根据匀加速运动的公式尿-品=2詔寻 出结果，尽管答案相同，但是不正确的这里的小球不一定作直线运动，必须根 据机械能守恒求解.【例8】如图所示，以速度v0=12m/s沿光滑地面滑行的小球，上升到顶部水平 的跳板上后由跳板飞出，当跳板高度h多大时，小球飞行的距离s最大？这个距 离是多少？ ( g=10m/s2)【分析】小球上滑到跳板顶端的过程中，只有重

11、力做功，机械能守恒从跳板顶 飞出，小球作平抛运动.【解】设小球从跳板顶飞出的速度为v,由机械能守恒(取底部为势能的参考平 面)得小球从顶端飞出后作平抛运动，其水平位移为为了找出使水平位移s最大的条件，对上式作变换得可见，当满足条件小球飞出后的水平距离最大，其值为【例9】图中圆弧轨道AB是在竖直平面的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水 平的一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力， 则在质点刚要到达B点时的加速度大小和刚滑过 B点时的加速度大小分别为()A 0，g B g，g C. 2g，g D. 2g，2g【分析】质点从A到B的下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒.取过B点

12、的水平面为零势能面，设轨道半径为 R，则有质点从A到B是作变速圆周运动，当它刚到达 B点瞬间的加速度为纽B二罟-联立（1），（ 2）两式得质点刚滑过B点，仅受重力作用，其加速度大小为【答】C.【说明】必须注意，物体的加速度跟所受外力是一个瞬时关系，一旦外力变化，加速度随即变化.图中质点刚到达 B点时，受到轨道向上的弹力和竖直向下的 重力作用，产生的加速度指向过 B点竖直向上的方向，即指向圆心.冈寸滑过 B 点，轨道支持力为零，仅受重力作用，产生的加速度竖直向下.物体的速度则由于惯性，力图保持不变，图中质点在刚到达B点和刚滑出B点的速度大小均为陀=律云方向沿术平向右门【例10】如图1所示，ABC

13、和AD是两上高度相等的光滑斜面，ABC由倾角不 同的两部分组成，且AB+BC=AD，两个相同的小球a、b从A点分别沿两侧斜 面由静止滑下，不计转折处的能量损失，则滑到底部的先后次序是A. a球先到B. b球先到C.两球同时到达D .无法判断【分析】小球沿两斜面下滑过程中，都只有小球的重力做功，机械能守恒，因此, a、b两球滑到底端的速度大小一定相等，即 vC=vD .在AD斜面上取AB ' =AB （图2）,由于AB部分比AB '部分陡些，小球滑到因此，两球在AB与AB '段、BC与B ' D段上的平均速度的大小必然是由于对应的斜面长度AB=AB BC=B

14、9; D .所以通过它们的时间长短必然是tAB v tABtBC v tB ' D .也就是说,沿 ABC 斜面的小球先滑到底部.【答】A.【说明】 本题还可以画出 v-t 图作出更简捷的判断.如图 3 所示,为沿 ABC 和AD下滑小球a b的v-t图.由于AB+BC=AD ,则图线下方与t轴间的面积应相 等,也就是图中划有斜线的两部分面积相等, 显然,两球运动时间必然是 tavtb.图3【例 11】如图 1,一个质量为 m 的小球拴在全长 L 的细线上做成一个单摆,把 小球从平衡位置0拉至A，使细线与竖直方向成9角，然后轻轻释放.若在悬 点0'的正下方有一颗钉子P,试讨论，

15、钉子在何处时，（1）可使小球绕钉来回摆动；（2）可使小球绕钉做圆周运动.【分析】 小球摆动过程中， 只有小球的重力做功. 当不考虑细线碰钉时的能量损 失时，无论小球绕钉来回摆动，或绕钉做圆周运动，小球的机械能都守恒.【解】 （1）小球绕钉来回摆动时，只能摆到跟开始位置 A 等高的地方，因此， 钉子P的位置围只能在过A点的水平线与竖直线 00'的交点上方（图2）,即 钉子离悬点0'的距离h应满足条件OW h< Leos 9.（2）设钉子在位置P'时刚好使小球能绕钉做圆周运动， 圆半径R=P' 0,设小 球在最高点C的速度为vc,并规定最低处0为重力势能的零位

16、置（图3）,由 A、C两位置时的机械能守恒 EA=EC ,即AmgL (1 - cos © ) = -mvc +mg * 2R.又因为刚好能越过C点做圆运动，此时绳中的力为零，由重力提供向心力，即9联立、3）两式得R=-|L （l-coSe）.所以钉子P'离悬点0'的距离如果钉子位置从P'处继续下移，则小球将以更大的速度越过圆周的最高点，此 时可由绳子的力补充在最高点时所需的向心力，仍能绕钉子做圆周运动所以， 能绕钉做圆运动时钉子离悬点的距离 h应满足条件【说明】由本题的解答可知，位置p是小球能绕钉来回摆动的最纸位置；位置p' 是小球能绕钉做圆周运动的

17、最高位置如钉子在 pp'之间，则悬线碰钉后，先 绕钉做圆运动，然后将在某一位置上转化为斜抛运动.【例12】一壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面，环的半径为R （比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径比细管径略小的小球（可视为质点）.A球的质量为ml, B球的质量为m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速 度都为vO设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用 于圆管的合力为零，那么 ml, m2, R与vO应满足的关系式是 .【分析】A球运动到最低点时，由外壁对它产生的弹力NA和A球重力mlg的合力作为向心力，即得 =111! -htrng.1）A球对外壁产生的压力

18、NA '大小等于NA，方向沿半径背离圆心（图1）. 要求对圆管的合力为零，B球在最高点时也必须对外壁（不可能是壁）产生一个 等量的压力NB '.因此，B球在最高点有向外壁挤压的作用，由外壁对它产生 的弹力NB和球重m2g的合力作为向心力（图2）.设B球在最高点的速度为 vB,据向心力公式和机械能守恒有揖 VT- °理广八侍 KTp二田2 p_血2务根据题意NA ' =NB '，即要求一 mJ(nil) g- 0.2vnRg = 0.【例13】如图所示，半径为r,质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一 个垂直盘面的光滑水平固定轴 0，在盘的最右边缘固

19、定有一个质量为 m的小球 A，在0点的正下方离0点r/2处固定一个质量也为m的小球B 放开盘让其 自由转动，问：（1）当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？（2）A球转到最低点时的线速度是多少？（3）在转动过程中半径0A向左偏离竖直方向的最大角度是多少？【分析】两小球势能之和的减少，可选取任意参考平面（零势能位置）进行计算.由 于圆盘转动过程中，只有两个小球重力做功，根据机械能守恒即可列式算出A球的线速度和半径0A最大偏角.【解】（1）以通过0的水平面为零势能位置，开始时和 A球转到最低点时两球 重力势能之和分别为两球重力势能之和减少巨F 7 =EFl-EpC =-11叱4一昭)

20、r二昨.(2) 由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功、机械能守恒，因此，两球重力 势能之和的减少一定等于两球动能的增加设 A球转到最低点时，A、B两球的 速度分别为vA、vB，贝U因A、B两球固定在同一个圆盘上，转动过程中的角速度(设为 3)相同.由得 vA=2vB .代入公式，得(3) 设半径0A向左偏离竖直线的最大角度为 9如图，该位置的机械能和开始 时机械能分别为由机械能守恒定律E仁E3,即即 2cos9 =1+sin 9.两边平方得4 (1 si n2 9) =1+si n2 9 +2si n9，5si n2 9 +2s in 9 3=0，即血e二土乎互负根舍去【例14】一个质量为m的

21、木块，从半径为R、质量为M的1/4光滑圆槽顶端由 静止滑下，在槽被固定和可沿着光滑平面自由滑动两情况下， 如图，木块从槽口 滑出时的速度大小之比为【分析】槽固定时，木块下滑过程中只能有重力做功，木块的机械能守恒，木块 在最高处的势能全部转化为滑出槽口时的动能由得木块滑出槽口的速度槽可动时， 当木块开始下滑到脱离槽口的过程中， 对木块和槽所组成的系统， 水 平方向不受外力，水平方向的动量守恒设木块滑出槽口时的速度为v2，槽的速度为u,则mv2+Mu=0又木块下滑时只有重力做功， 机械能守恒， 木块在最高处的势能转化为木块滑出 槽口时的动能和圆槽的动能，即联立两式得木块滑出槽口的速度因此，两情况下

22、滑出槽口的速度之比【答】D 【 例 15】如图， 长为 L 的光滑平台固定在地面上， 平台中央有两小物体 A 和 B， 彼此接触靠在一起，A的上表面有一半径为R ( RL)、顶端距台面高h的圆槽, 槽顶有一小物体C, A、B、C三者质量均为m,现使物体C由静止沿圆槽下滑， 且运动过程中它始终与圆槽接触，求1. A和B刚分离时，B的速度；2. A和B分离后，C能达到距平台的最大高度.【分析】 物体 C 下滑时， C 对 A 作用力的水平分力向右，推动 A、 B 一起向右 加速运动当C滑至圆槽底部时，C对A作用力的水平分力为零，A、B两者向右的加速过程结束，速度达到最大以后，C将沿圆槽上滑，C对A

23、作用力的水 平分力向左，A将开始做减速运动，而B则沿平台匀速向右因此，C滑至圆槽 底部的时刻就是A、B即将分离的时刻.把A、B、C三个物体组成的系统作为研究对象，C下滑过程中，系统在水平方 向不受外力，动量守恒同时，整个系统无重力和弹力以外的力作功，机械能守 恒联合应用这两条守恒定律，即可得解.【解】规定以水平向右为正方向，由 C刚开始滑下和C滑至圆槽底部两时刻的 动量守恒，O=mvA+mvB mvC.（1）又由于整个系统无重力和弹力以外的力作功，机械能守恒，当取槽底为零势能位 置时，1 2 1 2 2vA=vB .(1)、（3）两式，得vC=2vB，代入（2）式，即得2. C沿圆槽上滑，至某

24、一最高点时，A、C两者无相对运动，设此时共同速度为v,其方向为水平向左，仍以 A+B+C为研究对象，由C刚开始滑下至C、A两者相对静止两时刻动量守恒（此时 B以速度vB沿平台匀速右滑），则O=mvB 2mv.（4）又由整个系统的机械能守恒，当取平台为零势能位置时，则（式中E为C滑至最高点吋距台面高度）,由（4）式得2卜mgh =mgH.把它与上面解得的= 一起代入式,得【说明】确定A、B两物体何时分离，是解答前半题的关键，此外在应用动量守 恒定律时，可始终以A+B+C为研究对象，其初动量恒为零，列式较为简单.【例16】在光滑的水平面上有运动的物体 A，其质量为mA，动能为Eka,另有静 止的物

25、体B，其质量为mB.在物体B的一个侧面固定一个劲度系数为 k的轻质 弹簧如图所示若物体 A冲向弹簧并推动物体B，且相互作用过程中没有能 损耗，问（1）mA、mB之间的关系满足什么条件，物体A传给B的动能最大？最大值是 多少？（2）如果相互作用后，物体 A、B的速率相等，那么mA : mB=?（3）如果相互作用后，物体 A、B的动能相等，那么mA : mB= ?（4）相互作用过程中，弹簧的最大压缩量为多少？【分析】取物体A和B （包括弹簧）组成的系统为研究对象，物体 A、B相互作 用的过程中，所受到的合外力为零，因此，系统的动量守恒，且题目给定相互作 用过程中没有能量损耗，这就意味着系统的机械能

26、守恒.在运用动量守恒和机械 能守恒建立方程时，要注意选择合适的两个时刻.（1）（3）问涉及相互作用结束时物体的动能、速率，要选择相互作用始、末两状态建立方程.而（4）问中要求解弹簧的最大压缩量，当然此时刻并非是弹簧作用的结束， 但可以选此时 刻和初始时刻，来建立方程求解相关问题.【解】设物体A、B相互作用前，A的速度是vO,作用后A、B的速度分别为 vA '和 vB'.据动量守恒定律有据机械能守恒定律有扌m诸扛 ' 2r 刁C2）联立（1）、（ 2）两式解得m山-叫2m直灯%皿直十口皿左十皿事（1）物体A传给B的动能，即相互作用后B的动能为由此可知，当mA=mB时，E

27、' KB取最大值，且最大值为 EKA，（小物怵扎E作用后的遠率相等，即|吋|=|吋若vA ' =vB '时，有 解得，mA=mB，物体的质量不可能有负值，此解无意义.若vA ' =vB '时，有解得 mB=3mA，即 mA : mB=1 : 3.（3）物体扎B的动能相等，贝llfm屮J 3f 3*代入vA '和vB '后整理得解得叫二（$±2血）叫，_贝lj mA tnE = 3 +tn J 血总二了一 2成两解都合题意.（4）当弹簧压缩量最大时，物体A、B间没有相对运动，即A和B的速度相等,若其速度为v .据动量守恒和机械能守

28、恒有（mj +m2D-（叫+叫）+V,C3?联立（3）、（ 4）两式解得【说明】（1）数学是解决物理问题的工具，通常物理问题中求最大值的一类习题，实质 上就是数学上求函数极值的问题.为此，第（1）问中，首先要写出动能 E KB 的函数表达式，继而根据函数的性质确定其极值.（2）用数学方法求出的解具有更普遍的意义，这些解是否符合题意，且明确的 物理意义，还必须加以分析，本题（2）问中，有一个解出现了“负质量”，这 在物理中是不存在的，必须舍去.但在（3）问中，通过解方程也得到两个解， 而这两个解则都合题意，则应保留.（3）在解第（4）问时，建立动量守恒和机械能守恒的方程时，选择了相互作用 的初始时刻和相互作用过程中间的一个时刻， 而不是相互作用末时刻.这正是运 用了动量守恒和机械能守恒是对全过程而言的性质.例17小球A、B分别固定在长度均为L的轻线、轻杆的下端，杆的上端分别固 定于0点，且均能绕0点无摩擦地转动。要求小球能绕过最高点，求小球在最 低点的最小速度 v1、 v2 各为多大？分析线或杆对小球的弹力， 在小球绕 0点做圆周运动的过程中， 始终与瞬时速 度相垂直，所以弹力不做功，只有重力作功，小球的机械能守恒，要注意到线与 杆对球约束的差异，线可受拉力不能受压力，所以 A 球达最高点线的拉力的最 小值为零，线不可能给球以支持力，球速不