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文档简介

1、§0.6高斯公式通量与散度重点：高斯公式及其应用难点：高斯公式的应用一高斯公式定理1设空间闭区域I 是由分片光滑的闭曲面 2所围成，P( x,y,z) ,Q(x,y,z),R(x,y,z)在I】上 具有一阶连续偏导数，则有公式：I i i(M R)dxdydz 二 Pdydz Qdzdx Rdxdyx；:y；:z7或 111( - )dxdydz = . (cos：亠 Qcos,亠 Rcos )dsx :y:z7这里V是由i】的整个边界边界曲面的外侧构成，cos，cos 一cos为V上点(x,y,z)处的 法向量的方向余弦。例1 利用高斯公式计算曲面的积分：I i(x _ y)dxd

2、y (y _z)xdydzZ其中二为柱面x2 y2 =1及平面z=0,z=3围成，的外侧解:ii(x_y)dxdy (y_z)xdydzZy)丄已(y z)x丄= +Rxdydz° l &xJ=11 i(y _z)dxdydzQ= 2 d v 0 (r sin v - z)rdz9=一2例2 利用高斯公式计算曲面积分I I x2 cos工"y2 cos : Zz2 cos其中二为锥面x2 y2 = z2介于z=0及z=h(>0)之间的部分的下侧，cos,cos -,cos 为二.在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦解：a不是封闭曲面，累此不能直接应用高斯公式

3、若设为z=h ( x2 y2 < h2 )的上侧， 则构成一个封闭曲面，于是由高斯公式得:的外侧ii (x2cost： ： y2cos,'】z2 cos )ds： iii2(x y z)dxdydz7、1=2hdr h(rcosF：rs in F ：z)rdz11(x2 cos二川 y2 cos ： z2 cos )ds二 z2ds 二 h2 .1 02 02dxdy'lDxy224=h nh =二 h11 (x2 cos二，y2 cos # z2 cos )ds ZJ"2.通量与散度1.通量：ii A nds 二(PcosjSQcos ： Rcos )ds 叫做向量场 A 二2 2t,q, R 通过曲面2向着指定侧的通量（或流量）:p：q：rp2.散度：叫做向量场A的散度。记divA，即divA二工excyczex高斯公式可写成：iiidivAdv 二 AndsQ2其中v是空间闭区域门的边界曲面，而IAn= A n = Pcosj 】Qcos ： Rcos是向量A在曲面二的外侧法向量上的投影例求 A = (x2yz)i(y2xz)j(z2xy)k的散度divA = :：(x2yz) .：(y2xz)"z2xy)= 2(x y z)课堂练习:课后作业

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