量子力学复习提纲

1、量子力学复习提纲一、基本假设1、（ 1）微观粒子状态的描述（2）波函数具有什么样的特性（3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、 波函数随时间变化所满足的方程薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设二、三个实验1、 康普顿散射（证明了光子具有粒子性）第一章2、 戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性）第三章3、 史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋）第七章三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证

2、明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。第一章绪论1、德布洛意假设:德布洛意关系:戴维孙-革末电子衍射实验的结果:2、德布洛意平面波:Aei(p rEt)3、光的波动性和粒子性的实验证据:4、光电效应：5、康普顿散射: 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性(3)史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章波函数和薛定谔方程1 量子力学中用波函数描写微观体系的状态。2 波函数统计解释：若粒子的状态用江描写,2d 表示在t时刻，空间处体积

3、元d内找到粒子的几率(设是归一化的)。3 .态叠加原理:n是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加Cnn也是体系的一个可能状态。也可以说，当体系处于态n Cn n时，体系部分地处于态中。4. 任何一个波函数r，t都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。5.波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出:V(r,t)当势场V(r )不显含时间t时，其解是定态解n(r,t)n(r )eiEntn(r )满足定态薛定谔方程其中V(r,t)注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。6 .波函数的归一化条件:2d 1(对整个空间积分)(全)相对几率分布:波函数常数因子不定性;(r) c (r)波函数相位因子不定性

4、:7 波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性,i8.几率流密 j单值性。度与几率密度满足连续性方程9. 定态所需的条件10. 一维无限深方势阱0,(1 )若 V(x)本征值EnnnJa（2）若、八、0,xaV(x)xa则本征值E °11.自由粒子波函数（推导过程）12. 一维谐振子 V _ 本征函数n Nne厂.n x sin , x a 本征函数n a a,x 或 x a本征函数ITnjsin(x a) , n 1,2,3,.xan t a2a0,xa本征值 En n _13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。能级E

5、nxnynznxnynznx, ny,nz 0,1,2,nxnynznz er22Hx)H ny ( y)Hnz( z)第三章 量子力学中的力学量1 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。2.厄米算符A的定义：* a dr （A ）* dr此为坐标表像中的表示式厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。3 .力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值;在非F的本征态 中测量F ,可能值是F的本征值。将（X）用算符F的正交归一的本征函数展开:(X)Cn

6、 n(X) C (X)dXn则在（x）态中测量力学量F得到结果为n的几率为Cn，得到结果在d范围内的几率为力学量的平均值是CnF? nn(X)F?(X)dX ,*(X)(X)dX(x)F (X)dX附：本书中五个基本原理(1)量子力学中态的表示波函数r ,t(2)态叠加原理:(3)定态薛定谔方程:(4)力学量与算符的关系:(5)自旋:4.连续谱的本征函数可以归一化为函数。5 简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度：F?算符的属于本征值n的线性无关的本征函数有f个，我们称F的第n个本征值n是f度简并。6 动量算符p的本征函数（即自由粒子波函数）戸（）e

7、ipr正交归一性p(r) p(r)d(p p)7 角动量Z分量Lzi本征函数m().im e,m,Lz的本征值Lzm8 平面转子（设绕z轴旋转）课本P101 3.5题HL；2 d2哈密顿量2121 d 2能量本征态m()ime , m,9 . L , Lz有共同的本征函数一 球谐函数YmYm()mNimPm(cosim)eNlmlm! l!1 lm!YlmL Yml(l )LzYmm Ym中心力场中，势场V(r) V(r),，角动量L为守恒量。10. 中心力场中，定态薛定谔方程r V(r)r rr,Lz为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为11 .氢原子(r,l,)R(r)Ym(,),m l

8、 , lEn能级简并度e2（玻尔半径）nlm ( r,Rnl(r)Ym(,轨道磁矩Bm ,- Bohr c为玻尔磁子）旋磁比M zLz类氢离子En12.守恒力学量的定义：若（即力学dFdt量F的平均值不随时间变化），则称F为守恒量。力学量F的平均值随时间的变化满足因而力学量F为守恒量的条件为:F , H 13 宇称算符宇称算符的定义：P (r)( r)本征值本征函数。注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。14.对易式定义：A,BabBA15.对易式满足的基本恒等式：A, B CA,BA,CA, BC BA,BA,BCAB,C AB ,CA,CBA, B,CB , C,AC,A,B（Jacobi

9、 恒等式）16.一些重要的对易关系：x , x0, P,P0,x , pixxL , piPLLLx, L yi Lz ,Sx, Syi Sz,J x, J yi J zL2, L0, s2,s0, J2, J0附：要会证明对易关系注：量子力学证明题多关于算符和自旋。17若算符A、B对易，即A,B0，则A和B有共同的本征函数系。在 A和B的共同的本征函数表示的态中测量A、B，都有确定值。1|a,bi A B - A,B简记为2特别地，x px2第四章态和力学量的表象1 . Q表象是以Q的本征函数系 Un x 为基底的表象，在这个表象中，有QUn X Qn Un Xan t Un Xa ta t

10、*,a (t), a (t), an(t)an t算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是Fnmu；FUmdx选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。平均值公式是F F ,归一化条件是1 ,本征值方程是F。附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。2. 幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足S S态的变换是b Sa ；算符的变换是F S FS。幺正变换不改变算符的本征值。附：证明某个算符势厄密算符坐标表像中用厄密算符的性质A dr (A )* dr来证明。任意表象中则用幺正变换(即：表示算符的矩阵的转置共厄等于算符本身)1S S来证明。3.量子态可用狄拉克符号右矢A)或左矢(A表

11、示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且使用十分方便。基矢的完备性：向何I , dxx)(x| In坐标表象狄拉克符号(1)F (x,t)(x,t)F)(2)i t (x，t)H (x,t)itH(3)HUn(x) EnUn(x)HEnn：(4) U；(X)Un(X)dXmn(mmn(5) (x)CnUn(x)!Cnn)nn(6) Cnu；(x) (x)dxCn (n '(7) F*(x)F (x)dxF ( |F(8) *(x) (x)dx 1(|)1第五章微扰理论1 .定态微扰理论适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求H。的本征值

12、和本征函数已知或较易计算，另一方面又要求 Ho把h的主要部分尽可能包括进去,使剩下的微扰H比较小，以保证微扰计算收敛较快，即(1)非简并情况Hnk匚(0)匚(0)EkEn(2)简并情况EkH。Ek0)(0) kkk能级的一级修正由久期方程det HEk1)H11 Ek1)H21Hfk1给出。eP有fk个实根，记为Ek1)分别把每一个根代入方程零级波函数相应能量为EkEk0)2 .变分法选择尝试波函数Hnk(0)E knk(0) (0) E k EnH221,2,fkEk。E (0)E n(0)n，计算H12Ek1)fk2Ek1)H的平均值H.出0，求出H( o).，它表示基态能量的上限。3 由

13、k m的跃迁几率是Wk m(t)a(t)m此公式适用的条件是H1fkH 2fkffffEk1)0，即可求得相应的解，记为a ，于是得出新的它是变分参量的函数，由极值条件i mktmk e dtWk m(t)1,对于 m k4 周期性微扰：光的吸收和发射，选择定则等。第七章 自旋与全同粒子1 自旋基本假设的内容：2. 自旋实验基础：3. 自选角动量、轨道角动量及相应磁矩:4. 自旋角动量算符5. 自选波函数的形成及当自旋与轨道作用可忽略时的波函数6. 什么情况有奇宇称、偶宇称?(b)7. 电子自旋假设的两个要点:(a);内禀磁矩的值即玻尔磁子的值:Be cg因子(回转磁比值)： gs8 旋量波函

14、数r, 2r,2gL的意义及其归一化。9.自旋与轨道无耦合时:r ,SzSzSz的本征态：ss,ss一般自旋态：Ss10自旋算符与泡利矩阵a babs Si ss -?21x?2y?2z1(单位算符)X yyX2izx yy xy zzy2iXy zz yz XXz2iyz XX zX5yiizSX -01Sy -0 i1 0Sz2 10y 2i 02 0 1S23 21040 1附：会证明泡利矩阵11 .总角动量在中心力场V(r)(例如Coulomb场)中运动的电子的相对论波动方程( Dirac方程)，在非相对论极限 下，Hamilton量中将出现一项自旋轨道耦合作用(r)sL(r)11 d

15、Vr22.2 c r dr2 2电子的能量本征态可选为( H丄，J , Jz)的共同本征态，而空间角度部分与自旋部分的波函数则可取为 (L , J ,J z )的共同本征态：j l /ljmj ( ,Sz)j l(l )本征值分别为 l(l ) ,j(j ) ,mj (mjj,j , , j)12. 碱金属原子光谱的双线结构由于(r)s L项的存在，使得Enj丨1/2 Enj丨1/2。例如3p1/23S|/2 (5896 A)Na:3p3/23s1/2(5890A)还可以解释反常塞曼效应。附：只有考虑了电子的自旋光谱线的精细结构才能得到解释。13. 两个电子的自旋单态与三重态(S ,Sz )的

16、共同本征函数SMSSM s()()r()()()()()()(三重态)()()()()00(单态)14. 两个角动量的耦合若J , J是两个独立的角动量，则J J J也是角动量。2 2 2J1J2】,Jz2 2J 1 ,J1z,J2,J2zj 1 j2jm ,耦合表象基矢人口/口？)无耦合表象基矢jjjm ,j1mm2j2m2m2m mhjzm? j1 j2 jmC G系数C-G系数的性质：m g m2,j的取值：j1j2 , j1j2h J1j22,j1j2,15. 全同粒子(1) 量子力学中，把内禀属性(静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等)相同的粒子称为全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换 不引起物理状态的改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性P SS或者交换反对称性P A A。（3）全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为 整数倍（S 0,1,2,）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如 介子（S 0 ），光子（S 1）。它们遵守 Bose统计，称为Bose子。费米子：自旋为半奇数倍（s 1 2,3 2,）的粒子，波函数对