导数中求参数的取值范围

1、导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1. 分离参数，恒成立转化为最值问题2. 分离参数，结合零点和单调性解不等式3. 将参数分成若干个区间讨论是否满足题意1已知函数（，为自然对数的底数）（）讨论函数的单调性；（）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围解：（）函数的定义域为，当时，在上为增函数；当时，由得，当时，函数在上为减函数，当时，函数在上为增函数4分（）当时，在上为增函数；在上恒成立，即在上恒成立， 6分令，则，令，在上恒成立，即在上为增函数，即，即在上为增函数，所以实数的取值范围是 12分2(2016·全国甲卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求

2、曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x

3、)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)0.综上，a的取值范围是(，23(2016·全国乙卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<2. 解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点设a>0，则当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b<0且b<ln ，则f(b)>(b2)a(b

4、1)2a>0，故f(x)存在两个零点设a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)>0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点若a<，则ln(2a)>1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)<0；当x(ln(2a)，)时，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1(，1)，

5、x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2<2等价于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)所以当x>1时，g(x)<0，而g(1)0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.4已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若

6、函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解：(1)由已知得f(x)a(x0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0，得0x，由f(x)0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)0，解得a1，f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递

7、增，g(x)ming(e2)1，即b1，故实数b的取值范围为5(2015·全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)>0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a>0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a>0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f>2a2等价于l

8、n aa1<0.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)6(2016·全国甲卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，

9、)时，f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)0.综上，a的取值范围是(，27.(2016·山东高考)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)ln x2ax2a，

10、可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)2a当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为(2)由(1)知，f(1)0当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a时，1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0，当x时，f(x)0所以f(x)在(0

11、,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为8.(2016·海口调研)已知函数f(x)mx，g(x)3ln x(1)当m4时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若x(1，(e是自然对数的底数)时，不等式f(x)g(x)3恒成立，求实数m的取值范围解：(1)

12、当m4时，f(x)4x，f(x)4，f(2)5，又f(2)6，所求切线方程为y65(x2)，即y5x4(2)由题意知，x(1，时，mx3ln x3恒成立，即m(x21)3x3xln x恒成立，x(1，x210，则m恒成立令h(x)，x(1，则mh(x)minh(x)，x(1，h(x)0，即h(x)在(1，上是减函数当x(1，时，h(x)minh()m的取值范围是9.(2017·福建省质检)已知函数f(x)axln(x1)，g(x)exx1曲线yf(x)与yg(x)在原点处的切线相同(1)求f(x)的单调区间；(2)若x0时，g(x)kf(x)，求k的取值范围解：(1)因为f(x)a(

13、x1)，g(x)ex1，依题意，f(0)g(0)，即a10，解得a1，所以f(x)1，当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0故f(x)的单调递减区间为(1,0)，单调递增区间为(0，)(2)由(1)知，当x0时，f(x)取得最小值0，所以f(x)0，即xln(x1)，从而exx1设F(x)g(x)kf(x)exkln(x1)(k1)x1，则F(x)ex(k1)x1(k1)，()当k1时，因为x0，所以F(x)x120(当且仅当x0时等号成立)，此时F(x)在0，)上单调递增，从而F(x)F(0)0，即g(x)kf(x)()当k1时，因为f(x)0，所以f(x)kf(x)由()知g(x)f(x)0，所以g(x)f(x)kf(x)，故g(x)kf(x)