机械能守恒2多物体机械能守恒问题

1、机械能守恒应用2多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型.2、模型条件(1) .忽略空气阻力和各种摩擦.(2) .平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。3、模型特点(1) .杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒.(2) .对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒.例1.转动质量分别为m和2m的两个小球P和Q,中间用轻质杆固定连接，杆长为L,在离P球处有一个光滑固定3轴O,如图8

2、所示.现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q球顺时针摆动到最低位置时，求:(1)小球P的速度大小;(2)在此过程中小球P机械能的变化量.答案 "2gL 增加gmgL解析(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v,由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故 Q球的速度为2V.由机械能守恒定律得2mg 2L mg 1L =1mv2+1 2m (2v)2, 3322解彳导v = 22gL.(2)小球P机械能增加量 AE = mg Jl+Jmv2 = *mgL 329跟踪训练.如图5 37所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为 m

3、的球，杆可绕无摩擦的轴 O转动, 使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？A B 'I 出M心 «图 5-3-7解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为Va和vb。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由 于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为重力势能参考平面， 可得：2mgL=2mvA+2mvB+ 1mgL又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同, 故 Vb =2va由以上二式得：VA=、J35L, VB='j12gL°根据动能定理，可解出杆对 A、B做的功。L 12

4、对 A 有：Wa + mg2= 2mVA -0,所以 WA=0.2mgL。对 B 有：Wb + mgL = 2mvB2 0,所以 Ws=0.2mgL。答案：0.2mgL 0.2mgL图 53 9例2、平动如图5-3-9所示，倾角为9的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B,两球之间用一根长为 L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为 h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；(2)整个运动过程中杆对 A球所做的功.【解析】(1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为

5、v,根据机械能守恒定律有：c ，、 L .八、122mc(h + 2Sin 。) =2x 2mv解得：v = pgh+gLsinK.(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度寸加大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果.B增加的机械能为 EkB=2mvmgh= 2mgLin 9因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对 A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对 A球做负功，所以1.杆对A球做的功 W= - 2mglsin 9 .1【答案】 (1) 2gh+gLsin(2) -2mgLin 9跟踪训练.如图8所示，在倾角9= 30。的光滑固定斜面上，放有两个质量分别

6、为1 kg和2 kg的可视为质点的小球 A和B, 两球之间用一根长 L = 0.2 m的轻杆相连，小球 B距水平面的高度h = 0.1 m.两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地 面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2则下列说法中正确的是()A.整个下滑过程中 A球机械能守恒B.整个下滑过程中B球机械能守恒C.整个下滑过程中 A球机械能的增加量为2 J3- 一一， , 2D.整个下滑过程中 B球机械能的增加量为w J38答案 D解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统彳脱功，系统的机械能守恒，但在 B球沿水平面滑行，而 A沿斜面滑行时，杆的 弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守

7、恒，故 A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h+Lsin 0) + mBgh=-2(mA+ mB)v2,解得：v = 3iJ6 m/s,系统下滑的整个过程中 B球机械能的增加量为mBv2 mBgh = | J,故D正确；A球的机械能 减少量为2 J, C错误.3例3.联动(2015新课标全国口 21)(多选)如图5,滑块a、b的质量均为m, a套在固定竖直杆上，与-光滑水平地面相距 h, b放在地面上.a、b通过较链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.W()图5A. a落地前，轻杆对b一直做正功B. a落地时速度大小为/2ghC. a下落过程中

8、，其加速度大小始终不大于g D. a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为 mg答案 BD解析 滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项 A错误；以滑块a、b及轻杆为研究1 2对象，系统的机械能守怛，当 a刚落地时，b的速度为零，则 mgh=mva + 0,即va=，时，选项B正确；a、b的先后受力 分析如图甲、乙所示.甲乙由a的受力情况可知，a下落过程中，其加速度大小先小于 g后大于g,选项C错误；当a落地前b的加速度为零（即轻 杆对b的作用力为零）时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时 b受重力、支持力，且 FNb=mg,由牛顿第三定律可知，b 对

9、地面的压力大小为 mg,选项D正确.跟踪训练.内壁光滑的环形凹槽半径为 R,固定在竖直平面内，一根长度为 寸2R的轻杆，一端固定有质量为 m的小球甲，另一端固定有6所示.由静止释放后（）质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图A .下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B .下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C.甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D.杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点答案 AD解析 根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故 A、D对，B错；由于乙球的质量大于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的

10、最低点，否则就不满足机械能守恒，C错.、轻绳连接系统机械能守恒例1 .甲、乙两物体用细线相连，跨过两光滑滑轮按如图12所示方式连接，滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道，甲物体与地面接触，乙物体紧挨滑轮位置，两滑轮到地面距离与半圆轨道直径相等，且与圆心在同一水平线上。若两滑轮与甲、乙物体均视为质点，且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直径相等，现将乙由静止开始释放，甲物体向上运动到圆弧轨道后，恰好能沿半圆轨道做圆周运动，则甲、乙两物体质量之比为（）A.1 : 7C.1 ： 5D.1 ： 4解析 设甲、乙两物体质量分别为mi、m2,轨道半径为R,当乙下落到地面、甲运动到半圆轨道下端时，由题意知，对系统

11、由机械能守恒定律可得 2m2gR2migR=；(m2 + mi)v2,甲球恰好能做圆周运动，则甲球在圆轨道最高点时必有mig = m=V1,甲2R由轨道下端运动到最高点过程中由机械能守恒定律可得：2m1v2= migR+2miv2,联立以上各式可得：m2=7m1，则A正确。答案 A跟踪训练.如图12所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处 于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦.现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是()a| rna图12A. A物体的加速度为gB. A、B组成系统的重力势能增大C.下落t秒时，

12、B所受拉力的瞬时功率为3mg2tD.下落t秒时，A的机械能减少了 2mg2t2答案 D、.一,.2mg mg 1解析 A与B的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对A、B整体有：a=(g,故A错误；A、B组成系统的2m+ m 3机械能不变，动能增大，重力势能减小，故B错误；B受到的才艺力:F=m(g+a) = 4mg,下落t秒时，B的速度：v=at= 3gt,33所受拉力的瞬时功率为 P=Fv=4mg2t, C错误；对A有：2mgFT = 2ma,得细绳的拉力FT=4mg.下落t秒时，A下落的高 93度为h = 1at2 = 1gt2,则A克服细绳拉力做功为 W= FTh = ：mg2t2.根

13、据功能关系得知：A的机械能减少量为 无尸W=2mg2t2, 2699故D正确.规律怠结多物体机械能守恒问题(1)多物体机械能守恒问题的分析方法：对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.列机械能守恒方程时，一般选用Ek： 4Ep的形式.(2)多物体机械能守恒问题的三点注意：正确选取研究对象.合理选取物理过程.正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解.专题训练：1如图5 3 2所示，质量分别为 m和2m的两个小球A和B,中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴,把杆置于水平位置后释放，在 B球顺时针摆动到最低

14、位置的过程中(不计一切摩擦)()图 5-3-2A. B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒B. A球的重力势能增加，动能也增加， A球和地球组成的系统机械能不守恒C. A球、B球和地球组成的系统机械能守恒D. A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒解析A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加， B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只 有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误。答案BC2.图 53 11（多选）轻杆AB长2L, A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为

15、m的小球.AB杆可以 绕A端在竖直平面内自由转动.现将杆置于水平位置，如图5-3-11所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是（）一，.一,、一， ,4B. AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL9C. AB杆转动过程中杆 CBM B球做正功，对 C球做负功，杆AC对C球做正功D. AB杆转动过程中，C球机械能守恒【解析】 在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：mg- 2L+2mg2L） = mg62><2爪3 - 2L）2+gm3L）2,解得角速度值，A项正确.在此过程中B端小球机械能

16、的增量为： Eb= E末E初= ；-2m> - 2L）2-2mg- （2 L） =4mgL B项正确.AB杆转动过程中，杆 ACM C球不做功，杆 CB对 29C球做负功，对B球做正功，C项错.C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错.【答案】 AB1-3 （多选）如图5所示，有一光滑轨道 ABC, AB部分为半径为R的4圆弧，BC部分水平，质重均为 m的小球a、b固je在 竖直轻杆的两端，轻杆长为 R,不计小球大小。开始时 a球处在圆弧上端 A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下 滑，下列说法正确的是（）图5A. a球下滑过程中机械能保持不变B. a、b两球和轻杆组成的系

17、统在下滑过程中机械能保持不变C. a、b滑到水平轨道上时速度为 V2gRD.从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为m2R解析：选BD 由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b系统机械能守恒，所以 A错误，B正确。对a、b系统 由机械能守恒定律得：mgR+ 2mgR=2x2mv2,解彳1 v = V3gR, C错误。对a由动能定理得：mgR+W= 1mv2,解彳1 W= mgR, D正确。4 .绳连接的系统机械能守恒如图7,可视为质点的小球 A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为 R的 光滑圆柱，A的质量为B的两倍.当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高.

18、将 A由静止释放，B上升的最大高度是（）A. 2R5RB.y4R图72RD.9答案 C解析 设A球刚落地时两球速度大小为 v,根据机械能守恒定律得，2mgRmgR=1(2m+m)v；解得v2= 2gR, B球继续上升 2'3的高度h=v- = R, B球上升的最大高度为 h+R = 4R. 2g 335 .如图13所示，一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B,放置于半径为R的光滑半圆轨道中，A球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小.a图13答案小/2-1 gR解析 当杆处于水平状态时，A、B两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A球下降

19、的高度4hA=R cos 45°, B球上升的高度 歆b=R(1cos 45)°由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为 v.12由机械能寸怛得： mgAhA= mgAhB+2 2mv解得：v =4(啦-1 gR6、如图5所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置， C为圆柱最高点，两小球 P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水 平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为mP = m, mQ= 4m,水平挡板到水平面 EF的距离为h = 2R,现让两小球从图示位置由静止释放，当小球 P到达最高点C时

20、剪断细线，小球 Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为 g,不计空气阻力，取 ,3。求:P到达最高点C的过程中，系统满足机械能守恒，mPgR+2mPvC=2mPvi,解得 vi = 2VgR° ,112满足机械能寸怛，则有一mQgx4x 2R+2mQvC =(1)小球P到达最高点C时的速率vC；(2)小球P落到挡板AB上时的速率vi；(3)小球Q反弹后能上升的最大高度hmax。解析(1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球.11D. I<-mQgX4x2无R+mPgR+2(m)P+miQ)vC= 0,解得 vC=V2gRo(2)因vC>如R,所以剪断细线后小球 P做平抛运动，由机械能守恒定律知 (3)剪断细线后，小球Q做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点