求椭圆离心率范围的常见题型与解析

1、学习参考求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系22x y.陋J 1】已知椭圆 F+=1(a >b A0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且 OP垂 a b直于PA,求椭圆的离心率 e的取值范围yZXPO = W*，上点P在以#为直握的圆上.汨 泼:由图形得八曲0 < fl1 < 外工 0 < ”炉.以小。为宣楼的圆方程为22即a父 凡可得/ a工居樨展< 2/巾上椭国的瞭心率e的取值也困为【例2 H知椭圆xy +4 = 1(a A b A 0)的左、右焦点分别为 a bFi(c,

2、0), F2(c,0),若椭圆上存在一点P使一asin PF1F2sin PF2F1c一，则该椭圆的离心率的取值范围为.2-1,1 .由正弦定理得;甲局 _ sinZPF 3!%in 2 P FjF则由已知得:即：aPFk 玛|设点（窈，外）由焦点半径公式， 得：FFJ = <i e皿/J*F/ 二 a 则 口（。+ =力）=£（。一 的口）由椭圆的几何性质知：工口 > 一&则d（e 1）> o te（e+ 1）整理得/ + 2后-1>0.解得：旧 < V5 1 或 e > 1,又£ W （0,1）,故桶圆的离心率：EE故答案为：

3、（6 1,共症G二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系传J 3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 出% =90口的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）二，占卜巳如。经尸产，、个十上乙士长之”. 八e e 3卢）乙D/1)A. (0,1)三、利用点与 椭圆的位置关系，建立不等关系22x y 【快J 4】已知 MBC的顶点B为椭圆 +”= =1 (a > b a 0)短轴的一个端点，另两个顶点也在 a b椭圆上，若 AABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0),求椭圆离心率的范围四、利用函数的值域，建立不等关系 22. x y ,陋J5厢圆丁+- =1(a >b>

4、;0)与直线x + y1=0相交于a、B两点，且OA OB = 0 (O a bXi蚊广言万一也(小I _ _工一一 -f为原点)，若椭圆长轴长的取值范围为U5,J6，求椭圆离心'率的范围.I *卡二 I.访晟、/9沦沉aJ广，75户4(收入 团总以犬-f二1二誓、 一w工心R卜4盘y一，长亭一手,号，音;L五、利用均值不等式，建立不等关系 隋J 6】已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/F iPF2=60° .求椭圆离心率的范围;22x y-解 设椭圆方程为 + 72= 1 (a>b>0) , |PF i| = m3 |PF 2| = n,则 m+

5、n=2a. a b在APFiF?中，由余弦定理可知,4c2= m2 + n2 2mrcos 60° = (m + n)2 3mr4a23mri>4a 23 -4a2-3a2=a2(当且仅当m= r时取等号c2 1)4,即受又0<e<1,.e的取值范围是22x y【例7 已知F1、 f2是椭圆一三十 = 1(a > b a 0)的两个焦点，椭圆上一点P使 a b/F1PF2 =90',求椭圆离心率e的取值范围解析 1:令 pF1 = m, PF2 = n，则 m +n = 2a 由 PF1 _L PF2222, 222m n =4c 4c = m n(m

6、 +n f22 c2 1>-L = 2a2 即 e2=之一2a 2又 0 二 e ： 1. _ e ： 12六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B22 222=b<c=b<c =ac<c2 c21=e = 2 > 一a22故 < e < 1 2七、利用实数性质，建立不等关系解析 3 ：设 P(x, y ),由 PF1 _L PF2 得y，y = -1 ,即 y2 = c2 x2,代入 x c x -c2 x2 a2 L b2=1 得 x2a2 c2 b22c即 c”又 e<1A12"e<1八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4 ： : PFi 1 PF2二P点在以F1F2为直径的圆上 又P在椭圆上，2P为圆 x2 + y2 =c2 与+ 丫于=1的公共点.由图可知b2b _ c ： a= b222a -c说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长F1PF2最大九、利用ZF1PF2最大位置，建立不等关系22xy解析4：椭圆 不十与 =1 (a>b>0)当p与短轴端点重合时/a2