平行线的判定性质

1、平行线1. 理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2. 掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命 题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1 .定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a 与 b 平行，记作 a/ b.要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行， 两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内，两条直线的

2、位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于 上述任何一种位置关系.2 .平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.3 .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一.(3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法 1 :同位角相等，两直线平行如上图，几何语言:/3=72 AB/ CD (同位角相等，两直线平行)判定方法 2 :内错角相等，两直线平行如上图，几何语言:/7

3、1= 72 AB/ CD (内错角相等，两直线平行)判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行 如上图，几何语言:/74+72=180AB/ CD (同旁内角互补，两直线平行)要点诠释： 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形要点三、平行线的性质性质 1 :两直线平行，同位角相等； 性质 2 :两直线平行，内错角相等； 性质 3:两直线平行，同旁内角互补 要点诠释：授课主题教学目的(1)“同位角相等、 内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 要

4、点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.要点诠释：(1) 求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条 平行线的距离.(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的 距离处处相等.要点五、命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句，叫做命题.要点诠释：(1) 命题的结构：每个命题都由题设、 结论两部分组成， 题设是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项(2) 命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则”(3) 真命题与假命题：

5、真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题2. 定理：定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理 也可以作为继续推理的依据 3. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明要点诠释：(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”， 这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事 实、定理等(2) 判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可. 要点六、平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，

6、图形的这种移动叫做平移. 要点诠释：(1) 图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离.(2) 图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置2性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：(1)平移后，对应线段平行且相等；(2)平移后，对应角相等；(3)平移后，对应点所连线段平行且相等；(4)平移后，新图形与原图形是一对全等图形【典型例题】类型一、平行线例 1 .下列说法正确的是()A .不相交的两条线段是平行线 .B. 不相交的两条直线是平行线 .C. 不相交的两条射线是平行线 .D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案

7、】D例 2 .在同一平面内，下列说法：(1)过两点有且只有一条直线；(2)两条直线有且只有一个公共点；(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：(A. 1 个【答案】【解析】【答案】C【变式 2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度 可能是()A.第一次向左拐30，第二次向右拐30B.第-次向右拐50，第二次向左拐130C. 第-次向右拐50，第二次向右拐130D.第一次向左拐50，第二次向左拐130例 4.如图所示，已知/ B = 25,/ BCD = 45,/ CDE = 30,/

8、 E = 10 .试说明 AB / EF 的理由.)B . 2 个 C. 3 个 B正确的是：(1) (3).【变式 1】下列说法正确的个数是(1)(2)(3)(4)( 直线 a、b、c、d，如果 a / b、 两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 两条直线被第三条直线所截， 同位角相等 在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，B .2 个 C. 3 个 D . 4 个)c / b、c / d，贝 U a /d.那么这两直线平行.A. 1 个 【答案】B类型二、两直线平行的判定 例 3.如图，给出下列四个条件：(1) AC= BD(3)ZABD-/ CDB (4)ZADB=Z

9、CBD 其中能使A . (1) (2)B . (3) (4) C . ( 2) (4)(2)ZDAC=ZBCAAD / BC 的条件有 (D . (1) (3) (4)EJD解法1 :如图所示， 在/ BCD的内部作/ BCM = 25, 在/ CDE的内部作/ EDN = 10.解法 1 :如图所示，在/ BCD 的内部作/ BCM = 25,在/ CDE 的内部作/ EDN = 10/ B = 25,/ E= 10 （已知）， / B =/ BCM , / E = / EDN（等量代换）. AB / CM , EF / DN （内错角相等，两直线平行）.又/ BCD = 45,/ CDE

10、= 30 （已知），/ DCM = 20,/ CDN = 20 （等式性质）./ DCM =/ CDN （等量代换）.CM / DN （内错角相等，两直线平行）./ AB / CM , EF/ DN（已证），AB / EF（平行线的传递性）.解法 2:如图所示，分别向两方延长线段CD 交 EF 于 M 点、交 AB 于 N 点./ BCD = 45,./ NCB = 135/ B=25, / CNB = 180 - / NCB- / B = 20 （三角形的内角和等于 180 ）.又/ CDE = 30,./ EDM = 150 .又/ E = 10,/ EMD = 180 - / EDM-

11、/ E= 20 （三角形的内角和等于 180 ）. /CNB = / EMD （等量代换）.所以 AB / EF（内错角相等，两直线平行）.【变式 3】已知，如图，BE 平分 ABD DE 平分 CDB 请说明理由.解: AB / CD，理由如下：/ BE 平分/ ABD , DE 平分/ CDB ,/ ABD = 2/ 1,/ CDB = 2/ 2.又/ 1 + / 2= 90,/ ABD+ / CDB = 180AB / CD（同旁内角互补，两直线平行）.【变式 4】已知，如图， AB BD 于 B, CD BD 于 D,【答案】证明：/ AB BD 于 B, CD BD 于 D, AB/

12、 CD又 1+ 2=180, AB/ EF.1+ 2=180 ，求证：CD/EF . CD/EF.类型三、平行线的性质例 5.如图所示，如果 AB II DF , DE II BC,且/ 1 = 65。.那么你能说出/ 2、/ 3、/ 4 的度数吗？为什么.解： DE / BC ,/ 4 =/ 1 = 65 （两直线平行，内错角相等）./ 2+ / 1 = 180 （两直线平行，同旁内角互补）./ 2 = 180 - / 1= 180 -65= 115.又 DF / AB（已知），/ 3 =/ 2（两直线平行，同位角相等）./ 3 = 115 （等量代换）.【变式 5】如图，已知 h/J, I

13、3/I4,且/ 1=48，则/ 2 =_【变式 6】如图所示，直线 I1/ I2，点 A、B 在直线 I2上，点 C、D 在直线 ABD 的面积为 S2,则（）A . S1 S2B . S1= S2C. S1VS2D .不确定【答案】B类型四、命题例 6.判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的？还是错误的？1画直线 AB :两条直线相交，有几个交点；若 a/ b, b/ c,则 a/ c;直角都相等；相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.【答案】不是命题；是命题；是正确的命题；是错误的命题.【变式 8】把下列命题改写成“如果，那么”的形式.（1）两直线平行，同位角相

14、等；（2）对顶角相等；（3 ）同角的余角相等.【答案】解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等类型四、平移例 7.（湖南益阳）如图所示，将 ABC 沿直线 AB 向右平移后到达厶 BDE 的 位置，若/ CAB = 50，/ ABC = 100，则/ CBE 的度数为 _ .【答案】30【变式 9】（上海静安区一模）如图所示，三角形 FDE 经过怎样的平移可以得到三角形A. 沿 EC 的方向移动DB 长B.沿 BD 的方向移动 BD 长C. 沿 EC 的方向移动CD 长D. 沿 BD 的方向移动DC 长【

15、答案】A类型五、平行的性质与判定综合应用例 8、如图所示，AB / EF,那么/ BAC+ / ACE+ / CEF =（）A . 180 B . 270 C . 360D . 540 【答案】C【解析】过点 C 作 CD / AB ,/ CD / AB , /BAC+ / ACD=180 （两直线平行，同旁内角互补）又 EF / ABEF / CD ./ DCE+ / CEF=180 （两直线平行，同旁内角互补）又/ACE=ZACD+/DCE【课后作业】一、选择题1.下列说法中正确的有（）1一条直线的平行线只有一条.2过一点与已知直线平行的直线只有一条.3因为 a/ b, c/ d,所以 a

16、/ d.4经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A . 1 个 B . 2 个C . 3 个 D . 4 个2 .如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（）A .相等B .互补C .互余D .相等或互补3 .如图，能够判定 DE / BC 的条件是（） /BAC+/ACE+/CEF=ZBAC+/ACD+/DCE+/CEF=180+180=3606.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张 半透明的纸得到的（如图，（1） （4）:P7pP、i/4 /Jr_J广 ri)111Hl从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线

17、平行，同位角相等两直线平行，内错角相等同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行.A. B. C. D. 二、填空题7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是 _8如图，DF 平分ZCDE, ZCDF=55,ZC=70,贝 U_/ _A 上DCE+ / DEC = 180 B.ZEDC= ZDCB能是（)A 第-次向右拐40, 第二次向右拐140B 第一次向右拐40, 第二次向左拐40C 第一次向左拐40, 第二次向右拐140D 第-次向右拐140 ，第二次向左拐405 .如图所示，下列条件中，不能推出AB / CE,OOO成立的条件是C ZBGF= ZDCB4 一辆汽车在广阔的草

18、原上行驶,D CD 丄 AB , GF 丄 AB两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可A ZA= ZACEB ZB= ZACEC ZB=ZECDD ZB+/BCE=180ADB/9规律探究：同一平面内有直线ai,a2, a3，aioo，若 ai丄 a2, a2/ a3, a3丄 a4，按此规律， ai和 aioo的位置是_ 10 .已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40,则另一个角的度数是11.直线 I 同侧有三点 A、B、C，如果 A、B 两点确定的直线 I 与 B、C 两点确定的直线 I 都与 I 平行，则A、B、C 三点，其依据是12.如图，AB 丄 EF 于

19、点 G, CD 丄 EF 于点 H , GP 平分/ EGB , HQ 平分/ CHF，则图中互相平行的直线有_ .三、解答题13.如图，/ 1 = 60。，/ 2 = 60,/ 3 = 100,要使 AB / EF，/ 4 应为多少度？说明理由.14 小敏有一块小画板（如图所示），她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能 帮助她解决这一问题吗？15 .如图，把一张长芳形纸条ABCD 沿 AF 折叠，已知/ ADB = 20，那么/ BAF 为多少度时，才能使AB / BD?16 如图所示，由/ 1 = / 2, BD 平分/ ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如

20、果推出另两条线 段平行，则应将以上两条件之一作如何改变？【答案与解析】一、选择题1.【答案】A【解析】只有正确，其它均错.2.【答案】D3.【答案】B【解析】内错角相等，两直线平行.4.【答案】B5.【答案】B【解析】/ B 和/ACE 不是两条直线被第三条直线所截所得到的角.6.【答案】C【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P 的折痕与虚线垂直.二、填空题7.【答案】0 或 1 或 2 或 3 个；&【答案】BC, DE;【解析】/ CFD = 180 70 55= 55,而/ FDE =ZCDF = 55，所以/ CFD =ZFDE.9.【答案】ai/ aioo;【解析】 为了方便，我们可以记为 aiXa2/ a3丄 a4/ a5丄 a6/ a7丄 a8/ a9丄 aio/ a97丄 a98/ a99丄 aioo,因为 ai丄 a2/ a3,所以 ai a3, 而 a3丄 a4,所以 ai/ a4/ a5.同理得 a5/ a8/ a9, a9/ ai2/ ai3,，接着这样的规律可以得 ai/ a97/ aioo，